Избранные школьные задачи

20

Избранные школьные задачи

Восьмой класс

1. Найдите $x^2+y^2+z^2$, если
   $$x+y+z=1, \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0.$$

2. Точки $E$ и $F$ — середины сторона $AB$ и $CD$ четырехугольника $ABCD$. Докажите, что середины отрезков $AF, BF, CE$ и $DE$ являются вершинами параллелограмма.

3. По дороге бассейна плавают с постоянными неодинаковыми скоростями два спортмена. Они в разное время выплывают из разных концов дорогки навстречу друг другу и первый раз встречаются в точке $C$. Встретившись, они разворачиваются, допливают каждый до своего конца дорогки и снова плыут настречу друг другу, пока не встречятся в точке $D$, и так далее. Где произойдет их 20-я встреч?

4. Решите уравнение
   $$\left(\frac{x+2}{x+1}\right)^2+\left(\frac{x-2}{x-1}\right)^2-\frac{5}{2}\frac{x^2-4}{x^2-1}=0.$$

5. В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $75^\circ$, высота $CH$ равна поливине стороны $AB$. Найдите угол $CBA$.

Девятый класс
6. Решите уравнение
$$\sqrt{x+2+3\sqrt{2x-5}}+\sqrt{x-2-\sqrt{2x-5}}=2\sqrt{2}.$$

7. На сторонах $AB, AC$ и $BC$ треугольника $ABC$ даны точки $M, L$ и $K$ такие, что четырехугольник $KLMB$ — параллелограмм. Найдите площадь этого параллелограмма, если известно, что площадь треугольников $AML$ и $KLC$ соответственно равны $S_1$ и $S_2$.

Наш календарь

К 175-летию закона Авогадро
(Начало см. на c. 12)

говора, различие между атомами и молекулами было по-настоящему осознано именно благодария избвения работе Авогадро.

А между тем уже сам Авогадро отсутствив предоставлял, сколь широкие возможности открывает найденный им закон для определения химических формул различных газообразных веществ, для определения их относительной атомных и молекулярных масс. Но какова физическая основа его закона, так сказаать, откуда он береется, Авогадро не знал. Исчерпывающее объяснение для возникшая в конце 50-х годов прошло века кинетическая теория газов.

Хотя Авогадро, конечно, понимал, что число молекул, скажем, в одном литера газообразного вещества (согласно открывающей для всех газов) огромно, о каких конкретоно величины может тут идти речь, узнать ему не довелось. Эта задача была надежно решена

лишь в начале нашего столета, и только после этого отпали последние сомнения в реальности атомов, представления о которых зародились около двух с половинной тысячей тому налад. Измерения, проведенные несколькоми совершенню различных физики и химии, получившая название числа Авогадро.

В. Е. Явелов