Старый алгоритм

34

На днях подошел ко мне мой сын Саша (он семиклассик):
— Купи мне калькулятор, как у Вовки!
— Во-первых, у тебя есть калькулятор, но во что ты его превращал? Теперь он вместе цефр показывает какие-то цероглифы! Во-вторых, школьник должен уметить считать и без калькулятора. В-третьих, так и быть, отнесу на этой неделе калькулятор в починку.
— Может не носить калькулятор в мастерскую, — ответал мне Саша, — складывать, умножать и делить я и сам умело. Мне уравнение квадратное надо решить, а под корнем во какое число: 16229! В учебнике-то самое большое число в таблице — это 10 000. А у Вовки калькулятор вычисляет квадратные корни.
— А хочешь я научу тебя вычислять корни без калькулятора?
— А это трудно?
— Не намного труднее деления. Вот слушай.

Различные способы извлечения квадратных корней «вручную» существуют с древних времен. Я рассказу тебе об одном таком способе, который был создан еще в XV веке и на протяжении долгих лет чисто служил и школьникам, и ученым.

Что бы освободить этот способ, достаточно разобрать несколько примеров.

Спачала рассмотрим случай, когда корень извлекается нацело, т. е. когда число является полным квадратом. Найдем, например, корень из числа 294 849.

Разобъем цефры, входящие в это число, справа налево на группы по две цефры (рис. 1, а). Самую левую группу наозвемет первой, следующее — второй и т. д. Общее число образованшихся групп определяет число цефр исключого корня.

Первая цефра находится как целочисленное значение корня из первой группы с недостатком. В нашем случае — это цефра 5. Записьваем ее в ответ, затем возводим в квадрат, вычитаем из первой группы и способ к результату вычитания следующего группу. (Если результат вычитания — нуль, то просто сносим следующего группу.) В рассматриваемом примере получится число 448 (рис. 1, б).

Переходим к определению второй цефры. Для этого слева от полученного числа 448 проводим вертикальную прямую и записьваем за ней место десятков удвоенную первуцию цефру: $2 \times 5 = 10$ (рис. 1, с).

На место единиц ставим сумму бóльшую цефру $a$, для которой разность $448 - 10a \cdot a$ неотрицательна, т. е. положительная или равна нулю. Ясно, что в нашем случае это цефра 4. Заносим эту цефру в ответ (рис. 1, е).

Умножаем 104 на 4 и записьваем результат справа от вертикальной черты. Вычисляем разность $448 - 416 = 32$ и способ к ней следующее. На место единиц ставим сумму бóльшую цефру $b$, для которой разность $3249 - 108b \cdot b$ неотрицательна. Подбором убеждаемся, что для $b = 3$ эта разность равна

35

нулю. Заносим $b=3$ в ответ (рис. 1, е).

Умножаем 1083 на 3, записываем результат справа от вертикальной черты и вычитаем его из 3249 (рис. 1, ж).

Так как разность равна нулю, процесс вычисления корня окончен.

А теперь, глядя на рисунки 2 и 3, попробуйте самостояльно повторить все шаги, необходимые для вычисления квадратных корней $\sqrt{212521}$ и $\sqrt{165649}$.

До схх пор мы рассматривали числа с четыым числом цифр. Если же общее число цифр нечетно, то первый группа слева будет состоять только из одной цифры (рис. 4, 5).

Ну а что же делать, если число не является полным квадратом? Алгоритм в этом случае не меняется, нужно лишь правильно подготовить число. Итак, пусть $N$ — некоторое число (не обязательное целое), представленное десятичной дробью, и мы хотим вычислять корень из него с точностью

36

до $\frac{1}{10^{10}}$, т. е. хотим найти цифры в десятичном представлении исходного корня до $m$-го знака после запятой включительно. Тогда мы построаем следующим образом. Цифры, входящие в целую часть числа $N$, разбиваем на группы по две цифры в каждой справа налево, а цифры, образующие дробную часть, разбиваем на такие же группы, но уже слева направо. Если общее число цифр в целой части нечетно, то первый группа слева будет состоять из одной цифры, если же нечетно число цифр в дробной части, то к последней цифре слева приписываем нуль. Когда число групп в дробной части больше $m$, мы отбрасываем лишние группы справа, когда оно меньше $m$, мы составляем недостающие группы из нуля. Теперь все готовы, чтобы использовать наш алгоритм. На рисунках 6 и 7 показано вычисление

37

квадратных корней $\sqrt{2}$ и $\sqrt{12,5}$ с точностью до $\frac{1}{1000}$.

Чтобы проверить, освоили ли вы этот алгоритм, продолжайте следующие упражнения: вычислите с точностью до $\frac{1}{1000}$ квадратные корни $\sqrt{18769}, \sqrt{24336}, \sqrt{35721}, \sqrt{232324}, \sqrt{243049}, \sqrt{104,2441}, \sqrt{1867,1041}, \sqrt{7}, \sqrt{10}$.

Мы не будем заниматься обоснованием описанного алгоритма. Заметим лишь, что получение каждого новой цифры связано с возрастающим объемом вычисления, поэтому алгоритм разумно применять тогда, когда требуется точность не превышает трехчетырех значших цифр (чero, как правило, достаточно для практических расчетов).

Tochnostь вычисления с использованием указанного алгоритма можно повысить, если воспользоваться следующим утверждением:

Если после вычисления $n$ значших цифр корня остаток от известняния разделить на удвоенное найденное значение корня, то частное дает $n-1$ следующих цифр корня.

Доказем это утверждение. Предположим вначале, что число $a$, из которого извлекается корень, имеет целую часть из $n$ групп. Пусть найдено $n$ первых цифр корня, образующих число $c$. Тогда $\sqrt{a}=c+x$, где $x$ — дробная часть корня, которую нужно найти. Следовательно,

$$a=c^2+2cx+x^2,$$
$$\frac{a-c^2}{2c}=x+\frac{x^2}{2c}.$$

Разность $a-c^2$ это и есть остаток, который получается после нахождения $n$ цифр корня. Дробь $\frac{a-c^2}{2c}$ представляется собой то самое частное, о котором говорится в утверждении.

Поэтому

$$x=\frac{a-c^2}{2c}-\frac{x^2}{2c}.$$

Считая $x \approx \frac{a-c^2}{2c}$, мы допускаем погрешность, равную $\frac{x^2}{2c}$. Так как $x<1$, $a \geq 10^{n-1}$, имеем что и требовалось. Если запятая, отделяющая целую и дробную части в числе $a$, стоит не там, где мы ее предполагали, то ее всегда можно перевести на надлежащее место, производа умножение или деление числа $a$ на некоторую степень $10$ с четным показателем, а потом разделив или умножив найденный корень на степень $10$ с показателем, вдвое меньшим.

Рассмотрим пример. Вычислим $\sqrt{2}$ с семью значениями цифрами, т. е. с шестю цифрами после запятой. Ранее мы вычислили $\sqrt{2}$ с треязами после запятой (рис. 6). Деление остатка на удвоенное значение корня дает следующее три (рис. 8).

Конечно, в нашей время, когда почти каждый первоклассик носит в портфеле микрокалькулятор, нелегко удивить школьника ручным способом извлекания квадратного корня. Но мы все же надеемся. Известный американский математик академик Грехем вспоминал, что сильный интерес к математике он почувствовал впервые в начальной школе, увидев тот самый алгоритм по известению квадратных корней, о котором мы сейчас расскажли. Его заинтересовало, возможно ли сделать что-нибудь похожое для кубических корней и корней более высоких степени. Он нашел аналогичный способ решения, и с тех пор математика нассгда вошла в его жизнь.

Список читателей, приславших правильные решения

(Начало с. на c. 29)

09, 11; С. Тюрин (п. Правдинск Горьковской обл.) 09, 11; А. Усинский (с. Птичья Ровенской обл.) 09; Д. Фельдман (п. Черноголовка Московской обл.) 03, 05; Д. Филатев (Алма-Ата) 99; Г. Финкельштейн (п. Черноголовка Московской обл.) 03—05, 07—12; Ф. Фот (Томск) 03, 05; А. Фурс (п/o Дричин Минской обл.) 09, 11; М. Хараба (с. Надречное Терновольской обл.) 04; П. Хиль (п. Овидно-пол Одесккой обл.) 03; Д. Ходоровская (Киев) 04; И. Чайка (п. Кузнецов Ровенской обл.) 99, 05, 07, 08, 11; О. Чепиков (Могилев) 03, 09, 11; И. Шехтман (Киев) 04, 05, 09; А. Шшикин (Новый Уренгой) 09; А. Шуляк (с. Молодецкое Черкасской обл.) 11; Н. Юдина (п. Майна Ульяновской обл.) 11; В. Яйлян (Шостка) 03; И. Яковлева (Киев) 04; Ю. Яровой (Киев) 99, 09.