Заключительный этап LII Всероссийской олимпиады школьников по физике

42

КВ А НT 2018/№8

Заключительный этап LII Всероссийской олимпиады школьников по физике

В этом году заключительный этап Всероссийской физической олимпиады проходил с 9 по 14 апреля 2018 года в городе Тюмени. В олимпиаде приняли участие 286 школьников (93 девятиклассника, 105 десятиклассников и 88 одиннадцатиклассников). Олимпиада состояла из двух туров: первый – экспериментальный, второй – теоретический. Продолжительность каждого тура составляла 5 астрономических часов. Олимпиада проводилась для каждой из возрастных параллелей 9-х, 10-х и 11-х классов. На экспериментальном туре в каждом классе предлагалось выполнить 2 задания, а на теоретическом – решить 5 задач. Задания экспериментального тура олимпиады охватывали основные разделы школьной программы по физике: механика, термодинамика и молекулярная физика, электродинамика, колебания и волны. В этом же порядке формировались и задачи теоретического тура олимпиады. Традиционно сложными оказались экспериментальные задачи для 10 и 11 классов. Но в целом участники олимпиады успешно справились со всеми заданиями. Перед аппеляцией для участников олимпиады был проведен разбор заданий и были уточнены критерии оценивания заданий. В итоге Жюри приняло решение наградить дипломами Победителя олимпиады 22 участника и дипломами Призера – 104 участника (9 класс – 8 Победителей и 34 Призера, 10 класс – 6 Победителей и 39 Призеров, 11 класс – 8 Победителей и 31 Призер). По результатам олимпиады была сформирована группа кандидатов Российской Федерации для участия в Международной олимпиаде по физике в 2019 году и группа кандидатов Российской Федерации для участия в Международной естественно-научной олимпиаде юниоров в 2018 году. Ниже приводятся задачи теоретического тура заключительного этапа и список Победителей LII Всероссийской физической олимпиады.

Теоретический тур

9 класс

Задача 1. Паровоз При проведении аэрофотосъемки местности в кадр попал шлейф дыма от паровоза, начавшего свое движение из состояния покоя с постоянным ускорением a 0,05 м $с^{2}$ по прямому участку железной дороги. На фотографии (рис.1) виден весь шлейф от

Рис. 1

самого начала движения. Одной клетке соответствует расстояние 200 м. Считая скорость ветра постоянной, определите: 1) В каком направлении двигался паровоз? 2) Под каким углом D к железной дороге дул ветер? 3) Скорость ветра $v_{0}$. 4) Минимальную скорость ветра $v_{min}$ относительно паровоза. 5) Время движения паровоза W от начала движения до момента съемки. 6) Расстояние s, которое прошел паровоз от начала движения до момента съемки. М.Замятин

Задача 2. Блоки и цилиндры В двух сообщающихся сосудах, площади сечения которых $S_{1}$ и $S_{2}$, находится жид-

43

ОЛИМПИАДЫ

кость плотностью U (рис.2). Сосуды герметично закрыты поршнями, которые могут перемещаться под действием системы блоков и нерастяжимых нитей, связанных с рыча-

Рис. 2

гом Р. Вначале нити не натянуты и не провисают, а поршни соприкасаются с жидкостью. Рычаг медленно смещают вверх на небольшое расстояние h так, что он остается горизонтальным, а нити остаются вертикальными. 1) В предположении, что $S_{1}$! $S_{2}$, определите, в каких направлениях и на какие расстояния сместятся поршни. Какую силу $F_{1}$ необходимо прикладывать к рычагу, чтобы удерживать его после смещения на расстояние h? 2) Какая сила $F_{2}$ потребуется для перемещения рычага вверх на расстояние h при $S_{2} 2 S_{1}$? Массами рычага, блоков, нитей и поршней можно пренебречь. Трения нет. Сосуды от подставки не отрываются. Давление паров жидкости гораздо меньше атмосферного давления $p_{0}$. Ускорение свободного падения равно g. А.Аполонский Задача 3. Прилетевший пластилин Кусок пластилина массой m, упав без начальной скорости с некоторой высоты, прилип к бруску такой же массы, движущемуся по горизонтальной поверхности с постоянной скоростью $v_{0} 4$ м с под действием постоянной горизонтальной силы. Коэффициент трения между бруском и поверхно-

стью P 0,2. Определите скорость $v_{1}$ бруска через время $t_{1} = 1$ с после начала падения пластилина. Постройте график зависимости скорости бруска v от времени t после начала падения пластилина: а) с высоты $h_{1} = 10$ м; б) с высоты $h_{2} = 25$ м, указав на нем координаты характерных точек. Ускорение свободного падения g 10 м $с^{2}$. Сопротивлением воздуха пренебречь. М.Замятнин

Задача 4. Струйное нагревание В пустой теплоизолированный сосуд наливают воду при температуре $t_{0} 20 q C$ струйкой с массовым расходом P 2,0 г с. Когда в сосуде оказывается m = 100 г воды, в нем включается нагреватель мощностью N = = 200 Вт. Температура содержимого сосуда измеряется помещенным в него ртутным термометром. Через какое время $W_{1}$ с момента включения нагревателя температура воды в сосуде увеличится до $t_{1} 30 q C$? До какой максимальной температуры $t_{max}$ сможет нагреться содержимое сосуда? Выведите зависимость скорости v подъема столбика ртути термометра от времени W с момента включения нагревателя, если на его шкале расстояние между отметками $t_{0}$ и $t_{1}$ равно l = = 2,0 см. Определите скорость подъема столбика при температуре $t_{1}$. Удельная теплоемкость воды c 4200 Дж к㠘 q С. Процессы теплообмена происходят быстро, теплоемкости термометра и сосуда малы. Г.Зикрацкий

Задача 5. Что покажет омметр? При подключении омметра к нелинейному элементу Z, вольт-амперная характеристика которого представлена на рисунке 3, он показывает сопротивление $R_{Z} = 0,8$ кОм. Если параллельно к нелинейному элементу Z подключить резистор сопротивлением R = = 1 кОм, то показания омметра будут $R_{1} = = 0,4$ кОм. Определите ЭДС $U_{0}$ источника омметра и его внутреннее сопротивление r. Каковы будут показания омметра $R_{2}$ при подключении к нему последовательного соединения нелинейного элемента Z и резистора сопротивлением R? Примечание. Считайте, что омметр состоит из соединенных последовательно идеального источника постоянного напряжения $U_{0}$, резистора сопротивлением r и идеального амперметра (рис. 4). При подключении к

44

КВ А НT 2018/№8

стенки. Какую скорость u приобретет большая шайба после всех столкновений, если массы шайб одинаковы? Трения в системе нет, столкновения шайб друг с другом и со стенкой абсолютно упругие. И.Воробьев

Рис. 3

Рис. 4

омметру резистора сопротивлением $R_{x}$ показания амперметра, встроенного в омметр, автоматически пересчитываются так, что на цифровом табло прибора отражается значение сопротивления подключенного резистора. А.Киреев

10 класс

Задача 1. Шайбы и стенка Две шайбы находятся на гладкой горизонтальной поверхности (рис.5). Малая шайба радиусом r движется со скоростью v вдоль вертикальной стенки при малом зазоре с ней. Большая шайба радиусом R = 7r касается

Рис. 5

Задача 2. Автомобиль на конвейере Автомобиль движется по горизонтальному неподвижному конвейеру со скоростью $v_{0} 20$ м с в безветренную погоду. При этом половина мощности двигателя затрачивается на преодоление сопротивления воздуха, другая половина – на преодоление трения качения. 1) Навстречу автомобилю подул ветер со скоростью $v_{0} 20$ м с (относительно земли). С какой установившейся скоростью $v_{1}$ относительно земли будет двигаться автомобиль, если развиваемая двигателем мощность не изменилась, а конвейер неподвижен? 2) В некоторый момент ветер утих, а конвейер стал двигаться с постоянной скоростью $v_{0} 20$ м с в сторону, противоположную движению автомобиля. С какой установившейся скоростью $v_{2}$ относительно земли будет двигаться автомобиль, если развиваемая двигателем мощность не изменилась? Примечание 1. Сила сопротивления воздуха пропорциональна квадрату относительной скорости, сила трения качения постоянна. Примечание 2. Во всех случаях проскальзывания колес не возникает. Примечание 3. Уравнение третьей степени можно решить методом подбора. В.Петров

Задача 3. Трубка на центрифуге На центрифуге, которая может вращаться только вокруг вертикальной оси, закреплен в горизонтальном положении герметичный легкий цилиндр (рис.6). Ось ци-

Рис. 6

46

КВ А НT 2018/№8

газа. Лорд Кельвин проводил с ним два процесса и изобразил их на pV-диаграмме. Чернила, разумеется, выцвели. От первого процесса уцелела часть графика – отрезок прямой, а от графика второго процесса, как обычно, сохранилась единственная точка A (рис.10). Из поясняющих записей сле-

Рис. 11

Рис. 10

довало, что в этих процессах при равных температурах теплоемкости совпадали. Восстановите график зависимости давления p от объема V для второго процесса. И.Воробьев

Задача 3. В пузыре В далеком космосе есть планета, состоящая полностью из воды. Известно, что глубоководные обитатели изнутри могут обозревать все пространство вокруг тогда и только тогда, когда находятся на расстоянии не более чем x = 3000 км от центра планеты. Местные жители решили запустить спутник. С какой скоростью он должен двигаться на самой низкой возможной орбите? Показатель преломления воды n 4 3, плотность воды U 1000 кг $м^{3}$, гравитационная посто- ми вертикальными стенками $W_{1}$ и $W_{2}$, находящимися на расстоянии D друг от друга. К рельсам через ключ K последовательно подключены заряженный до напряжения $U_{0}$ конденсатор емкостью C и резистор сопротивлением R. Перпендикулярно плоскости рельсов включено вертикальное однородное магнитное поле с индукцией B такое, что m! $B^{2} l^{2} C$ и DBl ≫ $RCU_{0}$. В момент, когда ключ замкнули, перемычка покоилась посередине между стенками. Определите: 1) с какой стенкой произойдет первое столкновение перемычки; 2) скорость $v_{1}$ перед первым столкновением; 3) скорость $v_{n}$ перед n-м столкновением. Все столкновения перемычки со стенками абсолютно упругие. А.Аполонский

Задача 5. Уронили в речку шарик Из точки O на поверхности воды в реку бросают одинаковые маленькие металлические шарики (рис.12). Отпущенный без начальной скорости шарик упал на дно в точке янная G 6,67 ˜ $10^{11}$ Н ˜ $м^{2} кг^{2}$. Планета не вращается вокруг своей оси, волн на ее поверхности не бывает, воду можно считать несжимаемой. К.Кутелев

Задача 4. Столкновения в магнитном поле По двум горизонтальным проводящим рельсам может скользить без трения металлическая перемычка массой m (рис.11). Расстояние между рельсами l. Движение перемычки ограничено двумя непроводящими жестки-

Рис. 12

B, а шарик, запущенный вертикально вниз с известной скоростью v, упал в точку C. Расстояние BC = L. Найдите горизонтальную составляющую скорости второго шарика $u_{x}$ при ударе о дно. Считайте, что при

50

КВ А НT 2018/№8

Задание отборочного тура состояло из тестовой части (проверялись только ответы) и творческой части (проверялись и оценивались решения).

ка во столько же раз меньше сопротивления резистора. Найдите отношение мощности, выделяемой на диоде, к мощности, выделяемой на резисторе. Ответ запишите в виде числа.

Часть I (тестовое задание)

Часть II (творческое задание)

1 (8 баллов). Маленький мальчик катается на карусели, сидя почти неподвижно в кресле, которое вращается вокруг вертикальной оси карусели с угловой скоростью 2 рад/с по окружности радиусом 2 м. Его отец едет на велосипеде со скоростью 10 м/с по дорожке, проходящей мимо карусели. В момент, когда он проезжает точку дорожки, наиболее близкую к карусели, его сын тоже проходит наиболее близкую к дорожке точку своей траектории, при этом расстояние между ними равно 3 м и их скорости относительно земли сонаправлены. Найдите скорость отца в системе отсчета, связанной с сыном, в этот момент времени. Ответ запишите в м/с. 2 (8 баллов). Один моль гелия нагревают таким образом, что его давление растет прямо пропорционально объему, увеличиваясь в 1,3 раза. Найдите количество теплоты, подведенное к гелию в ходе этого процесса, если известно, что его начальная температура равнялась 200 К. Универсальная газовая постоянная R = 8,31 Дж/(моль·К). Ответ запишите в джоулях, округлив до ближайшего целого. 3 (9 баллов). В схеме, показанной на рисунке 1,а, диод не является идеальным – его вольт-амперная характеристика (зависимость силы тока от приложенного напряжения) показана на рисунке 1,б. Как видно, у диода есть некоторое пороговое напряжение, ниже которого он заперт даже при прямом включении, а при его превышении он пропускает любой ток (считаем, что это справедливо для токов, характерных для этой схемы). Известно, что величина ЭДС источника в 6 раз больше порогового напряжения диода, а внутреннее сопротивление источни-

Архивы профессора Челленджера

Отборочный этап

Рис. 1

1. Подводная оптика Однажды профессор Челленджер производил наблюдения за обитателями пруда с чистой водой. При этом он использовал плосковыпуклую тонкую линзу, фокусное расстояние которой в воздухе F = 30 см. Линза размещалась на поверхности воды (рис. 2). Профессор рассматривал мелкий

Рис. 2

объект, находившийся точно под центром линзы на глубине h = 63 см. С каким поперечным увеличением был виден объект? Известно, что показатель преломления стекла, из которого изготовлена линза, $n_{л} = 2$, пока- затель преломления воды n = 2 = 1,414.

2. Термомеханическое реле В одном из опытов профессора Челленджера было необходимо, чтобы при достижении в установке определенной температуры подавался сигнал. Нужный датчик удалось изготовить на основе биметаллической пластины, т.е. двух длинных тонких пластин одинаковых размеров: длина L, ширина D, толщина d, причем L ≫ D ≫ d, изготовленных из разных металлов и по всей поверхности соприкосновения прочно сваренных друг с другом (рис. 3,а). Металлы имеют

Рис. 3

55

ОТВЕТЫ,

УКАЗАНИЯ,

Рис. 4

вида 3k – 1, то красным. Рассмотрим квадрат размером 2 ¥ 2. В нем два цвета присутствуют по два раза, а одного цвета нет. В самом деле, если есть все три цвета, то есть и разноцветный уголок, а его быть не должно. Если один цвет присутствует трижды, то он также образует запрещенный уголок. Нетрудно заметить, что если вдоль вертикальной стороны $квадрата^{2} ¥^{2}$ клетки разного цвета, то во всей горизонтальной полосе, содержащей этот квадрат, третьего цвета нет. То же самое можно утверждать и про два разных цвета по горизонтали и соответствующую вертикальную полосу. Так как хотя бы одна из этих полос должна пересекать полосу с клетками третьего цвета, т.е. должна содержать клетки третьего цвета, то никакой $квадрат^{2} ¥^{2}$ не может быть покрашен в шахматном порядке. Пусть левый нижний квадрат 2 ¥ 2 имеет, например, горизонтальную раскраску. Тогда каждая из двух нижних строк покрашена одним цветом. Переходя к следующим строкам, легко понять, что все они являются одноцветными. Поэтому либо количество клеток каждого цвета одинаковое (и тогда количество строк кратно трем), либо найдутся такие два цвета, что количество клеток одного из них как минимум на n больше, чем количество клеток другого. В действительности же количества клеток разных цветов отличаются не более чем на 1. Как устроены примеры для n, указанные в ответе, легко понять из доказательства оценки. 5. Можно. Так как $16 = 2^{4}$, то монеты можно закодировать последовательностями из нулей и единиц длины 4. При первых четырех взвешиваниях будем

РЕШЕНИЯ

класть на левую чашу весов все монеты, у которых на соответствующих местах стоит 0, а на правую чашу – все монеты, у которых на этих местах стоит 1. Если в результате каждого такого взвешивания весы останутся в равновесии, то у фальшивых монет на всех четырех местах стоят разные цифры. Разобьем монеты на 8 пар так, чтобы в каждой паре коды монет отличались по всем разрядам. Тогда в какой-то одной паре обе монеты фальшивые. Каждую пару можно считать новой монетой, тогда задача сводится к известной: двумя взвешиваниями определить более легкую фальшивую монету из не более чем девяти монет. Если же в каком-то из первых четырех взвешиваний одна из чаш перевесит, то мы узнаем соответствующую цифру у обеих фальшивых монет. Тем самым, один или несколько разрядов фальшивых монет станут известны. Разобьем подозрительные монеты (их уже будет меньше 8) на пары так, чтобы в каждой паре неизвестные разряды были разными. Далее действуем аналогично. 6. При всех нечетных N, а также при N = 2, 4, 10 победит Петя, а в остальных случаях победит Вася. Будем нумеровать клетки числами от 1 до N слева направо. Очевидно, что при N £ 5 победит Петя. Рассмотрим N = 6. Тогда все клетки можно разбить на пары: (1; 4), (2; 5) и (3; 6). При любом ходе Пети Вася может поставить фишку на второе число из пары. Тем самым у Васи всегда будет ход, и он не проиграет. Аналогичная выигрышная стратегия для Васи работает и для N = 8, если рассматривать пары (1; 5), (2; 6), (3; 7) и (4; 8). Для четных $N \ge 12$ аналогичная стратегия также работает, так как полоску можно разбить на группы по 6 и 8 клеток и провести рассуждение по индукции. Переход от N к N + 2: если есть группа из шести клеток, то она заменяется на группу из восьми клеток, а если ее нет, то две группы по восемь клеток заменяются на три группы по шесть клеток. При N = 7, N = 9 и при нечетных N > 12 побеждает Петя, так как, поставив первым ходом фишку на последнюю клетку, он обеспечивает передачу хода и использует стратегию Васи, описанную выше. При N = 10 побеждает Петя, ставя фишку на 3. У Васи есть две возможности для ответного хода, но после следующего хода Пети ходы Васи определяются однозначно, т.е. возникают две цепочки ходов: П3 – В7 – П10 – В6 – П9 – В5 – П2 и

57

ОТВЕТЫ,

УКАЗАНИЯ,

Рис. 6

да не могла набрать больше шести очков. Действительно, если она набрала хотя бы 7 очков, а остальные пять – хотя бы по 8, то 7 + 5 ◊ 8 = = 47 > 45. Заметим, что следующие операции сохраняют количество набранных командой очков, но улучшают разность выигранных и проигранных партий: 1) замена двух поражений со счетом 2: 3 на победу 3: 2 и поражение 1: 3; 2) замена победы 3 :2 и поражения 2: 3 на победу 3: 0 и поражение 1: 3; 3) замена трех побед со счетом 3: 2 на две победы со счетом 3: 0 и поражение 1: 3. При шести набранных очках, применяя, пока возможно, эти операции, в итоге получим две победы со счетом 3: 0 и три поражения со счетом 1: 3. Следовательно, разность партий не может стать положительной. Значит, команд больше шести. 10. Заметим, что у прямоугольного семиугольника есть хотя бы два соседних прямых угла. Следовательно, от него можно отрезать прямоугольник и оставшаяся часть будет опять же прямоугольным семиугольником. Прямоугольник можно разрезать на три прямоугольника, а каждый прямоугольник разрезать на два прямоугольных семиугольника, например, как показано на рисунке 7.

Рис. 7

11. а) 45q. Пусть прямые AK и DC пересекаются в точке Е (рис.8). Из точки L опустим перпендикуляр LG на АЕ. Так как L лежит на биссектрисе угла

РЕШЕНИЯ

Рис. 8 KAD, то LG = LD = KC. Тогда в треугольнике KEL две высоты равны, поэтому этот треугольник равнобедренный с основанием KL. а) Пусть ‘ KAL ‘ DAL D, тогда ‘ KEL $90 q^{2} D$, ‘ EKL 45 q D. Так как угол EKL – внешний для треугольника KAL, то ‘ KLA 45 q. б) Так как треугольник KEL равнобедренный, то KG = LC. Тогда AD + KC = AG + KC = AK + + KG + KC = AK + LC + DL = AK + CD, т.е. в четырехугольник ADCK можно вписать окружность. Ее центр является пересечением биссектрис углов A, C и D четырехугольника ADCK, что равносильно утверждению задачи. 12. Не сможет. Пусть Олег сначала сложит «ежа» из семи кубиков: выберет центральный кубик с координатами (0; 0; 0) и к каждой его грани приклеит по кубику. Далее он будет приклеивать к этому большому многограннику по одному кубику. Если какой-то из отдельных (никуда не приклеенных) кубиков целиком покрашен, то он приклеит его на место вида (0; 0; k). Если отдельных покрашенных кубиков нет, значит, последним ходом Миша красил большой многогранник. В таком случае Олег приклеит к большому многограннику новый кубик на позицию, которая является первой не занятой в следующем списке: (1; 1; 0), (1; –1; 0), (–1; 1; 0), (–1; –1; 0), (1; 0; 1), (–1; 0; 1), (1; 0; –1), (–1; 0; –1), (1; 1; 1), (–1; 1; 1), (1; –1; 1), (–1; –1; 1), (1; 1; –1), (–1; 1; –1), (1; –1; –1), (–1; –1; –1), (0; 1; 1), (0; –1; 1), (0; 1; –1), (0; –1; –1). В этом списке каждый новый кубик, будучи приклеенным после всех предыдущих, будет иметь четное количество открытых граней, которые будут покрашены, так как рано или поздно Миша покрасит большой многогранник. Пока этого не произойдет, Олег будет приклеивать покрашенные кубики на места вида (0; 0; k); позиции такого вида не имеют общих граней с позициями из списка.