Квант
Лаборатория «Кванта»

Маятник Капицы

Дворянинов С. В.

Квант 2018, №5с. 37, 38, 40Тег E74H

37

ЛА Б О Р АТО РИЯ

Существуют и другие идеи доказательства основной теоремы. Например, в докладе А.Куликовой на ММКШ [1] использовались двойные отношения точек и свойства центрального проектирования, что позволило сильно сократить доказательство. И.Фролов сообщил нам, что после полярного преобразования с центром O теорема об изогоналях превращается в следующий факт: Пусть в четырехугольнике KLMN биссектрисы углов между парами прямых KL и MN, KM и LN параллельны (это условие эквивалентно вписанности четырехугольника). Тогда им параллельна и биссектриса угла между прямыми KN и ML. От П.Кожевникова мы узнали, что при подходящей центральной проекции в пространстве точка O уйдет на бесконечность, а пары прямых OA и OD, OB и OC, OP и OQ (рис.19) станут параллельными прямыми, симметричными относительно фиксированной прямой (прямой Гаусса), которая проходит через середины отрезков AD, BC, PQ.

«КВАНТА»

Рис. 19

Список литературы

  1. Московская математическая конференция школьников (ММКШ). (https://www.mccme.ru /circles/oim/mmks/notes.htm) 2. П.Кожевников. Изогонально сопряженные точки. – «Квант», 2016, №1. 3. Д.Прокопенко. Изогональное сопряжение и педальные треугольники. – «Квант», 2017, №9. 4. Сайт Олимпиады по геометрии имени И.Ф.Шарыгина: geometry.ru. 5. А.В.Акопян. Геометрия в картинках. – М., 2017. 6. А.В.Акопян, А.А.Заславский. Геометрические свойства кривых второго порядка. – М.: МЦНМО, 2007.

ЛА Б О Р АТО РИЯ «КВАНТА»

Маятник Капицы

С.ДВОРЯНИНОВ

Удивление – мать познания. Приписывается Аристотелю

СЕЙЧАС МЫ РАССКАЖЕМ ОБ ОДНОМ ИН- тересном физическом явлении. Более того – оно удивительно, и на этом основании попало в книгу В.И.Арнольда «Математическое понимание природы. Очерки удивительных физических явлений и их понимание математиками (с рисунками автора)». Речь пойдет о маятнике. Обычно маятник рисуют так, как показано на рисунке 1. На длинной нити подвешено небольшое тело, которое совершает колебания. Такой маятник называют математическим. Нижнее положение равновесия маятника устойчиво. Вместо нити можно взять стержень – у нас будет именно такой маятник. А теперь перевернем маят- Рис. 1 ник, заставим его стоять, как пишет Арнольд, «вверх ногами» (рис.2). У такого маятника прежняя точка подвеса превращается в точку опоры, но мы по традиции будем называть ее точкой подвеса. Хорошо известно, что поставить такой маятник вертикально не удается – или влево, или впра- Рис. 2 во он обязательно упадет. Если все же получится зафиксировать его в вертикальном положении, то малейшее сотрясе-

38

КВАН T 2018/№5

ние опоры или дуновение воздуха приведет к опрокидыванию маятника. Это есть следствие и проявление неустойчивости верхнего положения равновесия перевернутого маятника. Академик и будущий нобелевский лауреат Петр Леонидович Капица (в 2019 году исполнится 125 со дня его рождения) проделал такой эксперимент. Он заставил точку подвеса совершать быстрые колебания вдоль вертикали. Что могло быть источником таких колебаний? Время было послевоенное, небогатое, но в семье Капицы была электрическая швейная машинка, стало быть, имелся электромотор. Точка подвеса должна совершать поступательное движение вверхвниз, а электромотор создает вращательное движение. Как одно превратить в другое – давно и хорошо известно. Например, у паровоза поступательное движение поршня в цилиндре кривошипно-шатунным механизмом преобразуется во вращение колес. Схема конструкции маятника Капицы изображена на рисунке 3. На оси электромотора

Рис. 3

1 эксцентрично насажен шариковый подшипник 2, к его обойме присоединена тяга 3, которая приводит в колебание рычаг 4. Один конец рычага вращается относительно неподвижной оси, а на другом подвешивается стержень маятника 5 так, что он может свободно качаться. Маятник с вибрирующей точкой подвеса устойчиво стоял вверх ногами. Попытка отклонить его в сторону приводила к тому, что он начинал качаться около вертикали влево-вправо, но не падал. Задача рассмотрения такого маятника возникла в связи с теорией ускорителей. При разработке нового проекта требовалось определить, будет ли движение ускоряемой частицы по кольцу огромного диаметра устойчивым. Оказалось, что круговое движение частицы в ускорителе описывается тем же дифференциальным уравнением, кото-

рое соответствует движению перевернутого маятника. П.Л.Капица предложил экспериментально проверить устойчивость, рассмотрев конструкцию с перевернутым маятником. Ясно, что эксперимент с маятником стоит во много-много раз дешевле, чем строительство ускорителя. Запись рассказа В.И.Арнольда об этом маятнике вы можете посмотреть на сайте «Математические этюды» (http:// etudes.ru). У него не было электрической швейной машинки, и поэтому в качестве источника вертикальных колебаний маятника Владимир Игоревич использовал электробритву вибрационного типа «Нева». Маятник крепился к язычку электробритвы с помощью цангового зажима для карандаша. Хорошо известно, что лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать. А еще лучше подержать в руках. Удивительно, но убедиться на опыте в принципиальной возможности стабильности перевернутого маятника при соответствующей вибрации точки подвеса вы можете почти мгновенно, не вставая изза своего письменного стола. Все необходимое для проведения эксперимента у вас есть под рукой. Возьмите деревянную (или пластмассовую) линейку с дыркой на конце и положите ее на гладкий полированный стол. В дырку поместите незаточенный карандаш и быстробыстро, словно скрипач смычком, перемещайте карандаш туда-сюда по направлению, не совпадающим с направлением линейки (рис.4). Вы сразу увидите, как линейка

Рис. 4

начнет поворачиваться и расположится на прямой, вдоль которой вибрирует точка подвеса нашего маятника. Можно поэкспериментировать, меняя массу и длину такого маятника, а также амплитуду и частоту колебаний его точки подвеса.

40

КВ А НT 2018/№5

СЛОЖНЫЙ ВАРИАНТ

8–9 классы

  1. (4) В строку выписаны 39 чисел, не равных нулю. Сумма любых двух соседних чисел положительна, а сумма всех чисел отрицательна. Каков знак произведения всех чисел? Б.Френкин

  2. (5) У Аладдина есть несколько одинаковых слитков золота, и иногда он просит джинна увеличить их количество. Джинн добавляет тысячу таких же слитков, но после этого берет за услугу ровно половину от получившейся общей массы золота. Мог ли Аладдин оказаться в выигрыше после десяти таких просьб, если ни один слиток не пришлось распиливать? А.Перепечко

  3. (6) См. задачу М2511 «Задачника «Кванта».

  4. (6) См. задачу М2510 «Задачника «Кванта».

  5. (8) На улице дома стоят друг напротив друга, всего 50 пар. На правой стороне улицы расположены дома с четными натуральными номерами, на левой – с нечетными натуральными номерами, номера возрастают от начала улицы к концу на каждой стороне, но идут не обязательно подряд (возможны пропуски). Для каждого дома на правой стороне улицы нашли разность между его номером и номером дома напротив, и оказалось, что все найденные числа различны. Наибольший номер дома на улице равен n. Найдите наименьшее возможное значение n. М.Дидин

  6. (10) В стране рыцарей (всегда говорят правду) и лжецов (всегда лгут) за круглым столом сидят в вершинах правильного десятиугольника 10 человек, среди которых есть лжецы. Путешественник может встать кудато и спросить сидящих: «Каково расстояние от меня до ближайшего лжеца из вас?» После этого каждый отвечает ему. Какое минимальное количество вопросов должен задать путешественник так, чтобы гарантированно узнать, кто за столом лжецы? (Посторонних рядом нет, на стол вставать нельзя.

Людей считайте точками. Все, включая путешественника, могут точно измерить любое расстояние.) М.Дидин

  1. (12) См. задачу М2513 «Задачника «Кванта».

10–11 классы

  1. (4) См. задачу 2 сложного варианта для 8–9 классов.

  2. (5) См. задачу М2511 «Задачника «Кванта».

  3. (6) В таблице 10 u 10 записано 100 различных чисел. За ход можно выбрать любой составленный из клеток прямоугольник и переставить все числа в нем симметрично относительно его центра («повернуть прямоугольник на 180q »). Всегда ли за 99 ходов можно добиться, чтобы числа возрастали в каждой строке слева направо и в каждом столбце – снизу вверх? А.Шаповалов

  4. Правильный треугольник, лежащий в плоскости D, ортогонально спроектировали на непараллельную ей плоскость E, полученный треугольник ортогонально спроектировали на плоскость J и получили снова правильный треугольник. Докажите, что: а) (4) угол между плоскостями D и E равен углу между плоскостями E и J; б) (4) плоскость E пересекает плоскости D и J по перпендикулярным друг другу прямым. Л.Емельянов

  5. (10) См. задачу М2513 «Задачника «Кванта».

  6. (10) Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Лучи BA и CD пересекаются в точке P. Прямая, проходящая через P и параллельная касательной к окружности в точке D, пересекает в точках U и V касательные, проведенные к окружности в точках A и B. Докажите, что окружности, описанные около треугольника CUV и четырехугольника ABCD, касаются. А.Заславский

  7. (12) Король решил поощрить группу из n мудрецов. Их поставят в ряд друг за другом (чтобы все смотрели в одном направ-