XII Международная олимпиада Romanian Master of Mathematics

36

КВАН T 2020/№6

которых расстояние достигает максимального значения. При достаточно больших h точка B не будет наиболее удаленной от A. Действительно, для высоких цилиндров кратчайшее расстояние от A до A c равно h, а до противо- положной точки B – $h^{2} S^{2}$. Разность этих величин

$h^{2} S^{2} h$

$S^{2}$

$h^{2} S^{2} h$

$S^{2} 2 h$ при росте h стремится к нулю. Таким образом, при достаточно больших h расстояния от A до всех точек окружности верхнего основания примерно равны. Поэтому наиболее удаленная от A точка должна лежать достаточно близко к $центру^{O}$ верхнего

основания. Итак, до некоторого значения h наиболее удаленная от A точка совпадает с B, а затем она начинает двигаться в сторону $точки^{O.}$ Если наиболее удаленная точка единственная, то она лежит на отрезке BO. Но, возможно, существуют две такие точки, симметричные относительно этого отрезка. Автору не удалось найти точную зависимость положения наиболее удаленной точки от h. Возможно, это получится у читателей. В заключение рекомендуем читателям ознакомиться со статьей М.Н.Вялого «Кратчайшие пути по поверхности параллелепипеда» в «Математическом просвещении» (№9 за 2005 г). В ней задачи, аналогичные рассмотренным, решаются для поверхности прямоугольного параллелепипеда.

ОЛИМ П ИАД Ы

XII Международная олимпиада Romanian Master of Mathematics

В конце февраля в столице Румынии Бухаресте вот уже в двенадцатый раз прошла олимпиада Romanian Master of Mathematics (RMM). За годы проведения олимпиада Romanian Master зарекомендовала себя как одно из сложных математических соревнований для школьников во всем мире. Так и было задумано организаторами из математического общества Румынии. По их замыслу, RMM должна была стать аналогом главного математического соревнования, Международной математической олимпиады (IMO), для более узкого круга участников: на RMM ежегодно приглашаются команды около 20 стран, занимающих лидирующие позиции на IMO.

Команду России на RMM представляли:

Данила Дёмин (Сочи, 10 кл.), Иван Гайдай-Турлов (Москва, 11 кл.), Максим Туревский (Санкт-Петербург, 9 кл.), Данил Сибгатуллин (Казань, 10 кл.), Константин Мясников (Челябинск,11 кл.).

Слева направо: К.Мясников, М.Туревский. И.Гайдай-Турлов, Д.Сибгатуллин, Д.Дёмин

Наши ребята выступили очень успешно: среди 107 участников олимпиады десять лучших получили золотые медали, и все наши школьники попали в эту «золотую десятку». В командном зачете Россия заняла 1 место и завоевала переходящий главный приз – серебряную тарелку. За все двенадцать про-

40

К В АН T 2020/№6

конца реостата должен находиться его движок (рис.5), чтобы сопротивление между точками A и B было равно $R_{0} = 3$ Ом? Рис. 5 Ответ приведите в сантиметрах. 4. Мальчик, находящийся в точке M (рис.6), хочет пустить солнечный зайчик в

щенным водяным паром, справедливо уравнение pV = const, где p – давление пара, V – его объем. 3. При включении приборов по схеме, изображенной на рисунке 7,а, миллиамперметр показывает ток $I_{1} = 12$ мА, а вольтметр – напряжение $U_{1} = 9,6$ В. При включении тех же приборов по схеме на рисунке 7,б

Рис. 7

Рис. 6

окно девочки, т.е. в точку Д. Под каким углом E к горизонту он должен расположить плоское зеркальце, если расстояние МС между мальчиком и стеной дома равно высоте СД, на которой расположено окно девочки? Солнечные лучи падают под углом D 21 q к горизонту. Считайте, что мальчик располагает зеркальце у поверхности земли. Ответ приведите в градусах.

9 класс

1. Поезд начинает двигаться с постоянным ускорением и проходит начальный отрезок пути разгона, составляющий 1 9 часть от полного пути разгона, со средней скоростью $v_{cp} 10$ км ч. Какова скорость v поезда в конце пути разгона? Ответ приведите в км ч и округлите до целых. 2. Трубка с поперечным сечением $S 3,5 см^{2}$, заполненная водяным паром под давлением $p_{0} = 2$ кПа, запаяна с двух концов и расположена горизонтально. При этом находящийся в трубке поршень делит трубку на две равные части. Трубку ставят вертикально, в результате чего поршень смещается и объем под ним уменьшается в четыре раза. Найдите массу поршня m, если давление насыщенного водяного пара равно $2p_{0}$. Трением и толщиной поршня можно пренебречь. Температуру пара считайте постоянной. Ускорение свободного падения примите равным g 10 м $с^{2}$. Ответ приведите в килограммах. Указание. Для процессов, проводимых при постоянной температуре над ненасы- миллиамперметр показывает ток $I_{2} = 10$ мА, а вольтметр – напряжение $U_{2} = 12$ В. Определите сопротивление резистора R, считая напряжение между точками A и B неизменным. Ответ приведите в килоомах. 4. В ясный солнечный день рыба плывет в озере глубиной H = 1,5 м. Тень от рыбы на дне озера находится при этом на расстоянии l = 0,7 м от нее. На какой глубине h плывет рыба, если высота солнца над горизонтом составляет D 30 q? Показатель преломления воды n = 1,33. Ответ приведите с точностью до сантиметра.

10–11 классы

1. Задача. Брусок массой m скользит с постоянной скоростью по гладкому столу и совершает упругое соударение с бруском массой M, который прикреплен достаточно длинной пружиной к неподвижной стенке (рис.8). После удара брусок массой m движется в обратном направлении, а брусок массой M начинает совершать гармонические колебания. Известно, что через время, равное 7 12 периода колебаний, брусок массой M догнал брусок массой m. Найдите отношение n M m масс этих брусков.

Рис. 8