IX Олимпиада по физике

60

Необходимо заметить, что оптимнада прошла организацию, в двух других и взаимопонимания. Участники расссказали о своих странах, узнали многое о других, обменялись памятными подарками, значками, субенирами. Эта оптимнада несомненно оказала большое влияние наоспитание молодежи в двух других и взаимного уважения людей различных национальной и рас.

Задачи XVIII Международной математической олимпиады школьников
1-й день

1. Площадь плоского выпуклого четырехугольника равна 32 $cm^2$, а сумма длины двух противоположных сторон и одной диагонали равна 16 $cm$. Указать все значения, которые может принятьлина другой диагонали. (Чехословакия, 5 очков.)
2. Пусть $P_1(x) = x^2 - 2$, $P_k(x) = P_1(P_{k-1}(x))(k=2, 3, \dots)$. Доказать, что для любого натурального $n$ все корни уравнения $P_n(x) = x$ вещественны и различны. (Финляндия, 7 очков.)
3. Примогользовая коробка может быть полностью наполнена единчными кубами (ребра кубов параллельных ребрам коробки). Если же заполнять коробку кубами объема 2 с ребрами, параллельными ребрами коробки, то максимальное число таких кубов заполнит лишьровно 40% объема коробки. Указать внутренние размеры всех коробок, для которых это имеет место ($\sqrt[3]{2} \approx 1,2599$). (Нидерланды, 8 очков.)
   2-й день
4. Найти наиболее значение, которое может принять произведение нескольких натуральных чисел, сумма которых равна 1976. (США, 6 очков.)
5. В системе $p$ уравнений с $q=2p$ неизвестными
   $$\begin{cases} a_{11}x_1 + \dots + a_{1q}x_q = 0, \\ a_{p1}x_1 + \dots + a_{pq}x_q = 0 \end{cases}$$
   козффициенты $a_{ij} \in \{ -1, 0, 1 \}$. Доказать, что существует решение $(x_1, x_2, \dots, x_q)$ этой системы такое, что все $x$ – целые, для некоторого $j (1 \leq j \leq q)$ $x_j \neq 0$ и для всех $j (1 \leq j \leq q)$ $|x_j| \leq q$. (Нидерланды, 7 очков.)
6. Последовательность $\{u_n\}$ определяна следующим образом: $u_0 = 2$, $u_1 = 5/2$, $u_{n+1} = u_n(u_{n-1}^2 - 2)^{-1}u_1 (n \geq 1)$. Доказать, что при $n \geq 1$
   $$[u_n] = 2^{(2^n - (-1)^n)/3},$$
   где $[x]$ – наиболее целое число, не превысывающее $x$. (Великобритания, 7 очков.)
   И. Словодецкий
   IX Олимпиада
   по физике
   С 1 по 7 июля в Будапеште проходила очередная IX Международная олимпиада по физике среди школьников. Такие олимпиады начали проводиться с 1967 года. Первая Международная олимпиада была организована по инциативе Польской народной ресурсники. В ней приняли участие школьники пяты социалистических стран: Болгарии, Венгрии, Польщики, Румынии и Чехословакии. Уже в следующем 1968 году, к участикам олимпиады из этих стран присоединились учащиеся Германской демократической ресурсники, Советского Союза и Югославии. С тех пор команда нашей страны участвует во всех олимпиадах. А в 1970 году Москва приняла у себя учащихков IV Международной физической олимпиады.
   Олимпиада включает в себя решения трех теоретических задач и выполнение одной экспериментальной работы. Теоретический и экспериментальный тур проводится в разные дни. На решение задачи и выполнение эксперимента дается по 5 часов. Все задачи готовятся страной, проводящей олимпиаду. Эта страна обеспечивает и проверку работы, но результаты проверки окончательно утверждаются Международной комиссии, составящей из руководителей всех команд. Председателем Международной

61

комиссии в этом году был академик Академии наук Венгрии Г. Маркс.

По статуту олимпиды задачи составляются на основе специальной программы. Эта программа, в основном, включает все те вопросы, которые изучаются в средних школах всех стран-участниц. Но имеются и некоторые дополнительные. Например, tema «Вращательное движение твердых тел», которое не изучают школьники нашей страны.

В этом году в олимпиде участвовали команды из 10 стран: Болгарии, Венгрии, ГДР, Польщин, Румынии, СССР, Франции, ФРГ, Чехословакии и Швейции. На олимпиде также присутствовали наблюдатель из Финляндии. Каждая команда, как всегда, составляла из 5 участников.

В состав команды СССР вошли победители Всесоюзной олимпиды, показавшие хорошее результаты на трехнедельных тринировочных сборах в Горках Ленинских:

Владимир Булатом — выпускник физико-mатематической школи-интерната № 45 при Ленинградском государственном университете;

Андрей Голубенцев — выпускник средней школи № 13 г. Саратова;

Владимир Кривцун — выпускник средней школи № 27 г. Харькова;

Валерий Стараценко — выпускник средней школи № 28 г. Запорожье;

Ильдар Хамитов — выпускник физико-mатематической школи-интерната № 45 при Ленинградском государственном университете.

Конечно, во время олимпиды прохождения встречи, были организованы экскурсии по Дунаю, вдоль озера Балатон и в веселый Будапештский Луна-парк. Но главное— это решение задач.

Какие же задачи доставлись участвникам олимпиды? Все теоретические задачи помещены в «Задачике «Кванта» (см. задачи Ф428, Ф429 и Ф432 в этом номере журнала). По трудности они примерно такие же, как задачи заключительного типа Всесоюзной олимпиды. За решение каждой теоретической задачи максимально можно было получить 10 очков. Найбольшее количество очков (9 и 10) за решение первого задачи получили 13 участников, второй — 14 и третьей — 8.

За выполнение экспериментальной работы можно было получить до 20 очков. Задача была такой:

На рабочем столе имеются: часы, термометр, нагреваемый элемент на 12 °С, две пробирки с жидкостью известной удельной температуре $c_0 = 0,5$ кал/(2·эрад) и кристаллический материал $X$ с неизвестными телловыми свойствами. Количество жидкости в пробирках и масса кристалла $X$ известны. Материал $X$ в жидкости не растровляется.

Исследуйте тепловые материалы $X$ в интервале от комнатной температуры до 80 °С и определите его характеристики тепловые constants. Результаты измерения представьте в виде таблиц и графиков.

Вы можете рассоряжаться только теми приборами и/materialами, которые находятся на столе. Испорченные Вам приборы и использованные материалы не заменяются.

Эту задачу нельзя назвать трудной, однако до конца довели ее немного. Если за теоретические задачи примерно 20% участников набрали 27—30 очков, то за экспериментальной работы получили 19—20 очков лишь 4 участника, т. е. меньше 10%.

Приведем краткое решение экспериментальной задачи.

В ходе выполнения работы нужно построить графики зависимости от времени температуры чистой жидкости (подогреваемой нагреваемой) и жидкости вместе с кристаллическим материалом $X$ (см. рисунок). Из рисунка видно, что второй график имеет почти горизонтальный участок; это свидетельствует о наличии фазового перехода,

62

т. е. плавления кристалла $X$. Пользуясь этими графиками, можно определить температуру плавления кристалла, удельную температуру плавления кристалла, удельную температуру плавления кристалла. Так как масса кристалла была невелика, естественно было считать, что при нагревании пробирки тепловод (учитывая и нагревание самой пробирки) во всех случаях один и тот же. Нензменен, разумется, и приtok тепла от нагревая.

Температура плавления кристалла определяется непосредственно из графика.

Удельную тепломкость кристалла надо было вычислить, составив уравнение теплового баланса для чистой жидкости и для жидкости с кристаллом. При нагревании в пробирке чистой жидкости выполняется равенство

$$c_0 m_{\text{ж}} \Delta T = \Delta W t. \tag{1}$$

Здесть $m_{\text{ж}}$ — масса жидкости, $\Delta W$ — разность между мощностью источника (приtokом тепла) и мощностью потерь (теллоотводом), $t$ — время и $\Delta T$ — изменение температуры жидкости за это время. Аналогично при нагревании жидкости с кристаллом

$$c_0 m_{\text{ж}} \Delta T_1 + c_{\text{ж}} m_{\text{ж}} \Delta T_2 = \Delta W t_1, \tag{2}$$

где $c_{\text{ж}}$ — удельная тепломкость кристалла, $m_{\text{ж}}$ — его масса, $t_1$ — новое время и $\Delta T_1$ — новое изменение температуры.

Обозначим $\Delta T/t$ и $\Delta T_1/t_1$ через $\alpha$ и $\alpha_1$ соответственно. На рисунке $\alpha$ и $\alpha_1$ — тангенсы углов наклона графиков зависимости температуры в пробирке от времени (естественно, до момента начала плавления). Уравнения (1) и (2) можно переписать так:

$$c_0 m_{\text{ж}} \alpha = \Delta W, \tag{1'}$$
$$c_0 m_{\text{ж}} \alpha_1 + c_{\text{ж}} m_{\text{ж}} \alpha_2 = \Delta W. \tag{2'}$$

Разделив второе уравнение на первое, получим

$$1 + \frac{c_{\text{ж}}}{c_0} \frac{m_{\text{ж}}}{m_{\text{ж}}} = \frac{\alpha}{\alpha_1},$$

откуда

$$c_{\text{ж}} = c_0 \frac{m_{\text{ж}}}{m_{\text{ж}}} \frac{\alpha - \alpha_1}{\alpha_1}.$$

Определив по графикам $\alpha$ и $\alpha_1$, нетрудно найти $c_{\text{ж}}$.

Аналогично можно определить удельную тепломкость расплава.

Для того чтобы найти удельную теплу плавления кристалла $\lambda$, надо было составить еще одно уравнение теплового баланса:

$$\lambda m_{\text{ж}} = \Delta W t_2, \tag{3}$$

где $t_2$ — время плавления кристалла. Разделив это уравнение на уравнение (1’), получим

$$\frac{\lambda m_{\text{ж}}}{c_0 m_{\text{ж}}} = \alpha t_2,$$

откуда

$$\lambda = c_0 \frac{m_{\text{ж}}}{m_{\text{ж}}} \alpha t_2.$$

Все эти расчеты можно было проведити и более аккуратно. Во-первых, из-за неравномерности нагрева температура жидкости и кристалла во время плавления несколько повышалась (см. рисунок). Поэтому влевой части уравнения (3) должны присутствовать члены $c_0 m_{\text{ж}} \Delta T_2$ и $c_{\text{ж}} m_{\text{ж}} \Delta T_2$ ($\Delta T_2$ — соответствующей изменение температуры за время $t_2$). Правда, не совсем ясно, как бы было во вторым членом, — при плавлении кристалла меняется его удельная температура. Впрочем, им совсем можно было претензить, что не вносило большой ошибки. Во-вторых, можно было учеть в явном виде тепломкость самого пробирки. Для этого было бы достаточно, например, построить график изменения температуры со временем для пробирки с другой количеством жидкости.

При определении тепловых параметров кристалла $X$ считалась удовлетворительно точность до 20%. Получить ее, в принципике, было несколько. Однако многочим участкам olимпиды этого оказалось не под силу.

Результаты olимпиды таковы:

I премью
получили участки olимпиды, набравшие от 42 до 47,5 очков. Это — В. Булатов (СССР), В. Кривцун (СССР), К. Кульпа (Польша), Р. Лубис (Польша), А. Порсон (Франция), Г. Попеску (Румыния) и И. Хамимов (СССР).

II премью
получили 7 участков, набравшие от 37 до 42 очков. Средних А. Голубенцев.

III премью
получили 12 участков, набравшие от 30 до 37 очков.

Грамоты
получили 13 участков, набравших от 23 до 30 очков. Средних В. Смаршенко.

Абсолютным победителем olимпиды стал польский школьник Р. Лубис. Он получил высшую оценку — 20 очков — за экспериментальную ра-

63

боту и 27,5 очков за теоретические задачи. Такие же результаты по теоретическому туру были у членов нашей команды В. Кривцуна и И. Хамитова, а также у М. Хегнера из ГДР. Оdnako на экспериментальном.type В. Кривцун и И. Хамитов потеряли по 5 очков, а М. Хегнер — 10 очков.

Официального командного перевенства на олимпiadе не проводилось. Но, конечно, все подсчитывали, сколько очков набрала каждый команда, сколько премии и грамот получили ее члены. В частности, наша команда получила три премии, одну вторую премию и одну грамоту. Члены нашей команды набрали в сумме 192,75 очка. Команда Румынии набрала 181 очко, команда ГДР — 174 очка.

В заключение хочется отметить очень хорошо организацию IX Международной олимпiadы по физике. Эти участники олимпiadы обязаны Министерству народного образования Венгрии, физической обществу им. Р. Этвеша и кафедре атомной физики Будапешского университета. Очень хорошо были проведены все работы, несмотря на их многоязыние. У Международного комитета почти не было претензий по оценкам. На олимпiadе царил двух доверия, взаимопониния и дружбы.

Советские школьники Владимир Булатов, Владимир Кривцун и Ильдар Хамитов, получившие I премию, во время выполнения экспериментальной работы.

Фото Ласло Кемени