Избранные школьные задачи

38

Поскольку $\beta_0 \approx 90^\circ$, получаем

$$\sin \alpha_0 = \frac{c(h)}{c_0} = 1 - ah.$$

Далее учитем, что изменение скорости света с высотой очень мало и поэтому искривление лучей также очень мало. Так что для расчета расстояния $H$ луч можно считать прямым. Из рисунка видно, что $H = h \cdot tg \alpha_0$. Отсюда, использую закон преломления, получим

$$H = \frac{h(1 - ah)}{\sqrt{ah(2 - ah)}}.$$

В. И. Клячин

Избранные школьные задачи

Восьмой класс

1. Числа $p$ и $q$ простые. Найдите их, если известно, что уравнение $x^4 - px^3 + q = 0$ имеет целый корень.
2. Докажите, что если $xyz = 1$, то

$$\frac{1}{1+x+xy} + \frac{1}{1+y+yz} + \frac{1}{1+z+zx} = 1.$$

3. Две окружности разных радиусов касаются друг друга внутриним образом в точке $P$. Хорда $BC$ большей окружности касается меньше в точке $A$. Докажите, что $PA$ — биссектриса угла $BPC$.
4. В прямогольнике $ABCD$ опущен перpendикуляр $BK$ на диагональ $AC$. Точки $M$ и $N$ — середины отрезков $AK$ и $CD$ соответственно. Докажите, что угол $BMN$ прямой.
5. Внутри данного треугольника $ABC$ построите такую точку $M$, что площадь треугольников $ABM, BCM, CAM$ будет относиться как $k:l:m$, где $k, l, m$ — данные отрезки.
6. Докажите, что уравнение

$$x^{1987} + y^{1987} = x^{1988} + y^{1988}$$

имеет бесконечного много решений в радиональных числах.
7. Последовательность $x_1, x_2, \dots, x_n$ … удовлетворяет соответствию $x_{n+1} = x_n^3 - 3x_n^2 + 3x_n$ ($n = 1, 2, \dots$). Каким должно быть $x_1$, чтобы последовательности $x_{100}$ и $x_{1000}$ были равны?
8. Бесконечная геометрическая прогрессия с положительными членами и знаменателем $q$ обладает тем свойством, что каждый ее член, начиная со второго, больше суммы всех предыдущих. Какие значения может принимать $q$?

9. Из каждой вершины пятугольника проведены векторы к серединам трех несмежных с этой вершиной сторон. Докажите, что сумма всех 15 построенных таким образом векторов равна 0.
10. В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AF$ угла $A$. Пусть $D, E$ — точки пересечения $AF$ с вписанной в треугольник окружностью. Докажите, что $AD > EF$.

Десетый класс
11. Решите неравенство

$$|x^9 - x| + |x^8 - x^7| \leq |x^9 - x^8 + x^7 - x|.$$

12. Пусть $M$ — произвольная точка основания $ABC$ tetrahedра $SABC$. Через точку $M$ проведены отрезки, параллельные боковым ребрам, до пересечения с боковым гранями. Пусть длины боковых ребра равны $a, b, c$, а длины параллельных и отрезков соответственно равны $x, y, z$. Докажите, что $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$.
13. Дан tetrahedр $ABCD$. Один шар касается ребер $AB$ и $CD$ в точках $A$ и $C$, а другой — в точках $B$ и $D$. Докажите, что проекции ребер $AC$ и $BD$ на прямую, проходящую через центры этих шаров, равны.
14. Решите уравнение $tg x - 2[tg x] - 3 = 0$ (квадратные скобки обозначают целую часть числа).
15. Докажите, что при любом $a$ уравнение

$$10ax^4 - 4ax^3 + a^2x^2 + 6x - 2 = 0$$

имеет по крайней мере один корень в промежутке [0; 1].

Публикацию подготовили Ю. В. Томилов, В. А. Ясинский