Решения нестрогих неравенств

59

Решения нестрогих неравенств

И. Г. ГАБОВИЧ, П. И. ГОРНШТЕЙН

В этой статье пойдет речь о решении нестрого неравенства $f(x) \geq 0$ или, вернее, о том, насоклько это решение отличается от решения соответствующего нестрого неравенства $f(x) > 0$.

С наиболее точки зрения дело обстоит просто: решением неравенства $f(x) > 0$ служит объединение нескольких конечных или бесконечных интервалов*, а чтобы получить решение неравенства $f(x) \geq 0$, нужно к этим интервалам добавить их концы.

В некоторых случаях это правило дает верный результат. Например, так будет в случае линейных неравенств:

*) Строго говора, это верно, если $f(x)$ — непрерывная функция, определенная на всех прямой или на некотором объединении интервалов.

решением нестрого неравенства
$ax + b > 0$

случит множество $(-b/a; \infty)$, а решением нестрого неравенства
$ax + b \geq 0$

— множество $[ -b/a; \infty)$, получающее из предыдущего множество присоединением конца интервала $-b/a$. Но уже в случае квадратных неравенств наше правило приобретает изъян. Простейший пример: решением неравенства
$-x^2 > 0$

случит пустое множество, а решением неравенства
$-x^2 \geq 0$

— не пустое множество, как можно было бы подумать, а множество, состоящее из одной точки $x = 0$. В прочеем, это было только в том случае, если дискриминант квадратного трехчлена влевой части неравенства равен нулю; например, если квадратный трехчлен $ax^2 + bx + c$ имеет два раз-

60

Личных корня $x_1$ и $x_2$ ($x_1 < x_2$) и $a > 0$, то решением неравенства
$$ax^2 + bx + c > 0$$
случит обедининие $(-\infty; x_1) \cup (x_2; \infty)$, а решением неравенства
$$ax^2 + bx + c \geq 0$$
— обедининие $(-\infty; x_1] \cup [x_2; \infty)$.

В чем же тут дело? Если в точках графика функции $y = f(x)$, лежащих на оси $Ox$, функции $f(x)$ меняет знак, т. е. ее график переходит с одной стороны оси $Ox$ на другую, то сформулированное выше «правило» верно; например, для функции $f(x)$, график которого изобразен на рисунке 1, решением неравенства $f(x) > 0$ служит обедининие $(a; b) \cup (c; d)$, а решением неравенства $f(x) \geq 0$ — обедининие $[a, b] \cup [c, d]$. Для функции же, график которого изобразен на рисунке 2, неравенство $f(x) > 0$ имеет решение $(a, b)$, а неравенство $f(x) \geq 0$ — решение $[a, b] \cup \{c\}$! Еще пример: функции $y = f(x)$ определяна при $x \geq a$ и имеет график, показанный на рисунке 3. Тогда неравенство $f(x) > 0$ имеет решение $(b, c)$, а неравенство $f(x) \geq 0$ — решение $\{a\} \cup [b, c]$!

Если $A$ — обедининие интервалов, то множество, получающей из $A$ присоединением концов интервалов множества $A$, называется замыканем множества $A$ и обозначается через $\bar{A}$. Сказанному выше можно придать такую форму: если $A$ есть решение неравенства $f(x) > 0$, а $B$ — решение неравенства $f(x) \geq 0$, то $B$ содержит $\bar{A}$, но может с ним не совпадать.

Как же правило решить естеrome неравенство $f(x) \geq 0$, зная решение строго неравенства $f(x) > 0$?

Очень просто: нужно присоединить к решению строго неравенства $f(x) > 0$ все решения уравнения $f(x) = 0$.

К этому оченьному замечанию мы добавим еще одно оченьное замечание, которое может оказаться полезным на практике: решением неравенства $f(x)g(x) \geq 0$ служит обедининие решений системы неравенств
$$\begin{cases} f(x) \geq 0, \\ g(x) \geq 0; \end{cases}$$

(Aналогично — для неравенства $f(x)g(x) \leq 0$.) Тепер рассмотрим несколько примеров (некоторые из них взяты из конкурсных экзаменов разных лет).

Пример 1. Решить неравенство
$$\sqrt{-25x^2+15x-2}(8x^2-6x+1) \geq 0.$$

Решим четыре неравенства:
$$\sqrt{-25x^2+15x-2} \geq 0;$$
решение: $\frac{1}{5} \leq x \leq \frac{2}{5}$.
$$\sqrt{-25x^2+15x-2} \leq 0;$$
решение: $x = \frac{1}{5}$ и $x = \frac{2}{5}$.
$$8x^2-6x+1 \geq 0;$$
решение: $x \leq \frac{1}{4}$ и $x \geq \frac{1}{2}$.
$$8x^2-6x+1 \leq 0;$$
решение: $\frac{1}{4} \leq x \leq \frac{1}{2}$.

Обозначив четыре найденных множества соответствующего через $A, B, C, D$, мы можем сказать, что решением исходного неравенства служит множество $(A \cap C) \cup (B \cap D)$. Произведя указанные действия, получаем

Ответ: $$\left[ \frac{1}{5}; \frac{1}{4} \right] \cup \left\{ \frac{2}{5} \right\}.$$

Пример 2. Решить неравенство
$$\sqrt{x^2-7,5x+14}\log_2|x-3| \leq 0.$$

(Окончание см. на c. 66)