Задачи

КОНКУРС ИМЕНИ А.П.САВИНА

Задачи

Мы продолжаем конкурс по решению математических задач. Они рассчитаны в первую очередь на учащихся 7–9 классов, но мы будем рады участию школьников всех возрастов. Высылайте решения задач, с которыми справитесь, электронной почтой по адресу: savin.contest@gmail.com или обычной почтой по адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант» (с пометкой «Конкурс имени А.П.Савина»). Кроме имени и фамилии укажите город, школу и класс, в котором вы учитесь, а также обратный почтовый адрес. Мы приветствуем участие в конкурсе не только отдельных школьников, но и команд (в таком случае присылается одна работа со списком участников). Участвовать можно начиная с любого тура. Победителей ждут дипломы журнала «Квант» и призы. Желаем успеха!

11. В правильный шестиугольник площади 96 вписан равносторонний треугольник так, как показано на рисунке. Найдите площадь этого треугольника. С.Кузнецов

12. а) Найдутся ли 3 натуральных числа, которые все различны и куб каждого из них делится на произведение остальных чисел? б) А найдутся ли 4 таких числа? П.Кожевников

13. Куб 10 ¥ 10 ¥ 10 составлен из 1000 кубиков, каждый из которых черный или белый. Рассмотрим 300 рядов, каждый из которых параллелен какому-то ребру куба (в каждом таком ряду по 10 кубиков). Может ли оказаться, что в каких-то 200 из этих рядов имеется по 8 черных кубиков,

Конкурс проводится совместно с журналом «Квантик».

а в остальных 100 рядах – по 5 черных кубиков? И.Богданов

14. В выпуклом четырехугольнике ABCD – $A = 30 \infty$, периметр треугольника BCD равен длине диагонали AC. Найдите – C. Е.Бакаев, В.Расторгуев

15. Петя нарисовал таблицу 10 ¥ 10 и заполнил все ее клетки плюсами. Затем он сделал несколько действий по следующему правилу. Каждым действием он наугад выбирал ряд (строку или столбец) и менял каждый из 10 его знаков на противоположный (плюс на минус, минус на плюс). Когда после этого Петя вышел, хулиган Вася часть знаков стер – осталось только N знаков. Для какого наименьшего N может оказаться, что получившуюся у Пети таблицу можно однозначно восстановить по оставшимся данным? Е.Бакаев