Задачи М876—М880; Ф888—Ф892

44

Задачи

M876—M880; Ф888—Ф892

М876. На окружности, касающейся сторон угла с вершиной O, выбраны две диаметрально противоположные точки A и B (отличные от точек касания). Касательная к окружности в точке B пересекает стороны угла в точках C и D, а прямую OA — в точке E (рис. 1). Докажите, что длины отрезков BC и DE равны.

А. С. Меркурьев

M877. Из листа клетчатой бумаги размерами 29×29 клеток вырезали 99 квадратков размерами 2×2 каждый. Докажите, что из него вырезать еще один квадратик.

С. В. Фомин

M878. Докажите, что если сумма плоских углов при вершине парамиды больше 180°, то каждое боковое ребро парамиды меньше полуперimetра ее основания.

Ю. И. Ионин, А. В. Смирнов

M879. Про пять целых чисел a, b, c, d, e известно, что суммы a+b+c+d+e и a²+b²+c²+d²+e² делятся на нечетное число p. Докажите, что число a⁵+b⁵+c⁵+d⁵+e⁵ — 5abcde также делится на p.

С. В. Фомин

M880*. В последовательности 1, 0, 1, 0, 1, 0,… каждый член, начиная с седьмого, равен последней цифре сумме шести предыдущих. Докажите, что в этой последовательности не встречается подряд шесть чисел …, 0, 1, 0, 1, 0, 1,….

А. С. Меркурьев

Ф888. На рисунке 2 изображена прициппальная схема гравиметра — прибора для измерения варнацей ускорения свободного падения g. В теплопроводных газовых баллонах 1 и 2 давления соответственно p₁≈2·10⁴Па и p₂≈3·10⁴Па. Цилиндрическое сосуды A и B радиуса 10 см и соединишая их трубка заполнены рутью. Поверх ртути налита очень легкая жидкость (толуол); эта жидкость заполняет сосуды A и B с баллонами 1 и 2. Опишите процесс измерения варнацей ускорения g с помощью этой прибора. Какова величана варнацей g, которые можно зарегистиро-

45

васть этим граvimетром, если известно, что при изменениях в разных пунктах изменения разности горизонтальных смещений только в капиллярах могут достигать несколько миллиметров (до 1 см)? Температура во время изменения поддерживается постоянной; плотность ртути $\rho = 13,5 \times 10^3$ кг/м$^3$.

Ю. М. Брук

Ф889. Солнце находится на угловой высоте ф над горизонтом. Под каким углом к поверхности Земли нужно бросить тело в вертикальной плоскости, проходящей через Солнце, чтобы тела прошла наиболее путь по Земле?

В. А. Нахшин

Ф890. Кристаллы железа при температуре до 910 °C состояят из элементов ячеек, имеющих форму куба с длиной ребра $a_1 = 2,87 \cdot 10^{-10}$ м. Атомы железа располагаются в вершинах куба и в его центре (рис. 3). Такая разновидность элемента — с объемноцентрированной кубической решеткой — называется альфа-железом ($Fe_a$). При температуре выше 910 °C ячейки Kristalliza железа представляют собой гранецентрированный куб с длиной ребра $a_2 = 3,63 \cdot 10^{-10}$ м. Атомы располагаются в вершинах куба и в центрах его граней (рис. 4). Такая разновидность элемента называется gamma-железом ($Fe_\gamma$). Однакокова ли плотность железа в этих состояниях? Относительная atomная масса железа $\mu = 55,847$.

И. М. Низамов

Ф891. Как изменится электроемкость проводящей сферы, если в ней сделать вмятину?

Р. Л. Энфидджян

Ф892. На стеклянный шарик радиуса $R$ падает луч света, направленный вдоль радиуса. На расстоянии $r$ от центра шарика свет рассеивает равномерно по всему направлениям на маленьком воздушном пузырьке, образованшемся при изготовлении шарика. Определить зависимость доли выходщего из шарика света от $r$. Показатель преломления стека $n$. Потерями света в стекле пренебречь.

А. А. ЛанUDEC

Problems

M876—M880; P888—P892

M876. Diametrically opposed points $A$ and $B$ are chosen on a circle which touches the sides of an angle with vertex $O$ (neither $A$ nor $B$ is a tangency point). The tangent to the circle at $B$ intersects the angle’s sides at the points $C$ and $D$ and the line $OA$ at $E$. Prove that the segments $BC$ and $DE$ are of equal length (see figure Pис. 1).

А. S. Merkuriev