Формулы для sin nx и cos nx

25

Mathematica 9, 10

Публикуемая ниже заметка предназначаена действиклассик и десятиклассикам. Она также будет полезна тем, кто готовится кступпельным экзаменам вузы.

Формулы для sin nx и cos nx

Сборники задач для построащих вузы пестрят синусами и косинусами «кратных углов», то есть выражения типа sin 7x, cos 9x и т. п. Не всегда, но довольно часто бывают полезно записать эти выражения как функции от sin x и cos x. В принципе это можно сделать совершенно автоматически при помощи формулы для синуса и косинуса суммы, но при многократном применении даже самой простой формулы никто не затрахован от ошибок; к тому же может помещать нежатка времени. Ниже приведится простой, легко запоминающийся и надежный способ написания формулы для sin nx и cos nx.

Треугольник Паскала. Вполне возможно, что читатель знает, что это такое; все же напомним определение. Треугольник Паскала — это числовая таблица, в n-й строке которого стоит n+1 натуральных чисел. При этом в верхней строке стоит две единицы и при каждом n в n-й строке стоит по краям единицы, а на остальных местах — суммы последовательных пар соседних чисел из (n-1)-й строки (рис. 1).

Рис. 1.

Самое замечательное свойство треугольника Паскала состоит в том, что числа из его n-й строки — это коэффициенты многочлена $(x+1)^n$:
$(x+1)^1=x+1,$
$(x+1)^2=x^2+2x+1,$
$(x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1,$
$(x+1)^4=x^4+4x^3+6x^2+4x+1,$
$(x+1)^5=x^5+5x^4+10x^3+10x^2+5x+1$

Когда-то это проходили в школе, но теперь не проходят.

Формулы. Напишите n-ю строку треугольника Паскала. (Кстати, для того чтобы найти n-ю строку, не нужно считать строки: в n-й строке на втором месте стоит n.) Пришите к числам из этой строки последовательно $\cos^n x$, $\cos^{n-1}x \sin x$, $\cos^{n-2}x \sin^2x$, …, $\sin^n x$. Подчеркийте в получившейся цепочке выражения, стоящие на четных местах: втором, четвертом и т. д. Выпишите неподчеркичные выражения и подчеркичные выражения в две отдельные строки. В каждой из получившихся двух строкек поставьте перед вторым выражением минус, перед третьим плос, перед четвертым минус и т. д. Все готово — в верхней строке вы написали выражение для cos nx, в нижней — для sin nx.

При меры. При n=2 строка треугольника Паскала имеет вид 1, 2, 1. Пищем:

$$\cos^2x \ 2\cos x \sin x \sin^2x$$

$$\cos 2x=\cos^2x-\sin^2x,$$

$$\sin 2x=2\cos x \sin x.$$

При n=3 пишем:

$$\cos^3x \ 3\cos^2x \sin x \ 3\cos x \sin^2x \sin^3x$$

$$\cos 3x=\cos^3x-3\cos x \sin^2x,$$

$$\sin 3x=3\cos^2x \sin x-\sin^3x.$$

Несколько полученных этим способом формулы для cos nx и sin nx читатель найдет на рисунке 2; вдоль красных ломанных на этом рисунке можно прочесть строки треугольника Паскала.

Упражнение. Зная n-ю строку треугольника Паскала, легко написать формулу, выражующую tg nx через tg x. Попробуйте это сделать.

Доказательство формулы. Вообще-то эти формулы являются следствием «Формулы Муавра» («Квант», 1983, № 2, с. 19, статьи Л. С. Понтрягина «Комплексные числа»). Но, чтобы не ссылаться на не входящий в програм-