Региональный этап XLII Всероссийской олимпиады школьников по математике

Квант 2016, №2 с. 55-56 Тег QJZY

ОЛИМПИАДЫ

Региональный этап XLII Всероссийской олимпиады по математике был проведен 5 и 6 февраля 2016 года. По его результатам формируется состав участников заключительного этапа Всероссийской олимпиады, поэтому в варианты регионального этапа включались, в том числе, и достаточно сложные задачи. Наиболее трудными оказались задачи 8 для 10 класса и для 11 класса.

Задачи

9 класс

Первый день

Даны квадратные трехчлены $f_{1} ( x ), f_{2} ( x )$ , … $, f_{100} ( x )$ с одинаковыми коэффициентами при $x^{2}$ , одинаковыми коэффициентами при x, но различными свободными членами; у каждого из них есть по два корня. У каждого трехчлена $f_{i} ( x )$ выбрали один корень и обозначили его через $x_{i}$ . Какие значения может принимать сумма $f_{2} ( x_{1} ) + f_{3} ( x_{2} ) + …^{…} + f 100 ( x 99 ) + f 1 ( x 100 )$ ? Н.Агаханов
Дан равнобедренный треугольник ABC, AB = BC. В окружности Ω, описанной около треугольника ABC, проведен диаметр $CC '$ . Прямая, проходящая через точку $C '$ параллельно BC, пересекает отрезки AB и AC в точках M и P соответственно. Докажите, что M – середина отрезка $C ' P$ . Б.Обухов
Петя выбрал несколько последовательных натуральных чисел и каждое записал либо красным, либо синим карандашом (оба цвета присутствуют). Может ли сумма наименьшего общего кратного всех красных чисел и наименьшего общего кратного всех синих чисел являться степенью двойки? О.Дмитриев, Р.Женодаров
У царя Гиерона есть 11 металлических слитков, неразличимых на вид; царь знает, что их массы (в некотором порядке) равны 1, 2, …, 11 кг. Еще у него есть мешок, который порвется, если в него положить больше 11 кг. Архимед узнал массы всех слитков и хочет доказать Гиерону, что первый слиток имеет массу 1 кг. За один шаг он может загрузить несколько слитков в мешок и продемонстрировать Гиерону, что мешок не порвался (рвать мешок нельзя!). За какое наименьшее число загрузок мешка Архимед может добиться требуемого? И.Богданов, К.Кноп

Второй день

В классе учатся 23 человека. В течение года каждый ученик этого класса один раз праздновал день рождения, на который пришли некоторые (хотя бы один, но не все) его одноклассники. Могло ли оказаться, что каждые два ученика этого класса встретились на таких празднованиях одина-

ковое число раз? (Считается, что на каждом празднике встретились любые два гостя, а также что именинник встретился со всеми гостями.) И.Богданов

Назовем непустое (конечное или бесконечное) множество A, состоящее из натуральных чисел, полным, если для любых натуральных a и b (не обязательно различных и не обязательно лежащих в A) таких, что a + b лежит в A, число ab также лежит в A. Найдите все полные множества натуральных чисел. Н.Агаханов
В белой таблице $2016 \times 2016$ некоторые клетки окрасили черным. Назовем натуральное число k удачным, если $k \le 2016$ и в каждом из клетчатых квадратов со стороной k, расположенных в таблице, окрашено ровно k клеток. (Например, если все клетки черные, то удачным является только число 1.) Какое наибольшее количество чисел могут быть удачными? Е.Бакаев
Дан выпуклый четырехугольник ABCD, в котором $\angle$ DAB $= 90 ^\circ$ . Пусть M – середина стороны BC. Оказалось, что $\angle$ ADC $= \angle$ BAM. Докажите, что $\angle$ ADB $= \angle$ CAM. Е.Бакаев

10 класс

Первый день

См. задачу 1 для 9 класса.
Петя выбрал 10 последовательных натуральных чисел и каждое записал либо красным, либо синим карандашом (оба цвета присутствуют). Может ли сумма наименьшего общего кратного всех красных чисел и наименьшего общего кратного всех синих чисел оканчиваться на 2016? О.Дмитриев, Р.Женодаров
На стороне AB выпуклого четырехугольника ABCD взяты точки K и L (точка K лежит между A и L), а на стороне CD взяты точки M и N (точка M между C и N). Известно, что AK = KN = DN и BL = BC = CM. Докажите, что если BCNK – вписанный четырехугольник, то и ADML тоже вписан. Т.Зиманов, П.Кожевников
Дана клетчатая таблица $100 \times 100$ , клетки которой покрашены в черный и белый цвета. При этом во всех столбцах поровну черных клеток, в то время как во всех строках разные количества черных клеток. Каково максимальное возможное количество пар соседних по стороне разноцветных клеток? И.Богданов

Второй день

Назовем непустое (конечное или бесконечное) множество A, состоящее из действительных чисел, полным, если

ОЛИМПИАДЫ

Задача 4. Три в кубе Куб собран из одинаковых резисторов сопротивлением R. Три резистора заменили на идеальные перемычки, как указано на рисунке 7.

Таблица 3

каких координатных осях экспериментальная зависимость мощности от перемещения линейна? Определите мощность силы в точке с координатой $s_{0} = 10$ см. Найдите значение силы F. З.Гордеев

Задача 2. «Темная материя» Скопления звезд образуют бесстолкновительные системы – галактики, в которых звезды равномерно движутся по круговым орбитам вокруг оси симметрии системы. Галактика NGC 2885 (рис.9) состоит из скопления звезд в виде

Рис. 7

Найдите общее сопротивление получившейся системы между контактами A и B. 2) Какие резисторы из оставшихся можно убрать так, что это не изменит общее сопротивление системы? 3) Если известно, что сила тока, текущего через большинство резисторов электрической цепи, равна I = 2 A, то какова сила тока в проводе, подсоединенном к узлу A (или В)? 4) Вычислите силу тока, текущего через идеальную перемычку $AA '$ . М.Иванов

Задача 5. Транспортер на боку По шероховатому горизонтальному полу движется лежащий на боку ленточный транспортер так, что плоскость ленты вертикальна (рис.8, вид сверху). Скорость ленты

Рис. 8

транспортера v. Транспортер перемещается по полу с постоянной скоростью u перпендикулярно основным участкам его ленты. За некоторое время транспортер сместился на расстояние s. Транспортер толкает по полу брусок массой m, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда. Пренебрегая прогибом ленты и считая движение бруска установившимся, найдите смещение бруска за время s/u. Определите работу по перемещению бруска, совершаемую силой, действующей на брусок со стороны транспортера (за время смещения транспортера на расстояние s). Коэффициент трения между бруском и полом $\mu_{1}$ , а между бруском и лентой $\mu_{2}$ . А.Фролов

11 класс

Задача 1. Мощность в пространстве На изначально покоящийся на гладком горизонтальном столе брусок массой m = 2 кг начали действовать постоянной горизонтальной силой F. В результате была получена зависимость мощности N от перемещения s бруска (табл.3). Некоторые измерения могли оказаться не очень точными. В

Рис. 9

шарового ядра радиусом $r_{я} = 4$ кпк и тонкого кольца, внутренний радиус которого совпадает с радиусом ядра, а внешний равен $15r_{я}$ . Кольцо состоит из звезд с пренебрежимо малой по сравнению с ядром массой. В ядре звезды распределены равномерно. Было установлено, что линейная скорость движения звезд в кольце не зависит от расстояния до центра галактики: от внешнего края кольца вплоть до края ядра скорость звезд $v_{0} = 240$ км/с. Такое явление может быть объяснено наличием несветящейся массы, или «темной материи», распределенной сферически симметрично относительно центра галактики вне ее ядра. 1) Определите массу $M_{я}$ ядра галактики. 2) Определите среднюю плотность $\rho_{я}$ вещества ядра галактики. 3) Найдите зависимость плотности «темной материи» $\rho_{т}$ от расстояния r до центра галактики. 4) Вычислите отношение массы «темной материи», влияющей на движение звезд в диске, к массе ядра. Примечание: 1 кпк = 1 килопарсек $= 3,086 \cdot 10^{19}$ м, гравитационная постоянная $G = 6,67 \cdot 10^{-} 11$ Н $\cdot м^{2} \cdot кг^{-} 2$ . П.Коротков

Задача 3. Четыре в кубе Куб собран из одинаковых резисторов, имеющих сопротивления R. Четыре резистора заменены на идеальные перемычки, как указано на рисунке 10. 1) Найдите общее сопротивление получившейся системы между контактами A и B. 2) Через какие резисторы сила текущего тока максимальна, а через какие минимальна? Найдите эти значения силы тока, если сила тока, входящего в узел А, равна $I_{0} = 1,2$ А. 3) Какова сила тока, текущего через идеальную перемычку $AA '$ ? М.Иванов

Задача 4. Ромб Циклический процесс, совершаемый над идеальным га-

КВАНТ 2016/№2

Задача 5. Колебаниям – нет! В электрической цепи, состоящей из резистора сопротивлением R, катушки индуктивностью L и конденсатора емкостью $C_{0}$ , на конденсаторе находится заряд $Q_{0}$ (рис.12). В некоторый момент времени замыкают ключ K и одновременно начинают изменять емкость конденсатора так, что идеаль-

Рис. 10

зом, на плоскости p, V представляет собой ромб (рис.11). Вершины 1 и 3 лежат на одной изобаре, а вершины 2 и 4 – на одной изохоре. За цикл газ совершил работу А. На

Рис. 12

ный вольтметр показывает постоянное напряжение. 1) Как зависит от времени емкость конденсатора C ( t ) при изменении времени от 0 до $t_{1} = C_{0} L$ ? 2) Какую работу за время $t_{1}$ совершили внешние силы? Считайте, что $t_{1} = L R = C_{0} L$ . Подсказка. Количество теплоты, выделившееся на резисторе за время $t_{1}$ , равно t 1

$W_{R} = \int I^{2} ( t )$ Rdt =

Рис. 11

$Q_{0}^{2}. 3 C_{0}$

М.Осин сколько отличается количество теплоты $Q_{12}$ , подведенное к газу на участке 1–2, от количества теплоты $Q_{3,4}$ , отведенного от газа на участке 3–4? В.Сбободянин

Электростатика для умных школьников

(Начало см. на с. 44)

Итак, предположение о том, что поле внутри не осталось тем же самым, этим рассуждением опровергнуто. Мы доказали теорему единственности.

На самом деле, это длинный разговор. Если мне везет с классом, если они готовы такие вещи слушать, я им довольно много всего рассказываю. Пока не наступает явное переполнение, что, впрочем, видно по выражениям лиц и так далее. Мне кажется, что сложные вещи полезно обсуждать. Нужно обязательно, чтобы они развивались, чтобы они росли достаточно быстро – нагрузка должна быть близка (по сложности, не по объему) к некоторому предельному значению. Это значение у всех разное, поэтому я своих учеников гружу поразному. А для того чтобы это не было так уж скучно, я работаю без домашних заданий, это довольно здорово облегчает ситуацию. По крайней мере, дает моральное право мне на уроке активно с учениками работать. И заставлять работать их.

Пользуясь теоремой единственности, мы решаем множество довольно трудных задач. Так, из нее сразу вылезает замечательный метод изображений. В школьной программе его нет, и прекрасно можно обойтись без этого

Публикацию подготовил В.Слободянин метода, но уж очень красивые задачи бывают. Красивые, понятные, трудные, любые. И кстати, один забавный короткий пример. С математически грамотными школьниками перед обсуждением этой темы я решаю такую задачу. Есть два точечных заряда, скажем q и –3q. Как расположены на плоскости точки, имеющие нулевой потенциал? Кроме бесконечно удаленных? Это интересная задача. Она пробивается в лоб, можно написать сложные, довольно противные соотношения. Почему я заговорил про математически образованных школьников? Они знают ответ и не решая этой задачи. Обычно сразу какое-нибудь быстро соображающее дитя кричит: «Окружность Аполлония!» Для того чтобы был у точки нулевой потенциал в нашем случае, она должна быть втрое дальше от большого заряда, чем от малого. Тогда сумма этих потенциалов дает ноль. А такую геометрическую фигуру они в геометрии изучают: как расположены на плоскости точки, которые втрое дальше от точки А, чем от точки В. Это окружность, окружность Аполлония. Значит, в пространстве это будет сфера. А мне это и нужно. Когда мы с ними докажем теорему единственности, мы вернемся к этим вопросам и решим задачу про изображение в сфере. Заряд и заземленная сфера: с какой силой они друг к другу притягиваются?..