Список читателей, приславших правильные решения

34

Ф1102. Лазерный луч падает на прораничную плоскопаралельную пластину, одна поверхность которой закращена так, что может рассеять свет во всех направлениях. На пластине видна следующая картина: светляя точка в центре, темный круг с резко очереденной границей, а вокруг — светлый ореол. Объясните явление.

Лазерный луч попадает в точку $O$ закрашенной поверхности (см. рисунок). Лучи рассеянного света, исходящие из точки $O$ под углом $\alpha$, менящим $\alpha_0$ — угол полного внутреннего отражения), выходят из пластинки и создают изображение светящейся точки $O$. Лучи, исходящие из точки $O$ под углом, большем $\alpha_0$, снова попадают на закрашенную поверхность и освещают ее, создавая светящейся ореол. При этом радиус $R$ неосвесенной области равен $2d$ тg $\alpha_0$, где $d$ — толщина пластинки.

А. М. Шалаzin

Список читатель, приславших правильные решения

Большинство читателей, приславших решения задачи M1061—M1075, Ф1073—Ф1087, справились с задачи M1071, M1072, M1075, Ф1073, Ф1076, Ф1078, Ф1084, Ф1086. Ниже мы публикуем фамилии тех, кто прислал правильные решения остальных задачи (цфры после фамилии — последние цфры номеров решенных задачи).

Математка

Ц. Адриан (Каракал, СРР) 62; А. Акимов (Евпатория) 67—69; Д. Алиевский (Свердловск) 68, 70; И. Аржанцев (Киев) 61, 62, 66, 67, 69, 70; Р. Арустамян (Ереван) 61; С. Аршава (Усинск) 62, 63, 65—67, 69, 70; А. Бабкин (Киев) 62, 66—68; З. Бандик (СФРЮ) 62, 63, 68; В. Барановский (Омск) 73; В. Бодлеску (Тимишоара, СРР) 63; Ю. Безначева (Краснойрк) 62, 65—70, 73; В. Бизкадзе (Тбилиси) 73; Т. Возjonов (Алма-Ата) 68; Ж. Бопаев (Талды-Курран) 67; Я. Бренер (Вильнос) 64; Ц. Василеев (София, НРВ) 64; Ю. Великина (Диепропетровск) 63, 66, 68, 69, 73, 74; А. Винццкий (Калуга) 62, 68, 73; А. Винццкий (Киев) 68, 70, 73; А. Витлеев (Новосибирск) 63; В. Волододский (Омск) 61, 63, 64; П. Волфбейн (Киев) 68, 69; В. Волков (Шахтерск) 61—70, 73, 74; Д. Волпер (Омск) 61—64, 66—70, 73, 74; М. Всемирнов (Ленинград) 62, 63, 66, 68, 69, 73; М. Выборов (Киев) 68, 73; С. Гарданов (Керчь) 62; Ю. Гнаток (Каменец-Подольский) 66—70; М. Гольдштейн (Челябинск) 63; А. Гороховский (Киев) 62—64; Р. Гринв (Львов) 61—63; А. Давыдов (с. Елфимово Горьковской обл.) 66, 69; И. Жарков (Свердловск) 61, 62, 64; Ю. Журавель (Киев) 66, 68; В. Завражный (Фрунзе) 69; И. Зверев (Москва) 62; С. Зелик (Краматорск) 61—63, 66—70, 74; И. Зефиров (Химки Московской обл.) 61—64, 68—70, 73, 74; Т. Ионексу (Будапешт, ВНР) 62; А. Калинин (Саратов) 61—64, 67, 69, 70, 73; В. Калошин (Харьков) 61—64, 66—70, 73, 74; А. Караваев (Волгоград) 61; С. Кириллов (Одеска) 61, 69; О. Киринасовский (Винница) 62, 66, 67, 69, 70, 73, 74; С. Коваценко (Винница) 62, 67—70, 73; О Коврижкин (Майкоп) 63, 66, 69, 70; А. Козачко (Винница) 62, 67—70, 73; И. Кокорев (Ленинград) 62, 63, 66, 68—70, 73, 74; Г. Колесничкий (Тбилиси) 61; М. Колодей (Омск) 73, 74; А. Кондратьев (Отрадное Ленинградской обл.) 69; А. Коршков (Мозырь) 61—63, 68—70; Д. Косона (Белорец) 61—64, 66—69; В. Креец (Новосибирск) 62, 67, 68, 73; О. Креец (Новосибирск) 68; В. Крушикаль (Новосибирск) 62, 66, 68, 70, 74; В. Куватбекова (Фрунзе) 66, 73; А. Кулик (Киев) 61—64, 66—70, 73, 74; С. Лесик (Донецк) 61, 66, 68—70, 74; А. Лосев (Ленинград) 62, 66, 68—70, 73, 74; В. Лысенков (Белорец) 61—64, 66—69, 74; С. Ляшенко (Харьков) 69; И. Марков (Киев) 61, 64, 68, 69; Т. Мартиросова (Ташкент) 66, 67, 69, 73; М. Марченко (Гайворон) 73; В. Матвеев (Москва) 61—64, 68, 69, 73, 74; О. Мельник (Шевченko) 66; А. Мельник (Краснодар) 61, 66, 73; А. Мельцер (Ленинград) 66, 69, 70, 73, 74; М. Мельцер (Вильнос) 63, 66, 69, 70; С. Морозов (Завольье) 61; А. Морозова (Одеска) 67, 68; Я. Мустафаев (Баку) 62, 63, 65—70, 73, 74; А. Назарян (Тбилиси) 61—63; Д. Никшич (Киев) 67, 69, 73; И. Опульский (Киев) 61—63, 67—70, 73, 74; О. Павлов (Новосибирск) 63, 73, 74; С. Павлов (Новосибирск) 61, 62, 68—70; В. Павлинн (Фрунзе) 63, 64, 66, 69; А. Паламарук (Киев) 73; А. Паршин (Омск) 73, 74; А. Пиковский (Киев) 62, 63; Д. Позребинский (Киев) 63; В. Полицук (Киев) 61, 62, 66—70; Д. Прокофьев (п. Сертилово Ленинградской обл.) 62, 63, 66, 68—70, 73, 74; В. Радулин (Москва) 61, 63, 74; В. Радулин (Москва) 61, 63, 74; В. Радулин (Москва) 61, 63, 74; Л. Рябова (Клин) 67; В. Савчик (п. Ахмедлы АзССР) 73; А. Савчик (Киев) 68; Д. Синц-

37

НУЛЬСТОРОННИЙ
ПРОФЕССОР

М. ГАРДНЕР

Долорес, стройная черноволосая звезда чикагского почного клуба «Пурпурные шляры», замерла в самом центре танцевальной площадки и под еда слышный аккомпанент оркестра, наигрывавшего какую-то восточную мелодию, начала танец живота, свой знаментий номер «Клеопатра». В зале было совсем темно, и только сверху на нее padал изумрудный луч проектора, поблескивая на воздушном «египетском костюме» танцовщицы.

Первым должно было упасть произное pokрывало, исппадаетшее с головы и закрывающее плену Долорес. Еще мгновение, — и Долорес изящным жестом сбросила бы pokрывало, как вдруг откуда-то сверху донесся громкий звук, пожожий на выстрел, и с потолка головой визс свалился обжженный мужчина.

Поднялся невероятный переполох.

Метродель Джейк Боуэрс приказал дать свет и попытался успокопить зрителей. Управляющий клубом, стоящий у оркестра и наблюдающий за представленем, набросил на распростертую фигуру скатерть и перекатил ее на спину.

Незнакомец тяжелю дышал и был без сознания. Ему было далек за пятьдесят. Бросались в глаза короткая, шательно подстриженная рыжая борода и усы. Незнакомец был совершенно льс и по сложению наполинал професссионального борца.

С большим трудом trem официантам удалось переести его в кабинет управления. Зрительный зал волновался, дамы были на грани истории. Изумленно тараша глаза то на потолок, то друг на друга, зрители горячего обсуждаили, каким образом мог упасть незнакомец. Единственная гипотеза, не чужая здравому смысл, состояла в том, что тело было подброшено высоко в воздухах откуда-то сбоку от танцевальной площадки. Впрочем, никакого из приступововших в зале не видел, как это произошло.

Тем временем в кабинете управления незнакомец пришел в себя. По его утверждению, он был доктором Станиславом Сляпенарским, профессором математики Венского университета, прибившим по приглашению для чтения лекций в Чикагском университете.

Прежде чем продолжить этот удивительный рассказ, считаю своим долгом предуведить читателя, что я не был оченьцем описанного эпизода и полагаюсь всецело на интервью с метроделем и официантами. Тем не менее мне посчастливилось принять участие в цепи необычайных событий, которые и привели к складальном поевлении профессора, наделавшему столко шума.

Собиться эти начались за несколько часов до того, как члены общества «Мебиус» собрались на свой ежегодный банкет в одной из украмных столовых на втором этаже клуба «Пурпурные шляры». Общество «Мебиус» — небольшая, мализвестная чикагская организация математиков, работающих в области топологии — одного из разделов современной математики.

Объяснить человеку, далеком от математики, что такое топология, довольно трудно. Можно сказать, что топология занимается изучением тех свойств фигур, которые сохраняются неависимо от того, как деформарован такой бульк, неоторные его свойства остаются неизменными. Например, в нем всегда есть дыра. В тополо-

Рассказ замечательного американского популяризатора Мартина Гарднера мы перепчатываем из сборника «Трудная задача» (М.: Мир, 1982). Перевод Ю. А. Даниловa.

38

гини бубlik приято называть тором. Соломинка, через которое вы пьете коктейль, тоже тор, только вытянутый. С точки зрения топологии бубlik и соломинка ничего не отличаются.

Топология не интересует свойства фигур, связанные с длиной, площадью, объемом и тому подобными количественных характеристиками. Она занимается изучением наиболее глубоких свойств фигур и тел, которые остаются неизменными при самых условиях деформациях, но без разрывов и скленов. Если бы тела и фигуры разрезались разрывать и скленать, то любое тело сколь угодно сложной структуры можно было бы превращать в любое другое тело с какой угодно структурой, и все первоначальные свойства были бы безвозвращаго утрачены. Поразмысливнемного, вы поймете, что топология занимается изучением самых простых, и в то же время самых глубоких свойств, какими только обладает тело*).

Хотя еще в восемнадцатом веке многое математики были сданы решением отдельных топологических задач, начало систематической работы в области топологии было положено Августом Фердинандом Мебиусом, немецким астрономом, преподавшим в Лейпцигском университете в первой половине прошло века. До Мебиуса все думали, что у любой поверхности две стороны, как у листа бумаги. Именно Мебиус совершил обескураживание открытие: если взять полоску бумаги, перекрутить ее на пол-оборота, а концы склеить, то получится односторонняя поверхность, обладающая не двуяя, а одной-единственной стороне!

Трудно поверить, что такое вообще может быть, но односторонняя поверхность действительное существует — реализная, осзаемая вещеь, которое каждый может построить в один миг. В том, что у листа Мебиуса есть лишь одна сторона, совместья не приходит, и это свойство он сохраняет, как бы вы не растягивали и не деформировали его.

Но вернемся к нашей истории. Я предполага Mathematica в Чикагском университете, докторскую диссертацию заштитл по топологии, и мне без особого труда удалось ввести в общество «Мебиус». Нас было не очень много — всего лишь два цепей цветовек, главным образом чикагских топологов, но не некоторые цепи общества работы в университетах соседних городов.

МыSTRAВАЛИ ежемесячные заседания, носившие сугубо академический характер, но раз в году — 17 ноября (в день рождения Мебиуса) — собирались на банкет и приглашали в качестве гостя какого-нибудь знаменитого топология, который выступал с lekцией.

В нынешнем году мы решили отправовать годовщину патрона нашего общества в «Пурпурных шляпах», где цены были вполне умеренны, а после лекции можно было спуститься в зал и посмотреть программу варьте. С гости нам повезло: наше приглашение принял знаментий профессор Слипенарский, первый тополог мира и один из величайших математических гениев нашего века.

В «Пурпурные шляпы» я и Слипенарский поехали вместе на такси, и по дороге я попросил его расскаать в общих чертах то, о чем он собирался говорить на lekции. Слипенарский в ответ только улыбнулся и посоветовал запаситься терпением. Тема лекции «Нульсторонные поверхности» вызывал среди членов общества «Мебиус» также ожидленные толки, что даже профессор Роберт Симпсон из Висконсинского университета письменно уведомил правление о своем намерении прибать на банкет. Ни на одномさせании в этом году профессор Симпсон присутствовать не созволил!

*) Чтоы посянить суть дела, приведем типичную топологическую задачу. Представьте себе поверхность тора, сделанную из тонкой резины, наполобе велиспедной камеры. Предположим, что в стенке тора проколота крокотная дырочка. Можно ли через эту дырочку вывернуть тор наизнанку, как выворочивают велиспедную камеру? Решить эту задачу в «уме», руководствуясь только своим пространственным воображением,— дело нелегкое.

39

(Нужно сказать, что профессор Симпсон считался признаным авторитетом по топологии на Среднем Западе и был автором нескольких важных работ по топологии и теории поля, в которых выступал с резками наадками на основные теории Слейпенарского.)

Мы приближили вовремя. После того, как наш почетный гость был представлен профессор Симпсону и другим членом общества, мы сели за стол. Я обратил внимание Слейпенарского на традицию ожидать наши банкеты мелкими деталями, выдержными в «топологическом дуxe». Например, середрные колыца для салфеток были выполены в форме листов Мебиуса. К кофе подавали спецально испеченные бублики, а кофеник был изготовлен в виде «бутылки Клейна».

После моого краткого вступительного слова Слейпенарский вступал, поблагодарил присутствующих улыбкой за апподисменты и откашлялся.

Изложить сколь-нибудь подробно блестящий, но доступный понименно только специализов доклад Слейпенарского вряд ли возможно. Суть его сводилась к следующему. Лет десять назад Слейпенарский наткнулся в одном из менее известных трудов Мебиуса на утверждение, поразившее его воображение. По словам Мебиуса, теоретически не существовало причин, по которым поверхность не могла бы утратить обе свои стороны: иными словами, стать «нульсторонней».

Разумеется, появил профессор, такую поверхность невозможно представить себе наглядно, так же как квадратный корень из минус единиц или гиперкуб в четырехмерном пространстве. Но абстрактность понятия отпудь не означает, что оно лишено смысла или не может найти применения в современной математике и физике.

Не следует забывать и о том, продолжал профессор, что те, кто никогда не видел лист Мебиуса, не могут представить себе даже одностороннюю поверхность. Немало людей с хорошо развитием математической воображением отказываются верить в существование односторонней поверхности, даже когда лист Мебиуса у них в руках.

Я взглянул на профессора Симпсона, и мне показалось, что при этих словах он чут заметно улыбнулся.

На протяжении многих лет, продолжал Слейпенарский, он упорно стремился построить нульстороннюю поверхность. По аналогии с известными типами поверхностей ему удалось изучить многое свойства нульсторонней поверхности. Наконец, дополненный день настал. Слейпенарский выдержал паузу, чтобы посмотреть, какое впечатление его слова произвели на слушатель, и окинул взглядом замершую аудитorio. Его услия увечались успехом, и он построил нульстороннюю поверхность.

Подобно электронческому разряду, его слова обжалли сидеших за столом. Каждый встречался, удивленно посмотрел на соседа и уселяя подобнее. Профессор Симпсон яростно затряс головой. Когда Слейпенарский отшеллел в дальнейнку столовой, где была приготовлена классная доска, Симпсон повернул к соседу слева и шепнул: «Чушь неусуветная! Любо Слейппи совсем спятил с ума, либо он просто вздумал подшутить над нами».

Мне кажется, что мыслу о розыгрыше пришла в голову многим из присутствовших. Я видел, как некоторые из них недоверчиво улыбались, пока профессор вычерчивал на доске сложные схемы.

После некоторых появений (их я полностью опускаю из опасения, что они были бы совершенно непонятными большшинству читателей) профессор заявил, что хотел бы в заключение лекции построить одну из простейших нульсторонних поверхностей. К этому времени все присутствовшие, не исключая и меня, обменивались понятиями улыбками. На лице профессора Симпсона улыбочка была несколько напряженной.

(Продолжение см. на с. 42)

42

Сляпенарский достал из кармана піджака пачку синей бумаги, пожницы и тюбик с kleем. Он вырезал из бумаги фигурку, до странности напоминавшую бумажную кукулу: пять длиных высупов, или отростков, походили на голову, руки и ноги. Затем он сложил фигурку и стал аккуратно склеивать концы отростков. Процедура была весма деликатная и требовала большой осторожности, выступы весма хитроумно переплетались. Наконец, осталось только два свободных конца. Сляпенарский капнул kleем на один из них.

— Джентльмены,— сказал он, держа перед собой замыслованое сооружение из синей бумаги и поворачивая его так, чтобы все могли видеть,— сейчас вы увидите первую публичную демонстрацию поверхности Сляпенарского.

С этим словами профессор прижал один из свободных концов к другому.

Раздался громкий хлопок, как будто лопнула электрическая лампа,— и бумажная фигурка исчезла!

На мгновение мы замерли, а потом все как один разразились смехом и аплоидисметами.

Разумеется, мы были убежданы, что стали жертвами тонкого розыгрыша. Но нельзя не признать, что исполено все было великоленно. Как и другие участники банкета, я полагал, что Сляпенарский показал нам остроумный химический фокус, и что бумага была пропитана особым составом, позволяющим поджчь ее тренем или каким-то другим способом, после чего она мгновенно сторела, не оставив и пепла.

Профессор Сляпенарский, казалось, был озадачен других смехом, и лице его прибрело неотличимый от бороды цвет. Он смушенно улыбнулся и сел. Аплоидисметы мало-помалу стихли.

Мы все столпились вокруг нашего гостя и наперебой шутливо поздравляли его с заменательным открытом. Старший из официальтов напомил нам, что для тех, кто хотел бы заказать напитки и посмотреть программу варить, визузаzekазаны столкики.

Столовая постепенно опустела. В комнате остались только Сляпенарский, Симпсон и ваш покорный слуга. Два знаменительных тополга стояли у dockи. Симпсон, широко улыбаясь, указал на один из чертежей:

— Ошибка в вашем доказательстве скрыта необычайно остроумно, профессор. Не знаю, заметил ли ее еще кто-нибудь из присутствующих.
Лице Сляпенарского было серbezно.
— В моем доказательстве нет никакой ошибки,— заметил он не без разражения.
— Да полно вам, профессор,— возразил Симпсон,— ошибка вот здесь.
Он коснулся пальцем чертежа:
— Пересечение этих линей не может принадлежать многообразию. Они пересекаются где-то вне многообразия.— Он сделал неопределенный жест вправо.
Лице Сляпенарского снова покрасило.
— А я говорю вам, что никакой ошибки здесь нет,— повторил он, повысив голову, и медленно, тщательно выговаривая, как бы выстреливая сLOBа, повторил шаг за шагом все доказательство от начала до конца, постукивая для пушей убедительное по доске костяшками пальцев.
Симпсон слушал с мрачным видом и в одном месте приравал Сляпенарского, возразив ему что-то. Сляпенарский мгновенно парировал возражение. Последовало еще одно замечание, но и оно не осталось без ответа. Я не вместевался в их спор, поскольку он уже давно вышел за рамки моого понимания и воспарил к недоступным мне высам топологи.

Между тем страсти у dockи накаллись, оппоненты говорили все громче и громче. Я уже говорил о давнем споре Симпсона со Сляпенарским по поводу нескольких тополгических аксимом. О них-то теперь и защла reчь.
— А я говорю вам, что выше преобразование не взаимно непрерывно и,

44

В задней комнате я застал других членов общества «Мебиус» и администрацию клуба «Пурпурные шляпы» за шумным иестолковым спором. Сляпенарский, заверновщик в скатерть как в тогу, сидел в кресле и прижимал к нижней челюсти носовой платок с кубиками льда.

— Симпсон вернулся, — сообщил я. — Он в обмороке, но думало, что с ним все в порядке.

— Славу богу, — пробормotal Сляпенарский.

Администратор и владелец «Пурпурных шляп» так и не понял, что произшло в тот сумбурный вечер, и наши попытки что-либо объяснить лишь усугубляли ситуацию. Прибитыние полицей еще больше успили неразбериху и панику.

Наконец, нам удалось одеть пострадавших коллег, поставить их на ноги, и мы покинули поле брани, пообещав вернуться назад с нашими адвокатами. Управляющий, по-видимому, считал, что его клуб пал жертвой заговора каких-то иностранцев, и грозила взискать с нас компенсацию за щерб, нанесенный, по его словам, «безупречной репутации клуба». Оказалось, что тайнственное процесствие, служ о котором разнесся по городу, послужило клубу отличной рекламой, и «Пурпурные шляпы» отказались от иска.

Симпсон отделался легко, но у Сляпенарского оказался перелом челюсти. Я ответз его в госпиталь Виллингс, что неподалеку от университета.

Несколько недель он пробил в госпитале, запретив пускать к себе посетители, и я видел его только в день выписки, когда проводил его на вокзал. Сляпенарский уехал в Нью-Йорк, и с тех пор я его не видел. Через несколько месяцев он скончался от сердечного приступа. Профессор Симпсон вступил в переписку с вдовой профессора Сляпенарского в надежде разыскать хотя бы черновики работ своего покойного коллеги по теории нульсторонних поверхностей.

Сумейот ли топологи разобраться в черновиках Сляпенарского (разумается, если их удасся高新技术), покажет будущее. Мы извели массу бумаги, но пока что нам удавалось построить только общные двусторонние и односторонние поверхности. Хоть я и помогал Сляпенарскому «складывать» в нульстороннюю поверхность, чрезмерное волнениестерло из моей памяти все детали.

Но я никогда не забуду замечание, которое обронил великий тополог в тот памятный вечер перед моим уходом.

— Счастье, — сказал он, — что Симпсон и я успели перед возврашением освободить правую руку.

— А что могло бы служить? — спросил я недоумевающе.

Сляпенарский пожился.

— Мы бы вывернулись наизнанку,— сказал он.

Список читателей, приславших правильные решения
(Начало см. на с. 34)

M. Столар (Киев) 74, 80—82; Д. Сторожук (Киев) 74, 75; М. Субботин (Старый Оскол) 83; А. Супрененко (Киев) 74; З. Таварктиладзе (Тбилиси) 77, 87; Д. Тейтельман (Минск) 75; В. Тенависиров (Русе, НРВ) 77; С. Титов (Старый Оскол) 81; И. Тодоценко (Пермь) 74, 75, 77, 79—81, 87; Д. Толкачев (Ногинск) 85, 87; Ю. Уваров (Ленинград) 74, 77, 87; А. Усинский (с. Птичья Ровенской обл.) 74, 75, 87; Е. Ушакова (Старый Оскол) 83; В. Федотов (Москва) 77, 80, 81; Г. Фейцин (Тула) 74, 75, 77, 82, 83,

87; Д. Фельдман (п. Черноголовка Московской обл.) 74, 77, 79, 82, 83, 87; С. Фирадо (Шклов) 74; И. Химони (Днепропетровск) 74, 75, 79, 82, 87; О. Хорошилова (Старый Оскол) 83; О. Подиков (Артемовск Донецкой обл.) 87; И. Чайка (Кузнецовск) 74, 75, 77, 82; О. Чанов (Брест) 74, 75, 81, 82, 85, 87; О. Черных (Старый Оскол) 81—83; В. Чуев (Старый Оскол) 77; В. Шварцман (Брест) 75; О. Шведов (Москва) 74, 75, 77, 81, 83, 85, 87; С. Шинкович (Березники) 74, 75, 77, 79—83, 87; О. Шиховце (Верхняя Салда) 80—82; С. Штовба (Винница) 74; И. Ягольницер (Черновцы) 75; В. Янкевич (Витебск) 77, 83; И. Ясников (Тольятти) 75, 77, 81.