Квант
Конкурс имени А. П. Савина

Задачи 13—16

Квант 2017, №12с. 11Тег HUDT

11

КОНКУРС

ИМЕНИ

approach», Elem. Math. 55 (2000), 45–62). Новое доказательство использовало выход в пространство! А его ключевое утверждение, которое мы предлагаем вам доказать, интересно само по себе (мы несколько изменили формулировку):

Упражнение 4 (A.Hrasko, 2000). На плоскости дана окружность, и внутри нее – вторая окружность. Кузнечик прыгает с одной окружности на другую и обратно с постоянной длиной прыжка. Получается ломаная A1A2A3A4…A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}^{…}, в которой все звенья равны, вершины с нечетными номерами лежат на первой окружности, с четными – на второй. Докажите, что отрезки A1A3,A3A5,A5A7A_{1} A_{3}, A_{3} A_{5}, A_{5} A_{7}, … касаются одного эллипса.

А.П.САВИНА

Указание. Проведем через вторую окружность произвольную сферу радиусом, большим радиуса окружности. Также проведем сферу с центром A2kA_{2k} и радиусом, равным длине прыжка. Докажите, что общая плоскость этих сфер проходит через фиксированную точку для всех k. Затем воспользуйтесь таким вспомогательным фактом. Вспомогательный факт (без доказательства). На плоскости A дана окружность и даны точки A и B вне плоскости, причем проекция A на A лежит внутри окружности. По окружности движется точка M, а через точку B проводится плоскость, перпендикулярная AM. Тогда она пересекает A по прямой, касающейся фиксированного эллипса.

(Продолжение следует)

КОНКУРС ИМЕНИ А.П.САВИНА

Мы продолжаем очередной конкурс по решению математических задач. Они рассчитаны в первую очередь на учащихся 7–9 классов, но мы будем рады участию школьников всех возрастов. Конкурс проводится совместно с журналом «Квантик». Высылайте решения задач, с которыми справитесь, электронной почтой по адресу: savin.contest@gmail.com или обычной почтой по адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант» (с пометкой «Конкурс имени А.П.Савина»). Кроме имени и фамилии укажите город, школу и класс, в котором Вы учитесь, а также обратный почтовый адрес. Мы приветствуем участие в конкурсе не только отдельных школьников, но и команд (в таком случае присылается одна работа со списком участников). Участвовать можно начиная с любого тура. Победителей ждут дипломы журнала «Квант» и призы.

  1. Докажите, что произведение любых трех последовательных натуральных чисел является площадью некоторого прямоугольного треугольника, все стороны которого являются целыми числами. А.Бирюлин (ученик 5 класса)

  2. На доске 12 s 12 некоторые клетки вымазали краской. Сколькими способами можно поставить 12 ладей так, чтобы они не били друг друга и ни одна ладья не испачкалась краской? П.Кожевников

  3. Николаю Ивановичу, любителю занимательных задач, нравится наряжать игрушками-головоломками новогоднюю елку для внуков. Он приготовил из плотной бумаги правильный тетраэдр (тре- угольную пирамидку из равносторонних треугольников). Затем надрезал его, развернул и получил многоугольник-елочку (она составлена симметрично из трех равных половинок правильного шестиугольника. Как ему это удалось? А.Домашенко 16. В школьном химическом кабинете имеются двухчашечные весы с набором из n гирек массами 1 г, 2 г, …, n г. Коля разложил все эти гирьки по чашкам весов так, что они уравновесились. Петя хочет убрать часть гирек, но так, чтобы равновесие сохранилось. Какое наименьшее количество гирек ему потребуется снять, чтобы гарантированно добиться успеха (как бы ни были разложены гирьки по чашкам)? И.Акулич