Задачи М766—М770; Ф778—Ф782

26

Задачи

М766 — М770; Ф778 — Ф782

М766. Докажите, что сумма квадратов трех последовательных целых чисел не может быть кубом натурального числа.

Ю. Ионин

М767. a) Прямая $l$ делит площадь выпуклого многоугольника пополам. Докажите, что относение, в котором эта прямая делит проекцию многоугольника на перпендикулярную к ней прямую, не превыходит $1 + \sqrt{2}$ (рис. 1, а). б) Каждая из трех прямых делит площадь данной фигуры пополам. Докажите, что площадь части фигуры, заключенной в треугольнике между прямями, не превыходит $1/4$ все плоскии фигуры (рис. 1, б).

В. Прасолов

М768*. Сумма $n$ чисел, каждое из которых не превыходит по modulo 1, равна $s$. Докажите, что из них можно выбрать несколько чисел так, что сумма выбранных чисел будет отличаться от $s/3$ не более чем на $1/3$.

В. Гринберг

М769*. Биссектрисы треугольника $ABC$ пересекаются в точке $L$, их продолжения пересекаются описанную окружность треугольника в точках $A_1, B_1, C_1$ (рис. 2). Пусть $R$ — радиус описанной, $r$ — радиус описанной окружности треугольника $ABC$. Докажите равенства

a) $\frac{|LA_1| \cdot |LC_1|}{|LB|} = R$; б) $\frac{|LA| \cdot |LC|}{|LB_1|} = r$;

b) $\frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = \frac{2r}{R}$.

Р. Мазов

М770*. В основании треугольной парамиды $PABC$ лежит правильный треугольник $ABC$. Докажите, что если углы $PAB, PBC, PCA$ конгруэнтны, то парамида $PABC$ — правильная.

27

Ф778. Колечко массы $m$, свободно скрепляющее два тонких обруча массы $M$, начинает скальзывать вниз; обручи при этом разъезжаются в разные стороны по шероховатой горизонтальной поверхности. Определить ускорение колечка в начальной момент времени, если угол $AO_1O_2$ (рис. 3) равен $\alpha$. Трение между колечком и обручами отсутствует.

С. Кротов

Ф779. Квадрат, состоящий из двух половинок, относение масс которых равно двум, находится на шероховатой поверхности. Под каким углом $\alpha$ к границе раздела половинок необходимо тянут вервку в горизонтальной плоскости, чтобы квадрат двигаллся поступательно? Точка приложения силы лежит в точке пересечения стороны квадрата и границы раздела.

Э. Алиев

Ф780. Цилиндрический сосуд высотой $2h$, поровну разделенный перегородкой, содержит в верхней части воды (ее плотность $\rho$), в нижней — воздуха при атмосферном давлении $p_0$ (рис. 4). В перегородке открывается небольшое отверстие, так что вода начинает протекать в нижнюю часть сосуда. Какой толщины будет слой воды в нижней части сосуда, когда воздуха начинает проходить из отверстия вверх? Температура постоянна. Ускорение силыяжестки равно $g$.

В. Бородин

Ф781. Между двумя независенными металлическими концентрическими сферами радиусов $a$ и $b$ находится точный заряд $q$ на расстоянии $c$ от центра сфера. Какой заряд протечет по тонкому проводнику, если им замкнут сферы?

В. Комов

Ф782. Конденсатор зарядили до напряжения $U_0=100$ В и подключили к нему резистор. При этом за некоторый interval времени выделлась в виде тепла энергия $W_1=1$ Дж, а еще за такой же интервал — энергия $W_2=0,3$ Дж. Определить емкость конденсатора.

А. Зильберман

Problems

M766 — M770; P778 — P782

M766. Prove that the sum of squares of three consecutive integers cannot be the cube of a naturel number.

Yu. Ionin

M767. a) The straight line $l$ splits a convex polygon into two parts of egal area; the parts are projected perpendicularly on a line orthogonal to $l$. Prove that the quotient of lengths