Олимпиада «Покори Воробьёвы горы!

Квант 2017, №8 с. 47, 57 Тег LJ85

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Олимпиада «Покори Воробьевы горы!»

ФИЗИКА

Олимпиада «Покори Воробьевы горы!» по физике в 2016/17 учебном году проходила в два этапа: отборочный (дистанционно)) и заключительный (для 10–11 классов – очно в МГУ и в регионах, для остальных классов – дистанционно). Задание отборочного тура состояло из тестовой части (проверялись только ответы) и творческой части (проверялись и оценивались решения). На заключительный этап приглашались победители и призеры отборочного этапа, а также победители и призеры прошлогодней олимпиады. Ниже приводятся примеры заданий обоих туров олимпиады для 10–11 классов.

ОТБОРОЧНЫЙ ЭТАП

Часть I (тестовое задание) 1. (10 баллов) На горизонтальной поверхности лежит однородный кубик. Чтобы заставить его скользить по поверхности, надавив в горизонтальном направлении на центр его боковой грани (перпендикулярно этой грани), нужно приложить силу не менее 14 Н. На некотором расстоянии от него ставят второй однородный кубик. Масса этого кубика в 2 раза больше, чем у первого, а коэффициент трения о поверхность точно такой же. Обращенные друг к другу грани кубиков параллельны и перпендикулярны линии $O_{1} O_{2}$ , соединяющей их центры. Между кубиками вставили невесомую пружину, ось которой совпадает с $O_{1} O_{2}$ . Пружина изначально не деформирована (ее длина в точности равна расстоянию между кубиками). С какой минимальной постоянной силой нужно давить на центр боковой грани первого кубика в направлении второго (сжимая пружину), чтобы в результате этого воздействия второй кубик сдвинулся с места? Пружина не изгибается, кубики не отрываются от поверхности. Ответ запишите в ньютонах, при необходимости округлив до целого значения. 2. (7 баллов) Два сосуда объемами $V_{1} =$

= 6 л и $V_{2} = 14$ л соединены небольшой узкой трубочкой с вентилем. Первоначально вентиль закрыт и в первом сосуде находится влажный воздух с относительной влажностью $r_{1}$ 70%, а во втором – с относительной влажностью $r_{2}$ 50%. Температура воздуха в обоих сосудах одинакова. Затем вентиль открывают. Какой будет относительная влажность воздуха после установления равновесия, если температура останется прежней? Ответ запишите в процентах. 3. (8 баллов) На рассеивающую линзу с фокусным расстоянием F = 12 см падает сходящийся пучок света. Пройдя линзу, пучок сходится на оптической оси в главном фокусе линзы. На каком расстоянии от линзы соберется пучок, если рассеивающую линзу заменить собирающей с тем же по величине фокусным расстоянием? Ответ запишите в сантиметрах, при необходимости округлив до целого значения.

Часть II (творческое задание) Опыты профессора Вагнера

Горка профессора Вагнера Однажды летом на своей даче профессор Вагнер соорудил горку. Наклон горки к горизонту был невелик, $A_{=} 10^{o}$ , но скатываться с нее нужно было с помощью приспособления из двух цилиндрических тонкостенных труб и ровной тяжелой доски (рис.1). Трубы устанавливались на наклонную плоскость горки так, что их оси были горизонтальными и лежащая на них доска тоже была горизонтальной. На доске размещался груз,

Рис. 1

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ

и затем система отпускалась без начальной скорости. В одном из случаев небольшой груз был размещен над осью меньшей по диаметру трубы. При этом расстояние по горизонтали до оси большей трубы равнялось L = 1,46 м. Профессор измерил время от старта до того момента, когда груз оказался над осью большей трубы. Какой результат он получил (его секундомер отсчитывает время с точностью 0,1 с)? Масса одной из труб в k = 2 раза, а другой – в n = 3 раза превосходит массу доски. Ускорение свободного падения считать равным g 9,8 м $с^{2}$ . В процессе скатывания в пределах исследуемого интервала времени доска не отрывалась от труб и не скользила по ним, груз не скользил по доске, а трубы не скользили по горке. Трение качения не учитывать.

Поиски холодильника В одной из своих установок по изучению процессов образования топологически нетривиальных жидкокристаллических структур профессор Вагнер для плавного вращения резервуара использовал в качестве двигателя тепловую машину. Рабочим телом этой машины были несколько молей неона. Цикл рабочего тела показан на рисунке 2 в

МАТЕРИАЛЫ

гольников, вставленных на место граней тетраэдра, смещаться вдоль плоскости грани или внутрь тетраэдра, но совершенно не мешали им выскальзывать наружу. На каждую из четырех пластин был равномерно нанесен заряд q < 0, а в центре тетраэдра профессор закрепил маленький непроводящий шарик с зарядом Q > 2|q|. Вагнер вложил пластины в грани каркаса. Затем он начал медленно закачивать внутрь тетраэдра воздух, повышая его давление. При какой разности давлений внутри и снаружи шкатулка рассыпалась? Электрическая постоянная равна $E_{0}$ .

На перегибе В старых лабораторных журналах профессор Вагнер нашел отчет об одном из своих экспериментов. В этом эксперименте изучалось скатывание маленькой шайбы по однородному пластиковому профилю без начальной скорости (рис.3). В журнале была таблица зависимости тормозного пути шай-

Рис. 3

бы s на горизонтальном участке профиля от высоты точки старта h на наклонном участке при некотором значении угла наклона A (табл. 1). Кроме того, там также была табли-

Таблица 1

Рис. 2

координатах давление – объем. Укажите участки цикла, на которых газ отдает тепло холодильнику, т.е. определите координаты точек, которые являются началом и концом такого участка (или участков, если их несколько). Пренебрегая всеми потерями (кроме передачи тепла холодильнику), найдите КПД этой тепловой машины.

Электростатическая шкатулка Как-то профессор Вагнер решил собрать оригинальную электростатическую шкатулку. Из гладких непроводящих «уголков» он изготовил каркас в форме правильного тетраэдра с длиной ребра a. «Уголки» не позволяли пластинам в форме правильных треу- ца зависимости s от угла наклона A при h = 20 см (табл. 2). На основании данных профессора определите: при каком значении A проводилась серия опытов, результаты которой приведены в таблице 1, и чему равен коэффициент трения шайбы о поверхность

Таблица 2

ОТВЕТЫ,

УКАЗАНИЯ,

Из этого равенства видно, что числа b и S b не могут иметь общих делителей. 7. 39. Прямая, проходящая параллельно стороне большого треугольника на расстоянии 0,1, пересекает 39 треугольничков, примыкающих к этой стороне. Докажем, что больше 39 треугольничков пересечь невозможно. Пусть прямая l пересекает стороны AB и AC большого треугольника на расстояниях x и y b x от вершины A соответственно (рис.16). Если ¨ © $x \cdot$ ¸ m, можно ограни-

Рис. 16

читься рассмотрением треугольника AB a C a со стороной m, разбитого на $m^{2}$ единичных треугольничков (здесь Ba и Ca – точки, лежащие на расстоянии m от вершины A на сторонах AB и AC соответственно). Пусть прямая l пересекает ACa в точке D, а внутри отрезков AD и C a D содержится r и s вершин треугольничков соответственно. Тогда r s b m 1. Прямая l пересекает m – 1 границ треугольничков, параллельных AC, r границ, параллельных AB, и s границ, параллельных BC. Поэтому общее количество пересечений прямой l с границами треугольничков равно r s m 1 b 2 m 2, следовательно, количество треугольничков, которые пересекает l, не больше 2 m 1 b 39. 8. Да. В предлагаемом алгоритме первая пара полицейских гонит вора по часовой стрелке, а вторая пара – против часовой стрелки. Скажем, что вершины $A_{i}$ образуют в нашем графе слой A, а вершины $B_{i}$ – слой B. Если полицейский $C_{1}$ (или вор R) находится в вершине $A_{i}$ или $B_{i}$ , скажем, что его координата $x_{1} i$ (соответственно, $x_{R} i ).$ В любой момент мы можем для удобства уменьшить или увеличить любую из координат полицейских на 2017. Мы будем, однако, аккуратно следить за

РЕШЕНИЯ

изменением координаты вора при его движении, так что возможно, что через какое-то время вор окажется в вершине $A_{i}$ , но мы будем считать, что, скажем, $x_{R} i 2017$ , поскольку вор сделал полный оборот. Стратегия полицейских $C_{1}$ и $C_{2}$ состоит из двух частей. Часть I. Полицейский $C_{2}$ просто стоит в некоторой вершине слоя A. Полицейский $C_{1}$ движется по слою A по часовой стрелке. Его цель – добиться, чтобы его координата $x_{1}$ была сравнима по модулю 17 с координатой вора $x_{R}$ . Рассмотрим остаток от деления разности $x_{R} x_{1}$ на 17. Если вор ходит по ребрам слоя B, по ребру $A_{i} B_{i}$ или просто стоит на месте, остаток не меняется, а полицейский $C_{1}$ на следующем ходу сможет уменьшить остаток на 1. Если вор ходит по ребру $A_{i} A_{i} 1$ , после следующего хода $C_{1}$ остаток не изменится, но бесконечно это продолжаться не может из-за полицейского $C_{2}$ . Наконец, если вор идет по ребру $A_{i} 1 A_{i}$ , полицейский $C_{1}$ стоит на месте. Таким образом, после нескольких ходов будет выполнено условие $x_{1} y x_{R}$ mod17. Более того, следующим ходом полицейский $C_{1}$ может сделать так, чтобы сохранилось условие $x_{1} y x_{R}$ mod17 и он оказался в одном слое с вором. Часть II. Выберем $x_{1}$ так, что $x_{1} y x_{R}$ mod17 и $x_{1} x_{R}$ . Пусть при этом $x_{R} x_{1} 17 k$ . Теперь полицейский $C_{1}$ должен сохранять сравнение $x_{1} y x_{R}$ mod17 и оставаться в одном слое с вором. Он должен также стараться уменьшить разность $x_{R} x_{1}$ . Для этого он будет просто «копировать» ходы вора: если вор ходит по слою A, полицейский $C_{1}$ делает такой же ход в слое A; если вор остается в своей вершине или ходит из слоя в слой, $C_{1}$ делает то же самое; если вор ходит по слою B по часовой стрелке, $C_{1}$ делает такой же ход в слое B. Но если вор ходит по слою B против часовой стрелки (назовем такой ход критическим), $C_{1}$ остается на месте, и в этот момент разность $x_{R} x_{1}$ уменьшается на 17. Ясно, что в этой части игры вор может сделать не более k критических ходов. Что касается полицейского $C_{2}$ , то в начале мы выбираем (прибавлением кратного 2017) значение $x_{2} x_{R}$ , и $C_{2}$ просто движется вдоль слоя A по часовой стрелке. Докажем, что координата $x_{R}$ будет расти неограниченно. Действительно, она не увеличивается только в трех случаях: 1) вор переходит из слоя в слой или остается на месте (тогда разность $x_{R} x_{2}$ уменьшается в результате следующего хода $C_{2} ),$