XL Турнир городов

ОЛИМПИАДЫ

XL Турнир городов

ЗАДАЧИ ВЕСЕННЕГО ТУРА

Базовый вариант

8–9 классы

$1. (3)^{1}$ В ряд выписаны несколько натуральных чисел с суммой 20. Никакое число и никакая сумма нескольких подряд записанных чисел не равны 3. Могло ли быть выписано больше 10 чисел? А.Шаповалов

2. (4) По кругу лежат 2n + 1 монет орлом вверх. Двигаясь по часовой стрелке, делают 2n + 1 переворотов: переворачивают какуюто монету, одну монету пропускают и переворачивают следующую, две монеты пропускают и переворачивают следующую, три монеты пропускают и переворачивают следующую и т.д., наконец, пропускают 2n монет и переворачивают следующую. Докажите, что теперь ровно одна монета лежит решкой вверх. В.Расторгуев

3. (4) Произведение натуральных чисел m и n делится на их сумму. Докажите, что $m n d n^{2}$. Б.Френкин

4. (5) В прямоугольник ABCD вписывают равнобедренные треугольники с заданным углом D при вершине, противолежащей основанию, так, что эта вершина лежит на отрезке BC, а концы основания – на отрезках AB и CD. Докажите, что середины оснований у всех таких треугольников совпадают. И.Жижилкин

5. (5) Фокусник с помощником показывают фокус. В ряд стоят 12 закрытых пустых шкатулок. Фокусник уходит, а зритель на виду у помощника прячет по монетке в любые две шкатулки по своему выбору. Затем возвращается фокусник. Помощник

1 В скобках после номера задачи указано число баллов, присуждавшихся за ее полное решение. Итог подводился по трем задачам, по которым достигнуты наилучшие результаты (баллы за пункты одной задачи суммируются).

открывает одну шкатулку, в которой нет монетки. Далее фокусник указывает на 4 шкатулки, и их одновременно открывают. Цель фокусника – открыть обе шкатулки с монетками. Предложите способ, как договориться фокуснику с помощником, чтобы этот фокус всегда удавался. К.Кноп

10–11 классы

1. (4) Расстояния от некоторой точки внутри правильного шестиугольника до трех его последовательных вершин равны 1, 1 и 2 соответственно. Чему равна сторона этого шестиугольника? М.Евдокимов

2. (4) Натуральные числа a и b таковы, что $a^{n} 1 b^{n} 1$ делится на $a^{n} b^{n}$ для бесконечного множества различных натуральных n. Обязательно ли тогда a = b? Б.Френкин

3. (4) Докажите, что любой треугольник можно разрезать на 2019 четырехугольников, каждый из которых одновременно вписанный и описанный. Н.Седракян

4. (5) См. задачу 5 для 8–9 классов, только теперь в ряд стоят 13 закрытых пустых шкатулок. 5. (5) В ряд выписаны несколько натуральных чисел с суммой 2019. Никакое число и никакая сумма нескольких подряд записанных чисел не равны 40. Какое наибольшее количество чисел могло быть выписано? А.Шаповалов

Сложный вариант

8–9 классы

1. (5) Король вызвал двух мудрецов и объявил им задание: первый задумывает 7 различных натуральных чисел с суммой 100, тайно сообщает их королю, а второму мудрецу называет лишь четвертое по величине из этих чисел, после чего второй должен отгадать задуманные числа. У мудрецов нет возможности сговориться. Могут ли муд-

46

КВ А НT 2019/№5

рецы гарантированно справиться с заданием? М.Евдокимов

2. (7) См. задачу М2558 «Задачника «Кванта».

3. (7) См. задачу М2559а «Задачника «Кванта».

4. (8) Каждый отрезок с концами в вершинах правильного 100-угольника покрасили – в красный цвет, если между его концами четное число вершин, и в синий в противном случае (в частности, все стороны 100-угольника красные). В вершинах расставили числа, сумма квадратов которых равна 1, а на отрезках – произведения чисел в концах. Затем из суммы чисел на красных отрезках вычли сумму чисел на синих. Какое наибольшее число могло получиться? И.Богданов

5. (9) В клетках квадратной таблицы $n u n, где^{n}$! 1, требуется расставить различные целые числа от $1 до^{n} 2$ так, чтобы каждые два последовательных числа оказались в соседних по стороне клетках, а каждые два числа, дающие одинаковые остатки при делении на n, оказались в разных строках и в разных столбцах. При каких n это возможно? А.Грибалко

6. (9) Внутри равнобедренного треугольника ABC отмечена точка K так, что CK = = AB = BC и угол KAC равен 30q. Найдите угол AKB. Е.Бакаев

7. (12) Есть 100 кучек по 400 камней в каждой. За ход Петя выбирает две кучки, удаляет из них по одному камню и получает за это столько очков, каков теперь модуль разности числа камней в этих двух кучках. Петя должен удалить все камни. Какое наибольшее суммарное количество очков он может при этом получить? М.Дидин

Докажите, что существует такая цифра, что если ее впечатать в отмеченный промежуток любое число раз, то получится число, делящееся на 7. А.Галочкин

2. (6) См. задачу М2558 «Задачника «Кванта».

3. (7) См. задачу М2559б «Задачника «Кванта».

4. (8) См. задачу 5 сложного варианта для 8–9 классов.

5. Ортогональной проекцией тетраэдра на плоскость одной из его граней является трапеция площади 1. а) (4) Может ли ортогональной проекцией этого тетраэдра на плоскость другой его грани быть квадрат площади 1? б) (4) А квадрат площади 1 2019? М.Евдокимов

6. (8) Петя и Вася играют в игру. Для каждых пяти различных переменных из набора $x_{1}$, … $, x_{10}$ имеется единственная карточка, на которой записано их произведение. Петя и Вася по очереди берут по карточке, начинает Петя. По правилам игры, когда все карточки разобраны, Вася присваивает переменным значения как хочет, но так, что $0 d x_{1} d$ … $d x_{10}$. Может ли Вася гарантированно добиться того, чтобы сумма произведений на его карточках была больше, чем у Пети? И.Богданов

7. (12) См. задачу М2561 «Задачника «Кванта».

УСТНЫЙ ТУР ДЛЯ 11 КЛАССА

10–11 классы

1. В таблице n u n стоят все целые числа от $1 до^{n} 2$, по одному в клетке. В каждой строке числа возрастают слева направо, в каждом столбце – снизу вверх. Докажите, что наименьшая возможная сумма чисел на главной диагонали, идущей сверху слева вниз направо, равна $1^{2} 2^{2}$ … $n^{2}$. Б.Френкин

2. (5) На экране компьютера напечатано некоторое натуральное число, делящееся на 7, и отмечен курсором промежуток между какими-то двумя его соседними цифрами.

3. Луноход ездит по поверхности планеты, имеющей форму шара с длиной экватора 400 км. Планета считается полностью исследованной, если луноход побывал на