Избранные школьные задачи

32

Избранные школьные задачи

Восмой класс

1. Решите систему уравнения
   $$\begin{cases} x+y+z=3, \\ 2xy-2y-z^2=4. \end{cases}$$

2. a) Известно, что медиана и высота, проведенные из одной вершины треугольника, делят угол при этой вершине на три равные части. Докажите, что этот треугольник — прямогольный, и найдите его остые углы.

3. Какое из двух чисел больше:
   $$\frac{1985^{1986}+1}{1985^{1987}+1}$$ или $$\frac{1985^{1984}+1}{1985^{1985}+1}$$?

4. В выпклом четырехугольника ABCD найдите такую точку O, чтобы площади четырехугольников, получающихся при соединении точки O с серединами сторона четырехугольника ABCD, были равны.

5. Докажите, что из любых 100 натуральных чисел можно выбрать несколько чисел так, чтобы их сумма делилась на 100.

Девятый класс
6. Решите систему уравнения
$$\begin{cases} xy+x+y=1, \\ yz+y+z=5, \\ xz+x+z=2. \end{cases}$$

На этом рисунке и на обложке журнала — два изображения одного и того же объекта — кометы Галлея. Первое — самоое раннее (из сохраняющихся в истории), второе — сегодняшнее.

Рисунок сделан с гобелена «образца» 1066 года, вышитого королевой Матильдой, желой Вильгельма Завоевателя, под предводительством которого норманны покорили Англлюю. На гобелене видна комета и надпись «удивляются звезд». В правой части гобелена приводный астролог нашптывает последнему англо-сакконскому королю Гаролду II о дурном знаменении — комете.

На обложке журнала — изображения одного и того же объекта — кометы Галлея. Первое — самоое раннее (из сохраняющихся в истории), второе — сегодняшнее.

Рисунок сделан с гобелена «образца» 1066 года, вышитого королевой Матильдой, желой Вильгельма Завоевателя, под предводительством которого норманны покорили Англлюю. На гобелене видна комета и надпись «удивляются звезд». В правой части гобелена приводный астролог нашптывает последнему англо-сакронскому королю Гаролду II о дурном знаменении — комете.

На этом рисунке и на обложке журнала — два изображения одного и того же объекта — кометы Галлея. Первое — самоое раннее (из сохраняющихся в истории), второе — сегодняшнее.

Рисунок сделан с гобелена «образца» 1066 года, вышитого королевой Матильдой, желой Вильгельма Завоевателя, под предводительством которого норманны покорили Англлюю. На гобелене видна комета и надпись «удивляются звезд». В правой части гобелена приводный астролог нашптывает последнему англо-сакронскому королю Гаролду II о дурном знаменении — комете.