А так ли хорошо знаете вы, насколько малы молекулы?

32

32

…начала оценей
необступный для глаз…
ЛукрепиЙ Кар

ЛукрепиЙ Кар

А так ли хорошо знаете бы,
Насколько малы
молекульы

Вопросы и задачи

1. Почему объем растора спира в воде меньше объемов воды и спирта, взятых по отдельности?
2. Отчего сильно надутый и плотно завазанный резиновый шарик оказывается несколько дней «сдутым»?
3. Если по микропористой трубе, окруженной терметической резервуаром, из которого откачан воздух, пропускать смесь газов, то в резервуаре будет накалливаться газ с бóльшим, чем в трубе, относительной humidity содержанием «легких» молекул. Как это обьяснить?
4. Водород имеет три изо-тора с массовыми числами 1, 2 и 3. Ионы какого из этих изотопов медленнее других продуктовся к катаду при электроплезе воды?
5. Стеклянную линию?

…следствие малости частинек вещества давление скрывается от взоров.
M. B. Ломоносов

Вопросы и задачи

6. Что бы «приварить» один кусок железа к другим, нагревалот оба куска добеля в пламенни горна, накладывают один на другой на накovalнение и обработают сільными ударами кузнечного молота. Почему в этом случае получается прочитное соединение?
7. На равновелых весах установленный два одинаковых сосуда. Один заполнен сухим воздуха, другой — влажным, имеющим также давление

33

5. Стеклянную пластинку покрывают с одной стороны (В) слоем меди и подвешивают на нити, как показано на рисунке. В воздействие пластинка не подвязывано, а в хлопе повоят несколько interruptов к обобщенной портуре молекул.
   Они так малы, что если бы у каждой целевка на земном пале потребовать по миллиарду молекул, то набрались бы всего несколько миллиарных долей грамм…
   Их так много, что если вылить в Мировой океан стакан воды с «помеченным» молекулами, то через диительное время в том же стакане с зачернитуой из окена водой окажется не менее 200 «меченых»…
   Им так «тесно», что при обчным условиях каждой молекула газа испытывает до 10 миллиардов столкововений в секунду со своим соседками…
   Они так быстры, что молекula газа поднялась бы, не стаканялась, на высоту около 5 километров, прежде чем сила тяжестями остановила бы ее…
   Однако, несмотра на такую молекулу и «орокость», молекулиа очень много «выдают» себя. Надеемся, решение предложенных задач не позволяет молекуламускольнуть от вашего вооруженного знаниями взора.

Любопытно, что…
…е долие реки Теннесси (США) был возделен путем заделения завод по разделению изогонное, две два уровня газа (уран-238 и уран-235) непрерывно циркупровали через порции более лекций газ диффундировал быстрее, ерезультате еего газовая смесь постоянно обозначалась лекцим изогоном урана.

Любопытно, что…
…е заzonьлеевых облаках междуезедневной среды были обнаружены не только странительно просные модели, например и лектуры, например с сильная страница, но и сложные оранические соединительные их секстральные линии испускания или положения в диапазоне радиочастот.

Микроопыт
Доведите_body в чайнике до кипения и выключите обнаруженные не только газы сазовою горелку. Почем из чайника сазовою горелку же лектуры, например с сильная страница, но и сложные оранические соединительные их секстральные линии испускания или положения в диапазоне радиочастот?

«Квант» о молекулах

1. «К 175-летю закона Авозадро» — 1986, № 12, с. 12;
2. «Сильы молекулярно взаимодействия» — 1987, № 1, с. 31;
3. «Давление газа в сосуле де» — 1987, № 9, с. 41;
4. «Из жизни молекул» — 1988, № 7, с. 46;
5. «Абсолютная температура» — 1988, № 9, с. 60.

34

$$0 = \frac{\omega_1^2}{2g}(kl)^2 + C \Rightarrow C = -\frac{\omega_1^2}{2g}k^2l^2.$$

Окончательное уравнение (1) перешдает в виде:

$$y = \frac{\omega_1^2}{2g}(x^2 - k^2l^2).$$

Это — уравнение парабола; здесь под $\omega_1$ обозначана та угловая скорость, при которой обнажается $k$-я часть площади дня.

Для определения $\omega_1$ воспользуемся свойством несжимаемости жидкости. Первоначальный объем жидкости $V = 2lh_0a$ во время вращения распределится поровну по обе стороны от оси вращения: $V/2 = Sa$, где $S$ — площадь под поверхностью жидкости, т. е. часть плоскости, под графиком функции $y=f(x)$ на отрезке $kl \leq x \leq l$. Эта площадь кривойнейной трапеции соответствует определенному интервалу, взятому в пределах от $kl$ до $l$:

$$S = \int_{kl}^{l} ydx = \frac{\omega_1^2}{2g}\left(\int_{kl}^{l} x^2dx - k^2l^2 \int_{kl}^{l} dx\right) =$$

$$= \frac{\omega_1^2l^3}{6g}(1 - 3k^2 + 2k^3).$$

Тепер из равенства

$$lh_0a = a \frac{\omega_1^2l^3}{6g}(1 - 3k^2 + 2k^3)$$

получаем

$$\omega_1 = \frac{1}{l} \sqrt{\frac{6gh_0}{1 - 3k^2 + 3k^3}}.$$

Сила давления на дно во время вращения не меняется. Она по-прежнему равна силе тяжестой налитой в ковету жидкости. Сила давления на боковой стенку возвращает. Показем это.

Мыслено выделим тонкий пристеночный столб жидкости высотой $h$. Из условия его равновесия по вертикали следует, что давление жидкости на этот столб у его нижнего основания равно $p_h = \rho gh$ (см. рис. 2). Но давление в данной точке жидкости изотропно (закон Паскала). Следовательно, давление жидкости на стенку при вращении коветы линейно зависит от глубины. Если жидкость у боковой стенки во время вращения со скоростью $\omega_1$ поднимается до высоты $H$, то силу давления на стенку можно будет выразить через среднее давление $p_{cp} = \rho gH/2$:

$$F_1 = p_{cp}Ha = \frac{\rho ga}{2}H^2.$$

В покоящей ковете было

$$F_0 = \frac{\rho ga}{2}h_0^2.$$

Таким образом, увеличение силы давления будет в $n = (H/h_0)^2$ раз.

35

Для определения $H$ у стенки нужно в уравнение (2) подставить $x=l$. Окончательно, с учетом (3), получим

$$n = \left( \frac{3(1-k^2)}{1-3k^2+2k^3} \right)^2.$$

Интересный и необходимый результат: $n$ есть функция только $k$ и не зависит ни от рода жизни, ни от ее количества, ни от размеров коветей. И самое главное — $n$ не зависит от $g$, т. е. от того, где во Вселенной врашать ковету: на Земле, на Юпитере или на астроиде. (За исключением лишь одного места: на космическом корабле. Почему там «нельзя врашать» ковету, читатель сможет объяснить сам.) Наконец, если положить $k=0$, т. е. врашать до той скорости, при которой доньшко «только пролянет», то «всегда и весе» будет $n=9$ (!).

Г. С. Лапудус

Ф1120. Для сравнения теплопроводности различных материалов предлагалось использовать следующий метод. На горячую плиту ставятся два одинаковых цилиндра из исследуемых материалов (см. рисунок). На цилиндрыkladут по кусочку вскака. Где скорее всканет тайть — тот цилиндр и обладает лучшей теплопроводностью. Верен ли этот метод?

К сожалению, этот простой метод сравнения теплопроводностей нельзя считать правильным. И вот почему.

Время, за которое верхняя часть цилиндрического образца нагреется до температуры плавления вскака, конечно же, тем меньше, чем больше теплопроводность. Однако это время зависит также и от тепломкости материалов цилиндра — чем она больше, чем больше время (большое количество теплоты) потребуется, чтобы нагреть образец до соответствующей температуры. Таким образом, цилиндр из материалов с большой теплопроводностью будет разогреваться медленнее, чем цилиндр из материалов с небольшой теплопроводностью и чуть меньше теплопроводности. Именно так происходит, например, в случае с высокотом и железом.

Оказывается, предлагаемый метод позволяет сравнить другие тепловые характеристики материалов, а именно — их температурроводности. Это тоже важная физическая величина, которая характеризует скорость изменения температуры вещества. Коэффициент температурроводности пропорционален относению коэффициентов теплопроводности и тепломкости.

А. И. Буздин

Ф1121. Металлический шар радиусом $q$, удаленный от других предметов, затем через резistor сопротивлением $R$. На шар налетает пучок электровок, скорость которых вала от шара была $v$. В секунду

Рассмотрим два решения этой задачи.

Первое решение — обобщное.

Полная энергия, приносимая электронами за единицу времени, есть

$$W = n \frac{mv^2}{2}.$$

Через резistor течет ток $I = ne$ (число уходяших в зем-

36

лю электронов равно числу попадающих на шар за то же время), так что в резисторе переходит в тепло энергия (в единицу времени)

$$P = I^2 R = (ne)^2 R.$$

В силу закона сохранения энергии, количество теплоты, выделяемое на шар в единицу времени, равно

$$Q = W - P = n \frac{mv^2}{2} - (ne)^2 R = \frac{nmv^2}{2} \left(1 - n \frac{2e^2R}{mv^2}\right).$$

Потенциаль шара (точнее, разность потенциальов между шаром и землей)

$$\varphi = IR = neR.$$

С другой стороны,

$$\varphi = k \frac{q}{Q}.$$

Таким образом, заряд шара

$$q = \frac{\varphi_Q}{k} = \frac{neR_Q}{k} = 4\pi\varepsilon_0 neR_Q.$$

Заметим, что электроны попадают на шар, если их кинетическая энергия больше работы, затраченной на преодоление отталкивания от шара:

$$\frac{mv^2}{2} > e\varphi.$$

Подставляя $\varphi = neR$, перешем это условие в виде:

$$n < \frac{mv^2}{2e^2R}.$$

При этом выражение в скобках для определения $Q$ положительное: $Q > 0$. Таким образом, видно, что подбор чисел в условия не может быть произвольным.

Если пероначально число попадающих электронов было больше $n$, то потенциаль шара постепенно увеличивается, так что начная с какого-то момента часть электронов перестала попадать на шар (из-за электронского отталкивания). Если пероначально потенциаль шара был больше или равен $\varphi$, то электроны не попадали на шар, а заряд стекал с него до тех пор, пока не установился режим, описанный в задаче.

Второе решение позволяет глубже почувствовать, что такое электронный jusquая сила источника.

Представим нашу систему как электрическую цель, состоящую из источника с ЭДС $\mathcal{E}$ и нульевым внутренним сопротивлением и двух последовательно соединительных «резисторов». Сопротивление одного из них — это эффективное сопротивление шара $R_{\text{шар}}$, другого — известное сопротивление $R$. Источником тока мы назовем устройство, разгоняющее электроны (например, известная электронная пушка). Здесь электрон набирает энергию $mv^2/2 = e\mathcal{E}$. Отсюда ЭДС источника равна

$$\mathcal{E} = \frac{mv^2}{2e}.$$

Цель замыкается через замемление (можно считать, что

37

вускорящее устройство попадают именно те электроны, которые шли в заземление).

Тепер наша задача — определить эффективное сопротивление шара $R_{\text{ш}}$, так как искомое количество теплоты, выделяющее на шаре, можно найти из формулы

$$Q = I^2 R_{\text{ш}} = (ne)^2 R_{\text{ш}}.$$

Запишем закон Ома для нашей цепи:

$$\mathcal{E} = I(R + R_{\text{ш}}),$$

откуда, зная $\mathcal{E}$, $I$ и $R$, найдем $R_{\text{ш}}$:

$$R_{\text{ш}} = \frac{\mathcal{E}}{I} - R = \frac{mv^2}{2ne^2} - R.$$

Подставляя $R_{\text{ш}}$ в выражение для $Q$, после простых преобразований получаем уже знакомое выражение

$$Q = n \frac{mv^2}{2} \left(1 - n \frac{2e^2R}{mv^2}\right).$$

Заряд шара находится так же, как и в первом решении.

И. Ф. Гинзбург

Ф1122. Известные случаи наблюдания мира моря в пустыне. На каком расстоянии от наблюдаемого возникает такой мираж? Считать, что скорость света в прземном слое в пустыне меняется по закону $c(z) = c_0(1 - az)$, где $c_0$ — скорость света у поверхности земли, $z$ — высота над поверхностью.

Изменение скорости света в воздухе (а значит, и его показатель преломления) с высотой приводит к искривлению световых лучей (к рефракции).*) Это явление и обусловливает возникновение миража моря в пустыне.

Пусть наблюдаемый рост которого $h$, стоит на земле (см. рисунок). Расмотрим световые лучи, выходящие из точки $A$. Луч, составляющий угол $\alpha_0$ с вертикалью, касается поверхности земли и затем уходит вверх. Углам $\alpha > \alpha_0$ соответствует лучи, также уходящие вверх. Лучи же, идущие под углами $\alpha < \alpha_0$, упираются в землю. Воспользовавшись свойством обратимости световых лучей, мы получим, что до угла $\alpha_0$ наблюдаемый видит землю, а начиная с $\alpha_0$ — небо. Но поскольку луч приходит к наблюдаемой спизу, ему кажется, что он видит головное (ведь человек подознать его распространение света прямолинейным).

Тепер найдем искомое расстояние $H$.

Согласно обобщенному закону преломления света для слоистой среды,

$$\frac{\sin \alpha_0}{\sin \beta_0} = \frac{c(h)}{c_0},$$

где $c(h)$ — скорость света на высоте $h$, $\beta_0$ — угол исследуемого луча с вертикалью у поверхности земли.

*) Подробнее об этом явлении можно прочитать в статье А. А. Варламова и А. И. Маляровского «Переговорная трубка длиной в экватор?» («Квант», 1985, № 2) и в статье С. А. Гординина и П. Л. Горькова «Преломление света» в этом номере журнала.