Задачи М916—М920; Ф928—Ф932

36

Задачи

M916 — М920; Ф928 — Ф932

M916. Из середины каждой стороны остроугольного треугольника опущены перпендикуляры на две другие стороны. Доказите, что площадь ограниченного иммиштирульника равна половине площади треугольника.

A. A. Азамов

M917. a) Чему равна длина максимальной серии идущих подряд несчастливых билетов? 6) Сколько существует таких серии максимальной длины? (Считается, что номера билетов изменяются от 000000 до 999999 включительно; билет называется счастливым, если сумма первых трех цифр его номера равна сумме трех последних цифр.)
C. Ю. Оревков

M918*. Радиус вписанной окружности треугольника равен 1, а длины его стороны — целые числа. Доказите, что эти числа — 3, 4 и 5.

B. В. Праслов

M919. a) Доказите равенство
$$\int_0^{\pi/4} tgx dx + \int_0^1 arctgx dx = \frac{\pi}{4}.$$
6)* Доказите неравенство
$$9 < \int_0^3 \sqrt{x^4 + 1} dx + \int_0^3 \sqrt{x^4 - 1} dx < 9,0001.$$
Ю. И. Ионин

M920. a) Найдите хотя бы одно решение уравнения
$$x^3 + y^3 + z^3 = x^2y^2z^2$$
в натуральных числах.
6)* Доказите, что уравнение
$$x^3 + y^3 + z^3 = nx^2y^2z^2$$
имеет натуральное решение лишь при $n=1$ и $n=3$ и найдите все эти решения.

P. A. Мазов

Ф928. Два одинаковых гладких полуплиндра, общая масса которых $m$, подвешены на нерастижной неверсомой нити так, как показано на рисунке 1. Чему равны силы натяжения нити и丝ла давления одного полуплиндра на другой?

J. Г. Маркович

37

Ф929. Известно, что охлаждая сосуд с водой и одновременно откачивая газ из сосуда, можно довести воду до кипения. Возможно ли закипание жидкости при охлаждении замкнутого сосуда с жидкостью и газом?

Л. А. Ашкинази

Ф930. Плотности поверхностного заряда на прямогольных пластинах плоского конденсатора равны +σ и —σ. Расстояние между пластинами много меньше размера пластин. Определите направность электрического поля в точке A (см. рисунок 2).

О. Я. Савченко

Ф931. Точечный источник расположен на расстоянии 2F от линзы с фокусным расстоянием F. На расстоянии 3F от линзы расположен экран (рис. 3). За линзой установлена круглая пластинка радиуса R, пропускющая свет неравномерно (радius пластинки не меньше радиуса линзы). При этом пятно, получающейся на экран, имеет равномерно максимальное возможную освещенность. Как распределена «пропускная способность» пластинки вдоль ее радиуса?

А. А. ЛанUDEC

Ф932. Настройка гитары состоит в следующем: зажимая в определенном месте вторую струну, добавляются, чтобы она звучала в унисон с первой, далее так же настройвали другие струны. может ли человек, у которого абсолотно отсутствует музыкальный слух (то есть уменне различать звуки по высоте), настройть гитару?

И. И. Мазин

Problems

M916—M920; P928—P932

M916. Perpendiculars are drawn from the three midpoints of the sides of an acute triangle to the two other sides. Prove that the area of the hexagon thus obtained is half of that of the triangle.

А. А. Azamov

M917. a) What is the length of the longest possible series of unlucky ticket numbers? b) How many such longest series are there? (It is assumed that the ticket numbers range from 000000 to 999999 inclusively; a ticket number is called lucky if the sum of its first three digits equals that of the last three.)

S. Yu. Orevkov

M918*. The radius of a triangle’s incircle is 1, the lengths of its sides are integers. Prove that these integers are 3, 4 and 5.

V. V. Prasolov