Уравнения думают за нас

44

Уравнения
думают за нас

В. А. НАХШИН

Решение любой расчетной задачи по физике состоит из двух частей — физический и математический.

Пока мы обдумываем условия задачи, анализируем, в соответствии с какими физическими законами происходит данное явление, и составляем соответствующую систему уравнения, мы — физики. После этого физика временно отходит на задний план. Теперь мы — математики, и перед нами стоит иные проблемы: как наиболее рационально решить полученную систему уравнения и найти ответ? Причем ответ нужно найти в общем (буквенном) виде, чтобы следва от знака равенства стояла только искомая величины (в буквенном обозначении), а справа — комбинация из только известных величины (то же в соответствующих буквенных обозначениях).

Впервые эта статья была опубликована в сентябрябрьском номере «Кванта» в 1981 году. (Примеч. ped.)

Но вот ответ в общем виде получен, и мы снова обращаемся к физике: прежде чем подставить числовые данные, надо проверить размерность искомой величины и проанализировать ответ с точки зрения его правдоподобности. Если размерность верна и ответ правдоподобен, можно подставлять данные и считать.

Описанные этапы решения присущии практических всем задачам. Однако иогда — а именно о таких случаях и будет расссказано в статье — после расчетов получается неожиданный абсурдный результат, что свидетельствует о неверном решении. Так бывает, например, когда ни условие задачи, ни интуция, ни здравый смысл не могут подсказать, в какую сторону протекает тот или иной процесс или каким будет конечный результат.

Приступая к решению задачи, мы вынуждены предположить какой-то вариант и в соответствии с ним составить систему уравнения. Если ответ получится абсурдным, отмечаться не стоит. Проsto нам не повезло: наше предположение оказывается неверным. Однако определению информации мы все же получили — в предполагаемом направлении процесс не идет.

45

Что же, допустим другой вариант и так далее. Задча превращается в небольшое исследование, а уравнение — как бы в товаршей по размышлению. В конце концов они нас не подведут (разумеется, если мы их не подведем, т. е. не ошибемся в составлении и решения) и рассакжут нам об истинном направлении процесса или о конечном результате.

Рассмотрим несколько конкретных задач.

Задча 1. На вершине шероховатой наклонной плоскости укреплен блок, через которых переброшена нить. К концу нити прикреплены два тела массами $m_1=3$ кг и $m_2=2$ кг. Найдите ускорение системы и силу треня между перым телом и плоскостью, если коэффициент треня $\mu=0,5$ и угол наклона плоскости к горизонту $\alpha=30^\circ$.

Куда ускоряется система и движется ли она вообше? Из условия задачи не ясно. Между тем, знать это очень важно. Так, если система движется, имеет место треня скольжения и модель этой силы равен $F_{\text{rp}}=\mu N$ (N — модель силы нормальной реакции). Если же система поконтся, на первое тело действует сила треня покоя, про которого известно только, что она не больше силы треня скольжения.

Может быть, поможет интуция? С одной стороны, первое тело тяжелее второго, но, с другой стороны, второе тело висит в воздухе, а первое лежит на наклонной плоскости, да к тому же есть трене. Нет, интуция нас не выручит, нужен анализ. Попробуем переложить наши заботы на уравнения.

Предположим, что блок вращается по часовой стрелке, т. е. второе тело опускается сускренем, а первое — с тем же по модлю ускреннем поднимается по плоскости. Изображим ссыль, действующие на каждое тело (рис. 1), и запишем систему уравнения второго закона. Ньютона в проекциях на соответствующие направления (для первого тела — это направления вдоль плоскости и перпендикулярно к ней, а для второго тела — это вертикальное направление):

$$\begin{align*} T &= m_1 g \sin \alpha - \mu N = m_1 a, \\ N &= m_1 g \cos \alpha = 0, \\ m_2 g &= T = m_2 a. \end{align*}$$

Решая эту систему, получаем

$$a = g \frac{m_2 - \mu m_1 \cos \alpha - m_1 \sin \alpha}{m_1 + m_2} \approx -1.6 \text{ m/c}^2$$

— проекция ускрення на выбранное направление отрицательна. Значит, наше предположение неверно.

Что же тогда происходит с системе? Движется в противоположном направлении? А с каким ускреннем?

В этом месте многое допускают ошибку, считая, что система ускренняя в противоположном направлении с тем же по модлю ускреннем ($\approx 1.6 \text{ m/c}^2$). Иногода так действительное можно считать. Например, если бы в данной системе не было силы треня, при изменении выбранного направления движения на противоположное проекции всех сил изменили бы свой знак, и ускренние получилось бы таким же по модлю, но с противоположным знаком. В нашем случае при новом предположении проекция силы треня по-прежнему отрицательна, поэтому соответствующая система уравнения будет другой (рис. 2):

$$\begin{align*} m_1 g \sin \alpha - T - \mu N = m_1 a, \\ N - m_1 g \cos \alpha = 0, \\ T - m_2 g = m_2 a. \end{align*}$$

46

Отсюда

$$a = g \frac{m_1 \sin \alpha - \mu m_1 \cos \alpha - m_2}{m_1 + m_2} \approx -3,6 \text{ m/c}^2.$$

И новь проекция ускорения оказалась отрицательной; следовательно, новое предположение тоже неверно.

Итак, уравнения, «подумав» за нас, приведи к выводу, что система не ускоряется, то есть

$$a = 0.$$

Значит, для нахождения силы трения, точнее — силы трения покоя, нельзя пользоваться формулой $F_{\tau p} = \mu N$, справедливо для силы трения скольжения.

Для определения искомой силы посмотрим, какие еще силы (или их проекции) действуют на первое тело в направлении вдоль наклонной плоскости. Это — проекция силы тяжестеки, равная по модулю $m_1 g \sin \alpha = 15 \text{ H}$, и сила натяжения нити, модель которой можно найти из условия покоя второго тела: $T = m_2 g = 20 \text{ H}$. Следовательно, сила треня покоя направлена вдоль плоскости вниз и равна по модулю

$$F_{\tau p, n} = T - m_1 g \sin \alpha = 5 \text{ H}.$$

Кстати, нетрудно убедиться в том, что в данной случае сила треня $F_{\tau p, n} = 5 \text{ H}$ действительно меньше $\mu N = \mu m_1 g \cos \alpha \approx 13 \text{ H}.$

Задача 2. В калорметр, содержащий $m_1 = 3$ ккал при температуре $t_1 = -10^\circ \text{C}$, влагают $m_2 = 2$ ккал при температуре $t_2 = 80^\circ \text{C}$. Какая температура установится в результате теплобмена? Теплоемкость calorimetра не учитывается.

Ясно, что конечная температура $t$ находится в промежутке от $-10$ до $+80^\circ \text{C}$:

$$-10^\circ \text{C} < t < 80^\circ \text{C}.$$

Следовательно, она может быть больше $0^\circ \text{C}$ — температуры тяния льда, меньше этой температуры или равной ей. Какой именно она оказывается, заранее сказает нельзя. Будем к целли пробираться «на ощуп», перебирая возможные варианты и полагаясь на волю уравнения.

Предположим, что $t > 0^\circ \text{C}$, т. е. в calorimetре будет только вода. Тогда лед получает телло в три этапа: будучи собственно льдом, нагреваясь от $-10$ до $0^\circ \text{C}$, превращаясь в воду при $0^\circ \text{C}$ и, будучи уже водой, нагреваясь от $0^\circ \text{C}$ до $t$. При этом вода отделет телло только при охлаждении от температуры $t_2$ до $t$. Запишем соответствующее уравнение теплового баланса:

$$c_1 m_1 (0 - t_1) + \lambda m_1 + c_2 m_1 (t - 0) + c_2 m_2 (t - t_2) = 0,$$

где $c_1 = 2,1 \cdot 10^3$ Дж/(кг·К) и $c_2 = 4,2 \cdot 10^3$ Дж/(кг·К) — уделные теплоемкости льда и воды, а $\lambda = 3,4 \cdot 10^5$ Дж/кг — уделная теплотапления льда. Отсюда найдем

$$t = \frac{c_1 m_1 t_1 + c_2 m_2 t_2 - \lambda m_1}{c_2 (m_1 + m_2)}.$$

Подставим числовые данные, получаем $t < 0^\circ \text{C}$. Значит, нашей предположение неверно.

Теперь допустим, что $t < 0^\circ \text{C}$. Следовательно, и второе нашей предположение было неверным.

Остается единственный вариант: $t = 0^\circ \text{C}$. Это и будет ответом задачи.

Здесь мы предвидим некоторое увеличение.docdsы у читателя: почему автор нарушит подбирает примеры, где все первооначальные предположения оказались неверными и оба столь громоздких решений приводят к сравнительно простым результатам ($a = 0, t = 0^\circ \text{C}$)? Почему бы, в самом деле, не предположить заранее именно эти простые варианты?

Такой путь возможно, но облегчения он не скупит. Так, в первой задаче, предположив покой и не имея при этом формулы для силы треня покоя, мы должны будет составить систему из трех уравнений равновесия, но, решив ее и найти силу треня, надо обязательно проверить, действительность или меняше силы треня скольжения. Если оказывается, что нет, придется все решения, описанное выше, начинает сначала.

47

Во второй задаче, предположив $t = 0^\circ\text{C}$, мы должны подтвердить это уравнение теплового баланса, но не известно, как его составить. Мы не знаем, что равные доныло до нуля: лед «снизу» или вода «сверх», и как следствие — расплавился ли часть (и какая часть) льда или замерзла часть воды? Можно, конечно, опять что-то предположить, но число вариантов будет не меньше, а даже больше, чем в приведенном выше решении.

Задача 3. Найдите точки во всех ветях схемы, изображенной на рисунке 3. Здесть $\mathcal{C}_1 = \mathcal{C}_2 = \mathcal{C} = 1\text{ B}$, $r_1 = r_2 = r = 1\text{ Om}$ и $R_1 = R_2 = R_3 = R = 10\text{ Om}$.

Предположим, что точки $I_1, I_2$ и $I_3$ направлены так, как показано на рисунке 3, хотя мы достоверно этого и не знаем. Если мы ошиблись, соответствующие уравнения нас поправят.*)

Поскольку в точках разветвления (узлах) электрический заряд не накапливается, заряд, поступающий в единицу времени в узел, равен заряду, уходящему из узла за то же время, т. е.

$$I_1 = I_2 + I_3.$$

Выделим в данной схеме два простых замкнутых контура, например левый и правый, и выберем в них направления обхода, например против часовой стрелки. Согласно закону сохранения энергии, алгебраическая сумма ЭДС равна алгебраической сумме надений направления:

$$\mathcal{C} - \mathcal{C} = I_1R + I_1r + I_2r + I_2R,$$
$$-\mathcal{C} = -I_2R - I_2r + I_3R.$$

Обединиим полученные уравнения в системе и для простых подставим числовые данные:

$$I_1 = I_2 + I_3,$$
$$10I_1 + I_1 + I_2 + 10I_2 = 0,$$
$$10I_2 + I_2 - 10I_3 = 1.$$

Решив эту систему, найдем

$$I_1 = -\frac{1}{31}A,$$
$$I_2 = \frac{1}{31}A,$$
$$I_3 = -\frac{2}{31}A.$$

Первый и третий ток получились отрицательными. Это означает, что наши предположения об их направлениях оказались неверными. Числовые значения мы нашли верно, а направления этих токов — противоположны предполагаемым.

Задача 4. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью $v_0 = 25\text{ m/c}$. Через какое время оно будет на высоте $h = 40\text{ m}$?

Запишем известную формулу для координат тела, брошенного вертикально вверх (положительным считаем направление вверх):

$$h = v_0t - \frac{gt^2}{2}.$$

Решая его относительно $t$, получим

$$t = \frac{v_0 \pm \sqrt{v_0^2 - 2gh}}{g}.$$

Однако при подстановке числовых данных выясняется, что выражение под корнем отрицательно. Что это означает?

Оказывается, это уравнение на свое языке подсказывает нам, что данное тело вообще не достигает такой высоты. В самом деле, максимальная высота подбема $h_{\max} = v_0^2/2g \approx 31,5\text{ m}$, что меньше $h = 40\text{ m}$.

Так что бывают случаи, когда уравнение «думают» неожиданно, незапланированно.

Упражнения

1. Оdnородный рычаг массой $m = 10\text{ кг}$ описается на опору, находящуюся на расстоянии $l_1 = 25\text{ cm}$ от его левого конца. Длина рычага $l = 1\text{ м}$. Клевому концу рычага подвешен груз массой $m_1 = 2\text{ кг}$. С какой силой надо действия на правый конец вниз под углом $a = 30^\circ$ к горизонту, чтобы рычаг находился в равновесии?

2. В calorimetр, где находится $m_1 = 1\text{ кг}$ льда при температуре $t_1 = 0^\circ\text{C}$, высказот $m_2 = 500\text{ г}$ водяного пара при температуре $t_2 = 100^\circ\text{C}$. Какая температура установится после того, как произойдет теплобмен? Теплоемкость calorimetра можно пребежать.

3. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью $v_0 = 15\text{ m/c}$. Какой путь пройдет она за $t = 2\text{ с}$ полета? Ускорение свободного падения считать равным $g = 10\text{ m/c}^2$.