Все, что видно, видно по прямой.
Евклид
…из всех лучей, падающих из данной точки и отражающихся в данную точку, минимальны те, которые от плоских и сферических зеркал отражаются под равными углами. Герон Александрийский
…отскакивать все от вещей заставляет природа. И отражаться назад под таким же углом, как упало. Тит Лукреций Кар
Не являются ли лучи света очень маленькими телами, испускаемыми светящимися веществами? Ибо такие тела будут проходить сквозь однородные среды без загибания в тень соответственно природе лучей света. Исаак Ньютон
Сформулировав задачу математически, легко подсчитать пути всех лучей. Ричард Фейнман
А так ли хорошо знакомы вам
?
геометрия и оптика
Ну зачем понадобилось разделять эти понятия, если ясно, что речь пойдет о всем известном разделе курса физики – о геометрической оптике? Однако не все так просто. Если мы обратимся к месту ее зарождения – Древней Греции и ко времени – III век до н.э., то окажется, что там и тогда только формировался понятийный аппарат той части математики, которая изучает пространственные отношения и формы тел, т.е. собственно геометрии. Оптика же, как дисциплина, исследующая свойства света, именовалась «зрительным искусством», словно намекая на ее менее знатное происхождение. Конечно, уже тогда эти два познавательных направления в поисках связи между наблюдаемой реальностью и способами ее описания сильнейшим образом влияли друг на друга. Задачи, которыми они обменивались, способствовали созданию языка строгой науки и проверяли эффективность и работоспособность этого языка. Но лишь к XVII веку были установлены и отшлифованы законы геометрической оптики, единовластно воцарившейся на следующие два столетия и воплощавшей в себе синтез двух наук. Наконец, XIX век отделил ее от оптики физической (волновой) и поставил на свое место в сохранившейся до сих пор «табели о рангах». История геометрической оптики – один из интереснейших примеров переплетения и обогащения друг другом разнообразных областей физики и математики. Естественно начать сегодняшний разговор с первых открытых законов геометрической оптики – прямолинейного распространения и отражения света. А к другим закономерностям, связавшим оптику и геометрию, мы обратимся в следующем выпуске «Калейдоскопа».
Вопросы и задачи
-
Можно ли устроить фотоаппарат без объектива? 2. Как нужно держать карандаш над столом, чтобы получить резко очерченную его тень, если источником света служит закрепленная у потолка лампа дневного света, имеющая форму длинной трубки? 3. Можно ли получить от непрозрачного предмета четыре полутени без тени?
-
Электрическая лампа накаливания помещена в матовый стеклянный шар, подвешенный у потолка. Под лампой держат мяч, диаметр которого в 2 раза меньше диаметра шара. На какой высоте следует поместить мяч, чтобы его тень на полу исчезла? Каким должен быть диаметр мяча, чтобы размеры его тени были одинаковы при любых расстояниях мяча от пола? 5. Непрозрачный куб закреплен так, что одна из его вершин находится на горизонтальной плоскости, а центр куба лежит на одной вертикали с этой вершиной. Сверху на куб вертикально падает широкий параллельный пучок света. Какова форма тени куба на плоскости? 6. Как изменится расстояние между предметом и его изображением в плоском зеркале, если зеркало переместить в то место, где было изображение? 7. Человек, стоящий на берегу озера, видит на гладкой поверхности воды изображение Солнца. Как будет перемещаться это изображение при удалении человека от озера? 8. Солнечные лучи составляют с горизонтом угол . Как надо расположить плоское зеркало, чтобы направить лучи горизонтально? 9. На поверхности озера видна сверкающая лунная дорожка. Как она образуется? Будет ли наблюдаться дорожка на идеально гладкой спокойной поверхности воды? Почему дорожка всегда ориентирована на наблюдателя? 10. Луч света падает на плоское зеркало, вращающееся с некоторой скоростью против часовой стрелки. В каком направлении и с какой скоростью вращается отраженный луч? 11. Свет исходит из источника А, отражается от зеркала и приходит в точку В, как изображено на рисунке. Покажите, что путь АСВ, определенный по закону отражения, является кратчайшим из всех других возможных путей луча. 12. Определите графически, при каких положениях глаза наблюда-
тель сможет одновременно увидеть в плоском зеркале конечных размеров изображение точки А и отрезка BC. 13. Известны положения оси сферического зеркала, светящейся точки А и ее изображения . Найдите построением положения вершины зеркала и его центра. 14. Когда смотрят в вогнутую сторону блестящей ложки, то видят перевернутое изображение своего лица. Когда же смотрятся в вогнутое зеркало для бритья, то видят свое увеличенное прямое (неперевернутое) изображение. Почему? 15. Может ли изображение светящейся точки в вогнутом зеркале находиться на его оси между зеркалом и главным фокусом?
Микроопыт Найдите простой способ определить «рост» одиноко стоящего высокого дерева, если вы располагаете лишь плоским зеркалом и рулеткой.
Любопытно, что… …в знаменитых «Началах», подытоживших достижения древнегреческой математики, Евклид, пытаясь логически построить геометрию, часто опирался на интуицию и доверялся глазу. По всей видимости, понятие о прямой линии возникло из представления о прямолинейном распространении света в однородной среде – о так называемых «зрительных лучах». Само же слово «луч» соотносят по смыслу со словом «стрела». …Архимед занимался как «чистой» математикой, так и ее приложениями, в том числе военными. Исследуя свойства зеркал, он изучал построение в них отражений, особенно в «зажигательных» зеркалах, чьи свойства были связаны с коническими сечениями. Так, им было доказано, что лучи, вышедшие из фокуса эллиптического зеркала, после отражения собираются в другом его фокусе. …геометрические построения с помощью циркуля и линейки, без которых часто невозможно обойтись при решении задач по оптике, древнегреческие ученые считали наиболее изящными и ценили выше, чем построения с помощью других инструментов. …наряду с математикой и астрономией средневековые арабские ученые усердно изучали оптику, возбуждавшую, по их мнению, интерес к геометрии. Например, прославленный автор оптического трактата Альхазен повествует в нем не только о плоских, но и о сферических, цилиндрических и конических вогнутых и выпуклых зеркалах; получает в них изображения, определяя их положение и величину. Также он разбирает способность параболоида вращения отражать лучи, исходящие из его фокуса, параллельным пучком. …английский философ и естествоиспытатель XIII века Роджер Бэкон, положивший начало катакаустике – учению о зажигательных приборах, полагал, что оптика – «украшение всей философии». Однако за резкую критику трудов Аристотеля и занятия такими непонятными современникам вещами, как камераобскура, чье изобретение ему приписывала легенда, он был обвинен в ереси и магии и брошен в тюрьму.
…строгие правила построения изображений в сферических зеркалах были установлены в конце XVII века Христианом Гюйгенсом и графом Эренфридом фон Чирнхаусом, известным как изобретатель европейского белого фарфора. Кроме того, этим ученым, благодаря исследованию свойств «зажигательных» кривых, были созданы чрезвычайно большие фокусирующие линзы и зеркала, при помощи которых удалось продемонстрировать горючесть алмаза. …знаменитый математик Карл Фридрих Гаусс оставил заметный след и в геодезии, усовершенствовав для ее нужд оптическую сигнализацию и изобретя специальный прибор – гелиотроп, и в физике, где, в том числе, развил метод зеркального отсчета, применяемый в чувствительных электромагнитных приборах. …выдающийся естествоиспытатель Герман Гельмгольц, впервые давший математическую трактовку закона сохранения энергии, был и конструктором оригинальных измерительных приборов. Так, ему принадлежит изобретение офтальмоскопа – глазного зеркала, позволяющего наблюдать дно человеческого глаза. …особенность кошачьих глаз светиться в темноте связана с отражением от них света почти параллельным пучком. На этом эффекте в 30-е годы XX века было разработано устройство под названием «кошачий глаз». Оно устанавливалось на опасных участках дорог, предупреждая водителей отраженным светом фар их же приближающихся автомобилей. …при строительстве сложных инженерных сооружений – мостов, тоннелей, высотных зданий, крупных научных установок – требуется контролировать расстояния до нескольких километров с точностью до долей миллиметра. Справиться с этой задачей позволяют лазерные дальномеры – их лучи расходятся очень слабо. Компактным примером такого прибора может служить лазерная указка. …несколько лет назад был создан телевизор с жидкокристаллическим экраном, исполняющим в выключенном состоянии функции зеркала. Разработка современных оптиков и инженеров, признанная одним из самых смелых изобретений начала XXI века, привела к новому дизайну домашнего пространства, успешно конкурируя с зеркалами из стекла и амальгамы.
Что читать в «Кванте» о геометрической оптике
(публикации последних лет)
- «Отражение от тонких цилиндрических зеркал» – 2009, №1, с.47; 2. «Что мы видим в зеркале?» – 2009, №2, с.30; 3. «Каустики на плоскости и в пространстве» – 2010, №3, с.48; 4. «Оптические явления в автобусе» – 2012, №2, с.42; 5. «Физический калейдоскоп. Выпуск 3» – 2012, Приложение №3, с.112; 6. «Геометрия световых лучей» – 2013, №1, с.55; 7. «Многоликая тень» – 2013, №2, с.43; 8. «Цилиндрическое зеркало-трубка» – 2014, №1, с.40; 9. «Между зеркалами» – 2015, №1, с.42.
Материал подготовил А.Леонович