[Головоломка «Волшебная пирамидка»]

«Волшебная парамидка» — очередной персонал наших заметок о глоболомках — была придумана до кубика Рубика, но почему-то не была тогда оценина по достоинству. Особенно объемных шаринных глоболомок, парамидки и кубика в том числе, отличаются их от црушек из предыдущего номеров, за исключением «перевертшей» (см. «Кваит», №1, 2), состоит в том, что их подвижные части могут не только переходить с одной места на другой, но и по разному «садиться» на данной место. Так, в парамидке на рисунке слева 3 тила блоков — 4 угловых, 6 реберных и 4 центральных. Первые можно повернуть на том же месте tremя способами, вторые — двумя, третья — треями; правада, повороты центральных блоков на вид неразличными. У нас выпускают несколько вариантов парамидки. Большая распространен тот, что показан справа, причем к его угловым блокам обычно прикреплены парамидные макушки, врачающей каждая сама по себе. Но горячдо интереснее парамидка с центральными блоками. Наверное, излишне объяснить, как с ней обращаться: допустимый повтор показан следа; надо переутать блоки таким повторами бокрузы всех 4 осей, а затем восстановить исходную раскраску — одноцветную на каждой

$$K_1 = AB^{-1}A^{-1}B$$

грани. Мы уже не раз объявили, как подтвернить к решению такой задачи. Сначала рассмотрим коммулятор двух поворотов (рисунок в центре; на нем видны и обозначения поворотов). Под действием $K_1 = AB^{-1}A^{-1}B$ циклические переставляются 3 реберных блока: $AB \rightarrow CB \rightarrow AC \rightarrow AB$ (порядок букв существен!), а центральные блоки переставляются парами: $a \leftrightarrow b$, $c \leftrightarrow d$, $2d e$ $a$, $b$, … — централь BCD, CDA, …. Аналогично действует $K_2 = BC^{-1}B^{-1}C$: $AB \rightarrow CB \rightarrow CA \rightarrow AB$, только 2 блока — CB и AC — иначе поворчится. Поэтому операция $K_1K_2^{-1}$ переворчитает эти блоки на своих местах, а остальные ребриные блоки не затрагиваются. Еще одна полезная операция получится, если трижды поворить $K_1 : K_2^{-1}$ переворчит только центральные блоки $a \leftrightarrow b$, $c \leftrightarrow d$. Темерь можно повернуть блоки в следующем порядке: 1) угловые (их надо повернуть, чтобы согласовать цвет на каждой грани парамиды), 2) реберные DA, DB, DC — можно ставить их по очереди, пользоваться коммуторами $ABA^{-1}B^{-1}$, $B^{-1}A^{-1}BA$ и т. n., заменяющим по одному из этих блоков 3) реберные AB, BC, CA — сначала пользоваться $K_1$ или $K^{-1}$, а затем, если нужно, перевернуть, пользоваться $K_1K^{-1}$ и т. n., 4) реберные — с помощью операций типа $K_3$. Попробуйте показать, что указанных операций всегда достаточно для полной сборки (это отличь не очень!). Вам помогет стать «Математika волшебного кубика» («Кваит» №8, 1982 г.). И еще задача: доказите, что, врачая парамидку, можно получить $3^4 \cdot 6! \cdot 2^6 = 3732480$ различных расчеток.