Вниманию наших читателей!

9

СОВРЕМЕННАЯ

МАТЕМАТИКА.

Рис.7. Геодезические модели Пуанкаре плоскости Лобачевского

рим группу SDiff M «несжимаемых» диффеоморфизмов многообразия М (т.е. диффеоморфизмов M ® M, сохраняющих некоторый элемент объема $\tau$ на М). Геодезические правоинвариантной метрики на этой группе представляют собой (эйлеровы) течения несжимаемой жидкости вдоль многообразия М. Эйлерова теория устойчивости стационарных движений твердого тела превращается в этом случае в обобщение теоремы Рэлея об устойчивости двумерных течений несжимаемой жидкости, когда профиль скоростей не имеет точек перегиба (рис.8). Течения с точками перегиба оказываются в этом

Рис.8. Теорема Рэлея об устойчивости плоскопараллельных течений несжимаемой жидкости

случае аналогичными стационарным вращениям твердого тела вокруг средней оси инерции – общая теорема устойчивости Эйлера применяется в обоих случаях одинаково, но при переходе от трехмерной группы SO(3) к бесконечномерной группе SDiff M из теоремы Эйлера получается (обобщенная) теорема Рэлея.

ВОСХОДЯЩАЯ

К

ЭЙЛЕРУ

На устойчивость геодезических многообразия оказывает большое влияние его «секционные кривизны по двумерным направлениям». А именно, отрицательность кривизны вызывает экспоненциальное с течением времени разбегание геодезических (с близкими начальными условиями). Теория Эйлера позволяет вычислить эти секционные кривизны (для групп с левоинвариантными или правоинвариантными метриками). Применив эти вычисления к группам несжимаемых диффеоморфизмов поверхностей, я получил много двумерных направлений сильно отрицательной кривизны. Например, применяя эти оценки к двумерной гидродинамике на поверхности тора (и к течениям пассатного типа), я убедился, что первоначально малые возмущения начального поля скоростей вырастают примерно в $10^{5}$ раз (от километрового размера грозы до изменений погоды планетарного масштаба) за время порядка месяца. Это означает, что динамический прогноз погоды на сильно превышающее неделю время будет оставаться невозможным, как бы сильно ни будут усовершенствованы и компьютеры, и методы вычислений, и регистрирующие исходное состояние погоды датчики. Действительно, слегка изменив начальные скорости в каждом кубическом километре (даже так, чтобы средние по соседнему десятку кубических километров при этом не менялись), мы придем к такому новому начальному условию, которое датчики не отличат от старого, но которое приведет тайфун через пару недель не в Новый Орлеан, куда он должен был попасть по старому сценарию, а, скажем, в Бомбей. Можно только поражаться, насколько значительными оказываются приложения фундаментальных теорий и идей Эйлера даже в тех случаях, когда сам он ограничился при их изложении первым содержательным случаем (группы SO(3) в нашем примере), а все далекие обобщения получены лишь недавно.

Вниманию наших читателей!

28 марта 2008 года исполняется сто лет со дня рождения выдающегося физика, академика Исаака Константиновича Кикоина. В связи с этим в нашей стране на высоком государственном уровне запланированы множественные специальные мероприятия. Для нас же Исаак Константинович Кикоин был прежде всего создателем и первым Главным редактором журнала «Квант». Редакционная коллегия, редакционный совет и редакция журнала «Квант» объявляют ближайший год в журнале «Квант» – «годом Кикоина». И вот что под этим подразумевается. Мы планируем в шести ближайших номерах журнала опубликовать разнообразные воспоминания об академике И.К.Кикоине, а в научных статьях и других материалах журнала уделить особое внимание тем областям физики и техники, в которых выдающимся образом раскрылся научный и организационный талант этого удивительного человека, в особенности – атомной и ядерной физике и энергетике. Нами готовится к изданию специальный, посвященный юбилею И.К.Кикоина выпуск серии «Библиотечка «Квант». Те из нас, кто близко знали Исаака Константиновича, с благодарностью хранят в душе его незабываемый светлый образ. Мы очень хотим, чтобы этот образ был запечатлен в памяти и новых поколений наших читателей.