XLVII Международная физическая олимпиада

55

ОЛИМПИАДЫ

лых чисел, хрупким, если оно состоит не менее чем из двух элементов и каждый его элемент имеет общий простой делитель хотя бы с одним из остальных элементов этого множества. Пусть $P ( n ) = n^{2} + n + 1$. Найдите наименьшее положительное целое b, для которого найдется неотрицательное целое a такое, что множество

{ P ( a + 1 ), P ( a + 2 ), …, P ( a + b ) } является хрупким.

Люксембург

5. См. задачу М2444 «Задачника «Кванта».

Австралия

6. На плоскости расположено $n \ge 2$ отрезков так, что любые два из них пересекаются по внутренней точке, а никакие три из них не имеют общей точки. Иван выбирает один из концов каждого отрезка и сажает в него лягушку лицом к другому концу этого отрезка. Затем он n – 1 раз хлопает в ладоши. При каждом хлопке каждая из лягушек немедленно прыгает вперед в следующую точку пересечения на ее отрезке. Лягушки никогда не меняют направления своих прыжков. Иван хочет изначально рассадить лягушек так, чтобы никакие две из них никогда не оказались в одной точке пересечения одновременно. a) Докажите, что Иван всегда может добиться желаемого, если n нечетно. б) Докажите, что Иван никогда не сможет достичь желаемого, если n четно.

7. Назовем множество, состоящее из положительных це-

Публикацию подготовили Н.Агаханов, И.Богданов, М.Пратусевич, К.Сухов, Д.Терёшин

Слева направо: Г.Вепрев, Н.Карагодин, П.Губкин, Г.Юргин, И.Фролов, Р.Салимов клетке соответствует пара положительных целых чисел ( i, j ), где $1 \le i, j \le n$. Для n > 1 в таблице суммарно есть 4n – 2 диагоналей двух типов. Любая диагональ первого типа состоит из клеток ( i, j ), для которых сумма i + j постоянна, а любая диагональ второго типа состоит из клеток ( i, j ), для которых разность i – j постоянна.

3. См. задачу М2445 «Задачника «Кванта».

Чехия

XLVII Международная физическая олимпиада

Международная олимпиада школьников по физике в 2016 году проходила в Швейцарии, в городе Цюрихе. На олимпиаду приехали 450 школьников из 90 стран мира. Вместе с ними в работе олимпиады приняли участие 250 взрослых членов делегаций. Участникам олимпиады предлагались три теоретические задачи (теоретический тур) и две экспериментальные задачи (экспериментальный тур). Все задачи оценивались по 10 баллов. Таким образом, каждый участник мог набрать максимум 50 баллов. В сборную России вошли: Александр Артемьев (Киров, Кировский физико-математический лицей), Максим Елисеев (Мордовия, Республиканский лицей для одаренных детей), Илья Кочергин (Москва, лицей «Вторая школа»), Иван Утешев (Мордовия, Республиканский лицей для одаренных детей), Василий Югов (Пермь, школа 146 с углубленным изучением математики, физики, информатики). В неофициальном командном зачете наша команда, набрав 207,8 баллов, заняла четвертое место, уступив Китаю (231,3 б.), Южной Корее (225,8 б.) и Тайваню (211,6 б.). Вот результаты наших участников: А.Артемьев (46,9 б.) – золотая медаль и лучший в мире результат по решению теоретических задач, И.Кочергин (41,4 б.) – золотая медаль, В.Югов (41 б.) – золотая медаль,

Слева направо: А.А.Воронов (руководитель команды), В.Югов, А.Артемьев, М.Елисеев, И.Кочергин, И.Утешев, М.Н.Осин (руководитель команды)

И.Утешев (40 б.) – золотая медаль, М.Елисеев (38,5 б.) – серебряная медаль. Ниже приводятся условия задач теоретического тура олимпиады.

Теоретический тур

Задача 1. Две задачи по механике (10 баллов) Часть А. Спрятанный диск (3,5 балла) Рассмотрим твердый деревянный цилиндр радиусом $r_{1}$ и толщиной $h_{1}$ (рис.1). Где-то внутри деревянного цилиндра