XVIII Олимпиада по математике

57

МЕЖДУНАРОДНЫЕ
ОЛИМПИАДЫ
ШКОЛЬНИКОВ

З. Моисеева,
А. Савин

XVIII Олимпида
по математике

XVIII Международная математическая олимпида прохождение в июле 1976 г. в г. Лиенце (Австрия). В ней принимали участие команды 18 стран: Австрарии, Болгарии, Великобритания, Венгрии, Вьетнама, ГДР, Греции, Кубы, Нидерландов, Польщи, Румынии, СССР, США, Финляндии, Франции, Чехословакии, Швейции, Югославии. (В качестве наблюдающей присуствовали представители ФРГ.) Команда каждой страны состояла из воссыми школьников и двух руководителей, кроме Кубы, команда которой состояла из трех школьников и руководителей.

Для большинства участников XVIII Международная олимпида является естественным продолжением национальных олимпид. У нас в стране после республиканских олимпид их победители участвовали в специальных оборочных соревнованиях. Затем с учетом результатов, показанных ребятами на весеюзных олимпидах

дах этого и прошых лет, и был определен окончательный состав команды. В нее вошли: Юрий Буров (школа № 2 г. Москвы), Александр Гониаров (школа № 13 г. Никополя Днепропетровской области), ПетрГриневич (школа № 204 г. Москвы), Сердей Миронов (школа № 6 г. Сафонова Смоленской области), Никита Нечветаев, Борис Соломяк и Сердей Фикашин (все — ФМШ № 45 г. Ленинграда), Тамьяна Хованова (школа № 444 г. Москвы).

Поездке на Международную олимпиду предшествовал местный учебно-тренировочный сбор, по традиции проводимый в школе памяти В. И. Ленина в Горках Ленинских. Поскольку состав команды был определен заранее, сбор этого года носил чисто тренировочный характер,— ребята работали без дополнительной нервной нагрузки, вызываемой в прошые годы неизвестностью: кто же из них поедет на Международную олимпиду. В результате команда оказалась в хорошей форме.

Во время сборы было проведено три тренировочных соревнования. Для интересующихся читателей приводим задачи одного из них.

1. Построить треугольник по центрам вписанного, описанного и вневписанного кругов.
2. Все корни некоторого многочлена с комплексыми коэффициентами лежат в

58

открытой полуплоскости, граница которой проходит через точку 0. Доказать, что все коэффициенты многочлена отнуляя.

3. Решить уравнение

$$x = 1 + \frac{1}{1 + \cdots + \frac{1}{1 + \frac{1}{x}}}$$

(знак дроби употреблен $n$ раз).

4. Доказать, что если в треугольнике перпендикуляры, воспставленные из оснований биссекторics, пересекаются в одной точке, то треугольник равноведренный.

5. Дано: $x_1 = 2$, $x_{n+1} = \frac{x_n^4 + 9}{10x_n}$.

Доказать, что

$$1 - 10^{-10} < x_{100} < 1 + 10^{-10}$$

Кроме решения различного рода задач, на сборах было удалено больше вимание и теоретической подготовке учатников. В прошлие годы «ахилесовой пятой» нашей команды были задачи на многочлены, поскольку эта тема в школьных программах практических отсутствует. В этом году вопросам алгебры многочленов, области Дирихле, теории графов и некоторым другим вопросам было удалено достаточно много времени, что позволило нашей команде на оптимиде успешно справиться с задачи такого рода.

9 июля советские школьники пришли в Вену, откуда на следующий день вместе с командами других стран поехали к месту проведения XVIII Международной математической оптимизации в г. Лиенц, столицу Восточного Тираля. Маршрут этой экспурсии протяженно около 600 км проходил по живописным местам южной части Австралии. Надолго в памяты ребят останутся романтические альпийские пейзажи (более 50% территории Восточного Тираля расположено выше 2000 м над уровнем моря): луга, пересеченные множеством бурляших безымянных ручейков и речушек, белоснежные вершины гор, леса.

Соревнования проводились 12 и 13 июля. В каждый из дней школьник предлагалось по три задачи, на решение которых отводилось по 4 часа (тексты задач помещены в конце статы, в скобках указано, какой страной была предложена задача и сколько очков давалось за ее полное решение; указания к решению задачи помещены в конце журнала).

Работы, как всегда, проверялись руководители команд, а окончательная оценка выступалась совместно с координатами — австрийскими математиками. Работа координаторов и жорри был завершена к 17 июля.

Нужно отметить, что реализная трудность задач несколько разшлас с оценкой жорри. Наболее сложной оказалась пятая задача, по которой участники совершенствовали собранлились 15% возможного числа очков. Следующей по сложности оказалась вторая задача (26%), затем третья (38%), первая (52%), четверняя (62%) и шестая (65%). Разной оказалась и трудность отдельных задач для команды разных стран. Видимо, успехи школьников различных стран при решении той или иной задачи текущего с программием их обучения в школе. Так, англичане и французы традиционно хорошо решают задачи на многочлены и экстремумы, шведы — экстремальные задачи и т.п. Почти все команды успешно справились с шестой задачей, в которой нужно было увидеть некоторую закономерность и доказать ее методом математической индукции, исключение составили лишь те страны, где этот метод оказательства не нашел широкого применения в программах и учебниках (Финляндия, Голландия, Греция, Куба). Немного школьники справились с пятой задачей (система линейных уравнений), не заметив под алгебраической оболочкой ее комбинаторный характер.

Наши школьники выступили довольно по всем задачам и набрали по первой задаче 90% возможного числа очков, по второй — 79%, по третьей — 72%, по четвертой — 95%,