Мальчики, девочки, таблицы, графы...

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК

Мальчики, девочки, таблицы, графы…

серебряных и золотых монет соответственно), соответствует возможное положение на столе (количество серебряных и золотых монет) (рис.1). С каждым действием точка, соответ-

Е.БАКАЕВ

ВЭТОЙ СТАТЬЕ МЫ ПОПРОБУЕМ ОБЪЕДИНИТЬ В ОДИН сюжет несколько красивых комбинаторных задач. Начнем с такой: Задача 1. В ряд стоят m мальчиков и d девочек в какомто порядке. Каждого мальчика спросили, сколько справа от него стоит девочек, а каждую девочку – сколько слева от нее стоит мальчиков. Докажите, что сумма чисел, названных мальчиками, равна сумме чисел, названных девочками. Решение. Пусть все мальчики смотрят вправо, а все девочки смотрят влево. Тогда если мальчик видит девочку, то эта девочка видит его. Таким образом, сумма всех чисел, названных мальчиками, и сумма всех чисел, названных девочками, это одна и та же величина: количество пар «мальчик-девочка», видящих друг друга. Эту задачу мы встретим в основе нескольких последующих. Задача 2 (XXXVI Турнир городов, 2014 г.). На столе лежала кучка серебряных монет. Каждым действием либо добавляли одну золотую монету и записывали количество серебряных монет на первый листок, либо убирали одну серебряную монету и записывали количество золотых монет на второй листок. В итоге на столе остались только золотые монеты. Докажите, что в этот момент сумма всех чисел на первом листке равнялась сумме всех чисел на втором. Первое решение. Параллельно действиям с монетами будем выписывать последовательность букв С и З: при добавлении золотой монеты будем писать букву З, при убирании серебряной – букву С. Теперь вместо подсчета монет можно считать буквы в получившейся строке. Когда мы писали очередную букву С, мы записывали на листок количество золотых монет, которые уже лежали на столе, т.е. количество букв З слева от этой буквы С. А когда писали очередную З, то записывали на листок количество серебряных монет, которые еще лежали на столе и которые предстояло убрать, – т.е. количество букв С справа от этой буквы З в итоговой строчке. Заменим теперь строку букв С и З на ряд из мальчиков и девочек – и получим в точности задачу 1. Осталось перефразировать ее решение: если серебряная монета посчитана при добавлении золотой, то эта золотая посчитана при убирании этой серебряной, т.е. серебряную монету убрали после того, как добавили золотую. Таким образом, сумма чисел на обоих листках – количество таких пар «серебряная монета – золотая монета», которые в какой-то момент обе находились на столе. Второе решение. Рассмотрим координатную плоскость, на которой вертикальная ось соответствует количеству серебряных монет, а горизонтальная – количеству золотых. Каждой целочисленной точке, лежащей в прямоугольнике S ¥ G (где S и G – наибольшее возможное количество

Рис. 1

ствующая текущему положению, сдвигается либо на единичный отрезок вниз (когда убираем серебряную монету), либо на единичный отрезок вправо (когда добавляем золотую), начальному положению соответствует точка (0, S) на вертикальной оси, а конечному – (G, 0) на горизонтальной (рис.2).

Рис. 2

Когда мы идем из точки (x, y) вправо по отрезку, первая координата увеличивается, а мы записываем на первый листок y, т.е. количество клеток под этим отрезком. Аналогично, когда мы идем из (x, y) вниз, то записываем на второй листок x – количество клеток слева от отрезка. Выходит, мы учтем каждую клетку под ломаной дважды: один раз на первом листке, когда будем проходить над ней, и один раз на втором листке, когда будем проходить справа от нее (рис.3). Значит, суммы чисел на листках будут одинаковыми и будут равны количеству клеток под ломаной.

Рис. 3

Основная идея второго решения – рассмотрение множества всех возможных положений системы, в этой статье мы воспользуемся этим приемом еще не раз. В математике такое множество называют фазовым пространством системы. (Но обычно этот термин употребляется в другом контексте.) Задача 3. В ряд стоят m мальчиков и d девочек в какомто порядке. Каждого ребенка спросили, сколько слева от него стоит детей другого пола. Чему равна сумма чисел, названных детьми? Ответ: md.

52

КВАНТ 2015/№3

При каком угле $\alpha$ между стержнем и стеной произойдет отрыв стержня от вертикальной стены и каковы будут в этот момент скорости концов стержня по стене и по полу? 2. Из цилиндра радиусом r = 2 см выдавливают поршнем текучую пасту (рис.6). Она растекается по поверхности

Рис. 6

слоем толщиной h = 2 мм, образуя круговое пятно. Скорость движения поршня u = 6 см/с. Какова скорость v расширения границы пятна при радиусе пятна R = 30 см? 3. В комнате объемом $V = 75 м^{3}$ температура воздуха такая же, как на улице, т.е. $t_{1} = - 20 ^\circ C$. Включают электрокамин, и он медленно прогревает воздух в комнате до $t_{2} = + 23 ^\circ C$. Часть воздуха при этом выходит наружу через плотно закрытую форточку. Найдите изменение внутренней энергии воздуха в комнате и работу, которую совершает воздух при расширении наружу. Атмосферное давление принять равным $p_{a} = 10^{5}$ Па. 4. Построите график зависимости сопротивления цепи, изображенной на рисунке 7, от сопротивления r каждого из одной пары резисторов. Сопротивление другой пары резис-

Рис. 7

торов неизменно и равно R = 50 Ом у каждого. Диод считайте идеальным, т.е. его сопротивление в прямом направлении пренебрежимо мало, а в обратном – очень велико. 5. Груз висящий на нити длиной L = 1,1 м, привязанной к гвоздю, толкнули так, что он поднялся и затем попал в гвоздь. Какова его скорость в момент удара о гвоздь? Ускорение свободного падения g. 6. В полдень через небольшое окошко на южной стене темной комнаты в нее попадает пучок солнечного света, параллельный западной и восточной стенам. После отражения от плоского зеркала, лежащего на горизонтальном столе, пучок падает на северную стену. Какой площади тень отбросит на северной стене вертикально стоящий на зеркале непрозрачный круг радиусом r = 10 см, если плоскость зеркала параллельна южной стене? 7. Протон, ускоренный разностью потенциалов U = 500 кВ, пролетает сквозь поперечное однородное магнитное поле с индукцией В = 0,51 Тл (рис.8). Толщина области с полем d = 10 см. Найдите смещение и угол отклонения скорости протона от первоначального направления на выходе из этой области.

Рис. 8

История научных идей и открытий

Математика

1. Двадцатое предложение IX книги Евклида «Начала» утверждает: «Первых чисел существует больше всякого предложенного количества их». Сформулируйте в современных терминах это утверждение и докажите его. 2. Архимед, Евклид, Аполлоний Пергский и другие великие математики древности называли параболой геометрическое место точек, одинаково удаленных от данной точки и данной прямой. Убедитесь в том, что график функции $y = x^{2}$ является параболой. 3. В 1202 году Леонардо Пизанский (Фибоначчи) в «Книге об абаке» рассмотрел последовательность, каждый член которой равен сумме двух предыдущих, т.е. последовательность $\phi_{1} = \phi_{2} = 1, \phi_{n} +_{2} = \phi_{n} +_{1} + \phi_{n}$ при $n \ge 1$. В дальнейшем числа Фибоначчи часто возникали в различных разделах математики – теории чисел, алгебре, комбинаторике, математической логике и др. Обнаружены многие замечательные свойства этих чисел. Например, можно доказать, что для любого натурального m найдется число Фибоначчи, делящееся на m. Выясните, может ли какое-нибудь число Фибоначчи быть степенью числа 7. 4. Один из величайших всемирно известных математиков Л.Эйлер в 1752 году доказал теорему, которая считается первой в истории одного из самых глубоких разделов математики – топологии. Теорема Эйлера гласит, что число вершин В, число ребер Р и число граней Г произвольного выпуклого многогранника удовлетворяют равенству В – Р + + Г = 2. Пользуясь этой теоремой, выясните, существует ли выпуклый многогранник, все грани которого – шестиугольники. 5. Еще один гениальный математик К.Ф.Гаусс доказал замечательную «теорему об индексе»: если р – простое число, то существует натуральное число g такое, что его степени $g, g^{2}$, …, $g^{p} -^{1}$ дают различные остатки при делении на р, причем $g^{p} -^{1} - 1$ делится на р (малая теорема Ферма); и тем самым в выписанной последовательности степеней присутствуют числа, дающие все возможные остатки от деления на р. Например, для р = 17 можно взять g = 3, так как, выписывая последовательно остатки степеней тройки при делении на 17, имеем

3, 9, 10, 13, 5, 15, 11, 16, 14, 8, 7, 4, 12, 2, 6, 1

– все остатки различны. Пользуясь теоремой Гаусса, докажите, что для всякого простого числа р найдется натуральное число х такое, что произведение $x^{2} - 2 x^{2} - 3 x^{2} - 6$ делится на р.

(

)(

)(

)

Физика

1. Нобелевская премия 1904 года была вручена «за исследования плотностей наиболее распространенных газов и за открытие аргона в ходе этих исследований». Ученый, получивший эту премию, был английским аристократом. Он учился в Тринити-колледже. После смерти Дж.К.Максвелла стал вторым Кавендишским профессором и директором Кавендишской лаборатории. Был секретарем Лондонского Королевского общества, Президентом Кембриджского университета. Основные его работы относятся к теории колебаний, одним из основоположников которой он является. Он исследовал колебания струн, стержней, пластин, оболочек. В 1873 году сформулировал ряд фундаментальных теорем

53

ОЛИМПИАДЫ

линейной теории колебаний, позволяющих делать качественные заключения о собственных частотах колебательных систем. В его фундаментальном труде «Теория звука» впервые отчетливо проявился единый подход к изучению колебательных и волновых процессов, имеющих различную физическую природу. Он рассмотрел сложение колебаний со случайными фазами и получил функцию распределения по частотам для результирующей амплитуды. Эта функция распределения получила его имя. Оказалось, что распределение плотности энергии абсолютно черного тела по длинам волн описывается тоже этой функцией (это распределение носит одновременно имя этого ученого и его коллеги Д.Джинса, в 1905 году независимо получившего этот результат). Крупным его открытием явилась теория поверхностных упругих волн (получивших его имя) – упругих возмущений, распространяющихся в твердом теле вдоль его свободной границы и затухающих с глубиной. Он объяснил различие между групповой и фазовой скоростями, установил соотношения между ними, заложил основы теории молекулярного рассеяния света (объяснив при этом голубой цвет неба), создал теорию разрешающей способности оптических приборов. Во всех этих разделах физики существуют формулы, процессы и теории, названные его именем. а) Кто этот ученый? б) Назовите другие, не упомянутые в тексте, физические приборы, модельные числа и критерии, названные в честь этого ученого. 2. В третьем веке до н.э. был проведен выдающийся эксперимент – впервые в истории человечества был измерен радиус Земли. В мерах длины, принятых в то время, он составил 252 тысячи стадиев. К сожалению, автор исследования не указал, пользовался ли он греческим стадием или стадием, принятым для измерений в стране, где он родился и работал. В зависимости от этого погрешность измерения по современным оценкам составила или 1,5%, или 10% (меньшее значение погрешности получается в предположении, что ученый пользовался «родным» для него стадием). а) Назовите имя ученого, первым в истории человечества измерившим радиус Земли. б) В каком государстве жил и работал этот ученый? в) В каких городах ученый проводил измерения и какая особенность географического положения этих городов позволила провести этот изящный эксперимент? 3. В третьем веке до н.э. был открыт очень важный закон гидростатики. Открытию закона предшествовала большая работа по выяснению, целиком ли из золота сделана царская корона или ювелиры подмешали в корону серебро. История сохранила имя не только автора открытия, но и заказчика работы – царя (а если быть точным в титулах – тирана, тогда это слово не несло негативной окраски) Гиерона. Было обнаружено серебро в короне или нет, точных данных нет. Да и для истории науки это не так важно. а) Назовите имя ученого и сформулируйте закон, получивший его имя. б) Назовите город и территорию, где происходили описанные события. в) Оцените абсолютную погрешность измерений. Мог ли ученый, пользуясь измерительными средствами того времени, получить достоверный результат? 4. Известна история о том, что итальянский ученый, живший и работавший в XVI–XVII веках, для доказательства гипотезы о независимости скорости свободно падающего тела от его массы бросал шары с Пизанской башни. Однако и он сам, и мы сейчас понимаем, что этот эксперимент имеет ограниченную точность. Ученый поставил серию более тонких экспериментов и получил экспериментальное

доказательство этой гипотезы. Он также сформулировал принцип, на котором базируется вся классическая механика. а) Кто этот ученый? б) Какие эксперименты он поставил для доказательства гипотезы? в) Сформулируйте указанный в условии принцип. 5. В 1818 году на одном из заседаний Французской Академии рассматривалась работа о дифракции света. Один из членов Академии, известный ученый, усомнился в правомерности считать свет волновым процессом. Председатель заседания предложил провести опыт и предсказал парадоксальный результат, который однозначно свидетельствовал бы в пользу волновой теории света. Опыт был поставлен. Была получена предсказанная дифракционная картина, которую назвали именем усомнившегося оппонента. а) Кто был автором работы? б) Какой результат был получен? в) Чьим именем был назван результат? г) Кто председательствовал на собрании Академии?

III Международный математический турнир имени М.В.Ломоносова для учащихся 5–8 классов

Устный командный тур

5–6 классы

1. Сколько существует четырехзначных чисел, записываемых цифрами 1 и 2? 2. Какой угол образуют часовая и минутная стрелки часов в 10 часов 12 минут? 3. В копилке находилось 10000 монет по одному центу. Каждый месяц тратится по 30% от содержимого копилки. Сколько монет останется в копилке через четыре месяца? 4. В квадрате ABCD точка K – середина стороны AB, точка L – середина стороны AD, отрезки CL и DK пересекаются в точке M. Докажите, что треугольник BCM равнобедренный.

Штрафные задачи

Ш1. Допишите к числу 987 две цифры справа так, чтобы полученное пятизначное число делилось на 5, 6, 7. Ш2. Найдите два натуральных числа, разность квадратов которых равна 37. Ш3. Туристу на подъем в гору с постоянной скоростью требуется 6 часов, а на спуск с постоянной скоростью – 2 часа. Через какое время после начала подъема турист вернется к основанию горы, если станет спускаться через 4 часа после начала подъема? Ш4. Найдите площадь $фигуры,_{Рис.} 9$ изображенной на рисунке 9.

7–8 классы

1. Найдите наименьшее натуральное число n, для которого произведение ( n + 1 )( n + 2 )( n + 3 )( n + 4 ) делится на 1000. 2. В прямоугольный треугольник с катетами a и b вписан квадрат, у которого одна из вершин совпадает с вершиной прямого угла треугольника, а противоположная вершина квадрата лежит на гипотенузе треугольника. Найдите площадь квадрата. 3. Может ли четырехзначное число вида aabb быть квадратом целого числа?