Ленинградский политехнический институт имени М. И. Калинина

55

9. На какой угол поверхности луч, отраженный от плоского зеркала, при повороте последнего на угол α?

10. Каждый глубина водоема равна H. Какова его истинная глубина?

Публикация подготовили А. С. Кондратев, С. А. Назаров

Ленинградский политехнический институт имени М. И. Калинина

Математика
Писменный экзамен
Вариант 1
(факультет технической библиотекки)

1. Решите уравнение
   $$2\sin^2 x + \mathrm{tg}^2 x = 2.$$
2. Произведение первых трех членов геометрической прогрессии равно 1728, а их сумма равна 63. Найдите первый член и знаменатель этой прогрессии.
3. Найдите область определения и промежутки возрастания и убывания функции $f(x) = \sqrt{2}\left(\frac{\lg^2 x + 1}{2\lg x} - 1\right)^{1/2}\left(\frac{\lg^2 x + 1}{2\lg x} + 1\right)^{1/2}\lg x$.
4. Пусть в треугольнике ABC средняя линия, параллельная стороне AB, пересекает биссектрису угла B в точке P, а K — точка касания вписанной окружности со стороной BC. Выразите вектор $\overrightarrow{KP}$ через векторы $\vec{e}_1$ и $\vec{e}_2$ единичной длины и соправленные соответственно с $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CA}$, если $|AB| = 18, |AC| = 12$ и $|BC| = 11$.
   Вариант 2
   (физико-механический и радиоизчисленный факультеты)
5. Решите уравнение
   $$8^{\frac{2}{x}} = (\log_2 16)(2^{\frac{x+3}{x}} - 3).$$
6. Решите уравнение
   $$\frac{\sqrt{52-x^2}}{2-x} = 1.$$
7. Дана функция $f(x) = \mathrm{tg}\left(x - \frac{3\pi}{4}\right) \times (1-\sin 2x) - \cos 2x - 1.$
   Найдите область определения функции $y = f'(x)$; доказите, что $f'(x) = 0$ во всех точках $D(f'(x))$, а $f(\sqrt{7})$ равно целому числу.
8. Пусть квадратное уравнение
   $$(3a+2)x^2 + (a-1)x + 4a+3 = 0$$
   имеет корни $x_1, x_2$. Найдите все такие $a(a \in R)$, что $x_1$ и $x_2$ удовлетворяют условиям $x_1 < -1 < x_2 < 1$.

Физика
Задание устного экзамена

1. Автомобиль начал движение с места, двигасраноускоренно и через некоторое время достигет скорости $v = 10$ м/с. После этого motor был выключен, и автоматически равнозамедленно до полной остановки. Найдите скорость автономы на всем протяжении пути.
2. Ракета взлетает вертикально вверх, выбрасывает раскаленные газы последовательно двумя равными порциями. Скорость истечения газов относительно ракети постояния и равна u. Каким должно быть промежуток времени между сторанием порций, чтобы ракета достигла наиболее высокую высоту? Считать, что сторание топлива проискодит мгновенно. Сопротивлением воздуха претенбрец.
3. При подъеме воздуханого пузьрыка со дня озера на поверхности его объем уvelчивается в 3 раза. Найдите глубину озера.
4. В баллоне, объем которого $V = 0,04$ м³, под давлением $p = 1,5 \cdot 10^5$ Pa при температуре $T = 300$ K находимся газ. Определите, сколько молекул газа находится в баллоне.
5. Три одинаковые загруженные частицы, каждой с массой m и зарядом q, помещили в вершины угловостороннего треугольника со стороны $r_0$. Затем частицы одновременно освободили, после чего они стали симметрично разлетятся под действием кулоновских сил отталкивания. Найдите: 1) скорость каждой части в зависимости от расстояния r между частицами; 2) работа, которую совершили кулоновские силы, действующие на каждую частицу, при разлете части на очень большое расстояние друг от друга.
6. Как при параллельном, так и при последовательном соединении двух одинаковых акмуляторов с ЭДСБ и внутренним сопротивлением r на внешнем резисторе, сопротивление которого R, выделяется мощность P = 16 Вт. Какая мощность выделяется на этом резисторе, если к нему подключит только один из акмуляторов?
7. Примогутный контур ACDE со скользящей перемычкой длины l находится в одномодном магнитном поле, перепедикулярном к плоскости контура (см. рис. 1).

Физика
Задание устного экзамена

1. Автомобиль начал движение с места, двигасраноускоренно и через некоторое время достигет скорости $v = 10$ м/с. После этого motor был выключен, и автоматически равнозамедленно до полной остановки. Найдите скорость автономы на всем протяжении пути.
2. Ракета взлетает вертикально вверх, выбрасывает раскаленные газы последовательно двумя равными порциями. Скорость истечения газов относительно ракети постояния и равна u. Каким должно быть промежуток времени между странами порций, чтобы ракета достигла максимально высокую высоту? Считать, что сторание топлива проискодит мгновенно. Сопротивлением воздуха претенбрец.
3. При подъеме воздуханого пузьрыка со дня озера на поверхности его объема уvelчивается в 3 раза. Найдите глубину озера.
4. В баллоне, объем которого $V = 0,04$ м³, под давлением $p = 1,5 \cdot 10^5$ Pa при температуре $T = 300$ K находимся газ. Определите, сколько молекул газа находится в баллоне.
5. Три одинаковые загруженные частицы, каждой с массой m и зарядом q, помещили в вершины угловостороннего треугольника со стороны $r_0$. Затем частицы одновременно освободили, после чего они стали симметрично разлетятся под действием кулоновских сил отталкивания. Найдите: 1) скорость каждой части в зависимости от расстояния r между частицами; 2) работа, которую совершили кулоновские силы, действующие на каждую частицу, при разлете части на очень большое расстояние друг от друга.
6. Как при параллельном, так и при последовательном соединении R, строоны AE и CD контрара — сопротивления R₁ и R₂. Пренебрегая саминдивидуальной контрара, найдите ток в перемычке при ее поступательном перемещении с постоянной скоростью v.
7. Найдите энергию связи, которое имеет одинаковое число протонов и нейтронов и радиус которого в полтора раза меньше радиуса ядра ²⁷Al.
8. Какая температура необходима; чтобы протоны приближались друг к другу на расстояние r₀ = 5 \cdot 10^{-15} м²?

Публикация подготовили Ю. Н. Волчин, Ю. Д. Максимов, Б. П. Попов, С. П. Преображенский, Б. А. Чихачев

57

Дифференцирование сложной функции

1. $12x^2(x^3+2)^3$;
2. $\frac{5x}{\sqrt{1+5x^2}}$;
3. $(2x-3)\cdot e^{x^2-3x}$;
4. $\frac{3x-4}{x^2-2x}$;
5. $\frac{3x-4}{(x^2-2x)\ln 10}$;
6. $5\sin x\cdot \cos x\cdot \ln 5$;
7. $\frac{8-3x}{(4x-x^2)\ln 0,3}$;
8. $2\sin(1-2x)$;
9. $-3\sin 6x$;
10. $\frac{1}{2\cos^2x\sqrt{tgx}}$;
11. $\text{tg}^2x + \frac{2x\text{tg}x}{\cos^2x}$;
12. $\frac{a\cos\sqrt{ax}}{2\sqrt{ax}}$;
13. $\text{ctg}x$;
14. $-\frac{3^x\ln 3}{x^2}$;
15. $\frac{2\sin 2x}{\cos^22x}$.

Избранные школьные задачи

1. a) $a^4+4b^4=(a^2+2b^2)^2-(2ab)^2$
   $= (a^2+2b^2+2ab)(a^2+2b^2-2ab)$.

6. $a^4+b^4=(a^2+b^2)^2-(ab\sqrt{2})^2$
   $= (a^2+b^2+ab\sqrt{2})(a^2+b^2-ab\sqrt{2})$.

2. Пусть BC и AD — основания трапеции, M и N — соответственно их середины, O — точка пересечения диагоналей, a прямые AB и DC пересекаются в точке F (рис. 1). Расстоянием готетического с центром в точке F, переводящего треугольник FBC в треугольник FAD; при этой готетении точка M переходит в точку N. Позетому точки M, N и F лежат на одной прямой.
3. a) Проведем через точки A и B прямые, пересекающиеся в точке C по ту же сторону от прямой AB, где лежит вторая данная прямая (рис. 2, a). Пусть прямая AC пересекает вторую данная прямую в точке D, а прямая BC — в точке E (рис. 2, 6). Построим точку O пересечения прямых BD и AE. Тогда прямая CO пересекает прямую AB в исключой точке F (рис. 2, 8) в силу задачи 2.

6. Решение аналогично задаче 3a.

4. Ответ: квадрат с вершинами в точках (1; 0), (0; 1), (0; -1) и (-1; 0).
5. Ответ: в 2,5 раза. Указание. Выясните, сколько трапеций вырыли бы экскаваторы, если бы все указано время они работали не подночке, а все вместе.
6. Ответ: 1/4. Указание. Легко видеть (доказательство — от противного), что числа a и b либо разных знаков, либо положительных. В первом случае их произведение отрицательно, а во втором — положительное, поэтому имеет смысл рассматривать только положительные значения a и b. Согласно неравенству между средним арфметическим и средним геометрическим поло-

Рис. 1.

Рис. 2.

59

6. Перепишем данное уравнение в виде
   $$\left( \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2} \right)^x + \left( \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2} \right)^x = 1.$$
   Поскольку $\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2} < \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2} < \frac{\sqrt{2}+\sqrt{4}}{2} = 1,$ в левой части последнего уравнения стоит сумма двух monotонно убивающих показательных функций, поэтому левая часть — сама monotонно убивающая функция. Но monotонная функция принимает какоеое значение равно один раз, поэтому данное уравнение имеет не более одного решения. Осталось подобрать это решение.

14. Ответ: a) 0; b) 6; c) 0; в) $\log_2 n$. Указание. a) Поскольку $tg 1^\circ \cdot tg 89^\circ = tg 1^\circ \cdot ctg 1^\circ = 1,$ то $\log_a tg 1^\circ + \log_a tg 89^\circ = 0$. Аналогично преобразуется и остальные пары слагаемых, равно отстоящих от концов расматриваемой суммы. В результате остается один лишь среднее слагаемое, $\log_a tg 45^\circ,$ но оно само равно нулю.

6. Средний сомножитель равен нулю.
   в) Перейдя к основанию·2, получим ответ.

15. Соединив выбранную внутренние или на границе терраэдра точку с вершинами терраэдра, разобъем его на параметры, основаниями которых служат грани терраэдра, а вершиной — выбранная точка. Записав, что сумма объемов полученных параметров равна объему терраэдра, получим нужное равенство.

Теплоемкость идеального газа

1. $T = T_1 + \frac{QvR}{C_V(C_V+R)} = T_1 + \frac{4Qv}{15R} \approx 350$ К.
2. $A' = vC_VT_1(mn-1)$.
3. $C = C_V + 3R/2 = 3R$.

Ленинградский государственный университет имени А. А. Жданова

Математика
Писменный экзамен
Вариант 1

1. a) да; b) нет. Указание. Докажите, что шар ридуса $R$ можно помещить в терраэдр объема $V$ и площади поверхности тогда и только тогда $V \geq \frac{1}{3} RS$.
2. $\{\pi k; \frac{\pi}{4} (2l+1)\}, (k, l \in \mathbb{Z})$. Указание. После преобразования получаем уравнение—следствие $\sin 4x(1-\cos 3x \cdot \cos 7x) = 0,$ откуда либо $sin 4x = 0,$ либо $cos 3x \cdot \cos 7x = 1$. Из последнего уравнения следует, что либо
   $$\begin{cases} \cos 3x = 1, \\ \cos 7x = 1, \end{cases}$$
   либо
   $$\begin{cases} \cos 3x = -1, \\ \cos 7x = -1. \end{cases}$$
   При окончательном отборе корней воспользоваться условиями $\cos 3x \neq 0,$ $\cos 7x \neq 0$.
3. $S = \frac{a^2}{3} (1-\cos \alpha) \sin \alpha$ (рис. 4, а) или $S = \frac{a^2}{3} (2+\cos \alpha) \sin \alpha$ (рис. 4, б) при $\alpha \in \mathbb{C}$ $\frac{\pi}{2}; \frac{2\pi}{3}$ [; $S = \frac{a^2}{9} (3+\cos \alpha) \sin \alpha$ (рис. 4, с) при $S = \frac{2a^2}{9} (3+2\cos \alpha) \sin \alpha$ (рис. 4, d) при $a \in \mathbb{R}$ $\frac{\pi}{2}; \pi$ [.]
4. $\{(8, \sqrt[3]{5}-1); (2; 4)\}$. Указание. После замены $a^{14} = \frac{3}{4} (\log_8 x + \log_5(y+1)), b^{20} = 3 \log_8 x \cdot \log_5(y+1)$ система преобразуется к виду
   $$\begin{cases} 8a^7-7a^2=1, \\ 11b^5-5b^4=6. \end{cases}$$
   Единственным решением этой системы является $a=b=1$.
   Для доказательства этого воспользования тем, что при $a>1$ и $b>1$ левые части уравнения больше 1, а при $a<1$ и $b<1$ меньше 1.
5. $a \in \mathbb{R}$ $\frac{8}{7} \pi; \frac{16}{9} (\pi-1)$ [. Указание. При $a=0$ второе неравенство решений не имеет при $a<0$ первого неравенство приводится к виду $y^2-|a+1|y+\frac{9}{16}a\left|\frac{7}{16}a+1\right|-\frac{1}{8}a \geq 0,$ где $y=ax$; множество решений этого неравенства содержит все достагоно большее по модулю $y,$ средние которых найдутся также, для которых $cos y=\cos ax=0,$ то есть не удовлетворяющие второму неравенству.
   При $a>0$ первого неравенство приводится к виду $y^2-(1+a)y+\frac{7a(9a+16)}{256} \leq 0,$ где $y=ax$. Решения этого неравенства образуют отрезок $I = \left[\frac{7}{16}a; 1+\frac{9}{16}a\right]$ длины $1+\frac{9}{16}a-\frac{7}{16}a=1+\frac{a}{8}$. второе неравенство после замены $y=ax$ приводится к виду $1-tg^2y < -\frac{1}{\cos y};$

60

Рис. 5.

Рис. 6.

решения этого неравенства образуют объединение интегралов $\frac{\pi}{3} + 2\pi k < y < \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k < y < \pi + 2\pi k, \pi + 2\pi k < y < \frac{3\pi}{2} + 2\pi k; \frac{3\pi}{2} + 2\pi k < y < \frac{5\pi}{3} + 2\pi k$ первый и последний из перечисленных интегралов имеют длину $\frac{\pi}{6}$ и поэтому отрезок $I$ ни в одном из них содержится не может. Значит $I$ может содержаться лишь в одном из интегралов длины $\frac{\pi}{2}$. Отсюда $1 + \frac{a}{8} < \frac{\pi}{2}$. Дальнейшее ясно.

Вариант 2

1. $v\left(7 \cdot \frac{223}{209} - \sqrt{\left(7 \cdot \frac{223}{209}\right)^2 - \frac{14}{209}}\right)$.

2. Указание. Легко подсчитать, что $tg(\alpha + 2\beta) = 1$, то есть $\alpha + 2\beta = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k$ — целое число. Так как $\frac{\pi}{4} < \alpha < \frac{\pi}{2}$ и $\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$ получаем $\frac{5\pi}{4} < \alpha + 2\beta < \frac{\pi}{2} + 2\pi$. Поэтому $k = 2$ и $\alpha + 2\beta = \frac{9\pi}{4}$.

3. При $a = 1$ — вся плоскость; при $a > 1$ см. рисунок 5, $\delta$.

4. $\{\pm \arccos\left(\frac{3}{4} - \frac{1}{4}\sqrt{\frac{15}{7}}\right) + 2\pi k;$
   $\pm \arccos\left(\frac{3}{4} - \sqrt{\frac{111}{7}}\right) + 2\pi l\}$ ($k, l \in Z$).

Указание. Заменой $z = \cos y$ уравнение приводится к виду $\frac{6}{7|z|} + 2(1 + z) = 5$.

5. $V = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} H - (a - 2h \sqrt{3})^2 (H - h) \frac{\sqrt{3}}{4}$ — это разность объемов двух правильных треугольных прямоугольников: с основанием $a$ и высотой $H$ и с основанием $a - 2h \sqrt{3}$ и высотой $H - h$.

Вариант 3

1. $t + T + \sqrt{t^2 + tT}; T + \sqrt{T^2 + tT}$.

2. Уравнение корней не имеет. Указание. Выполнить замену $z = (5^{-x} + 4 \cdot 5^x)^{-1}$, получим $4z^2 - z + \frac{\sqrt{15}}{4} - \frac{\sqrt{23}}{5} - \frac{1}{100} = 0$. Своободный член этого уравнения отрицательен, а сумма корней равна $\frac{1}{4}$, поэтому положительный корень $z_2$ полученного уравнения больше $\frac{1}{4}$. Однако $0 < z < \frac{1}{4}$.

3. Круг разбивается на 7 части (см. рис. 6).

$S_A = \frac{3\sqrt{3}}{4}; S_{C_1} = S_{C_2} = S_{C_3} = \frac{\sqrt{3}}{4} + 4 \arccos \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{15}}{4} - \frac{4}{3} \pi,$
$S_{B_1} = S_{B_2} = S_{B_3} = \frac{8}{3} \pi - 4 \arccos \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{15}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2}$.

4. $x = \frac{\pi}{4} (2k + 1), k \in Z$. Указание. Исходное неравенство равносильно уравнению
   $\left(\frac{1}{32 \sin^8 x} - \sin^2 x\right)^2 + \left(\frac{1}{4 \sin^3 x} - 2 \sin^3 x\right)^2 \leq 0$.

5. $\{(\pm \sqrt{10}; -10); (\pm \sqrt{\frac{5}{2}}; \frac{5}{2})\}$.

Физика

Писменный экзамен

Вариант 1

1. Разберем последовательно все возможные случаи.
   a) Пуля пробивает шар насквозь. По закону сохранения импульса имеем $mv = mv/2 + MV$, причем $V < v/2$ (пробив шар, пуля движется быстрее шара). Отсюда найдем
   $V = \frac{m}{M} \frac{v}{2}, \frac{m}{M} < 1$.

Отношение $\beta$ в рассматриваемом случае равно $\beta = \frac{mv^2/2 - m(v/2)^2/2 - MV^2/2}{mv^2/2} = \frac{1}{4}\left(3 - \frac{m}{M}\right)$.

Учитывая предыдущую условия для масс, получим область изменения $\beta$:
$\frac{1}{2} < \beta < \frac{3}{4}$.

6. Пуля застревает в шаре. В этом случае скорости шара и пуля после удара одинаковы, поэтому
   $mv = (m + M) \frac{v}{2}$ и $\frac{m}{M} = 1$.

Тогда
$\beta = \frac{mv^2/2 - (m + M)(v/2)^2/2 - MV^2/2}{mv^2/2} = \frac{1}{2}$.

в) Пуля отскакивает от шара назад. Тепер закон сохранения импульса записывается в виде $mv = -mv/2 + MV$, откуда
$V = \frac{m}{M} \frac{3}{2} v$,

и
$\beta = \frac{mv^2/2 - m(v/2)^2/2 - MV^2/2}{mv^2/2} = \frac{3}{4}\left(1 - 3 \frac{m}{M}\right)$.

63

Рис. 12.

отрезок МК длины $|MC|$ после чего докажите, что $\triangle AKC \cong \triangle BMC$.

$$2a^2 \sin \beta \cos^2 \frac{\alpha}{2}$$

Вариант 2.

1. 1. 2. {1; 3}. 3. ] - \infty; 1[ \cup ] 4; + \infty[.
2. $$\frac{b^3}{24} \text{tg} \alpha.$$

Физика
Физический факультет

1. $x = g / (4\pi^2 v^2) \approx 0,06 \text{ m}$.
2. См. рис. 13, а и б.
3. См. рис. 14.

Математический факультет

1. $v' = v / \sqrt{2} \approx 10 \text{ m/c}$.
2. $T = \frac{\Delta T}{(1 - \alpha)(1 + \beta)} - 1 = 200 \text{ K}$ (здесть $\Delta T = 16 \text{ K}$).

Рис. 13.
А’ $\rightarrow \infty$

Рис. 14.
$\nu, \text{M}\Gamma$

Рис. 15.
$L, \text{мкГн}$

Рис. 16.
Рис. 17.

$\alpha = 0,1$ и $\beta = 0,2$.
3. См. рис. 15.
4. $k = \frac{F^2}{(d - F)(d + l - F)} = 2$.

Химический факультет и факультет естественного

1. $v_0 = (4l_1 - l_2) / (2t) = 10 \text{ m/c}$ (здесть $t = 5 \text{ c}$).
2. $N = N_A pV / (RT) \approx 3,6 \cdot 10^{25}$ (здесть $N_A = 6,02 \times 10^{23} \text{ mol} \cdot \text{}^{-1}$ — постоянная Авогадро, $R = 8,31 \text{ Дж/(моль} \cdot \text{К)}$ — унверсальная газовая постоянная).
3. $\eta = \frac{cQV(t_K - t)}{P\tau} 100\% \approx 47\%$ (здесть $\eta = 10^3 \text{ кг/m}^3$ — плотность воды, $t_K = 100^\circ \text{C}$ — температура кипения воды).
4. $W = \frac{pVMFnU}{RTA\eta/100\%} \approx 0,13 \text{ MДж}$ (здесть $M = 2 \cdot 10^{-3} \text{ кг/mоль}$ — молярная масса водорода, $F = 96500 \text{ KJ/mоль}$ — постоянная Фарадей, $n = 1$ — валентность atoms водорода, $R = 8,31 \text{ Дж/(моль} \cdot \text{К)}$ — унверсальная газовая постоянная и $A = 10^{-3} \text{ кг/mоль}$ — atomная масса водорода).

Индuctrialно-педагогический и художественного-графический факультеты

1. Давление воды на стенки сосуда не изменится.
2. См. рис. 16.
3. Один конец нити нужно прикрепить к валу электроновигателя, а второй — к перемещающей теляty; волтметр следует подключит к электроновигателю и проградировать его в единицах скорости.

«Квант» для младших школьников
(см. «Квант» № 3)

1. Да, верно, так как $(n - 1)n = n^2 - n - 2 + 2 = (n + 1)(n - 2) + 2$.
2. Колесики, приводящие в действие диамоащину, врашаются из-за треня об обод. Колесики будут врашаться с одинаковыми скоростями (так как влиспеды едут с одинаковыми скоростями). Значит, фонарики будут светить одинаково.
3. Нет: трехзначное число не меньше, чем произведение первого цифры на 100, а произведение цифр не больше, чем произведение этой цифры на 81.
4. Эти площади равны, так как площадь заштрихованного сектора в четые раза больше площади «заточканного» сектора, и четые розовых сектора конгруэнтны (рис. 17).
5. Пусть вторая и третья цифры числа будут $x$ и $y$, тогда само число можно записать как $900 + 10x + y$. После перенеса цифры 9 в конец числа, получаем число $100x + 10y + 9$, которое на 216 меньше предыдущего, то есть $900 + 10x + y = 100x + 10y + 9 + 216$. Отсюда $90x + 9y = 675$. Разделив обе части на 9, получим $10x + y = 75$, следовательно, первоначальное число есть 975.