Кратчайшие пути и гипотеза Пуанкаре

Квант 2021, №1 с. 13, 14, 16, 20, 21 Тег Q1BZ

В.ПРОТАСОВ

ОСТРОЕННЫЙ НАМИ «ДЕТcкий» пример четвертой геодезической на поверхности эллипсоида (рис. 8) опровергает крупнейшее заблуждение, связанное с гипотезой Пуанкаре. На эллипсоиде с разными длинами осей может быть больше геодезических, а значит, и саму «гипотезу о трех геодезических» следовало, видимо, формулировать по-другому. Этого не заметили ни Пуанкаре, ни Гильберт, ни Урысон. Да и не только они. Вот, например, что писал Андрей Николаевич Колмогоров (1903–1987), крупнейший российский математик:

Окончание. Начало – в предыдущем номере журнала.

«Гипотеза Пуанкаре состоит в том, что по крайней мере тремя различными способами растянутое резиновое колечко можно надеть на наш камень так, что оно, стремясь сократить свою длину, не будет соскальзывать (т.е. так, что его длину нельзя уменьшить при маленьком сдвиге в сторону на небольшом участке). При этом рассматриваются только расположения резинового колечка без самопересечений (например, не имеющие вида восьмерки). На поверхности шара таких расположений колечка бесконечно много (по любому «большому кругу»), на трехосном эллипсоиде ровно три (по трем

Иллюстрация М.Кашина

КРАТЧАЙШИЕ

ПУТИ

Рис. 8. Неплоские геодезические на эллипсоиде – красная и синяя линии

главным сечениям) (выделено мной – В.П.)». И снова «ровно три»! А ведь подсказать идею примера было бы по силу младшему школьнику. Получается, что даже на школьном уровне вполне можно сделать важное для современной науки открытие. Конечно, этот случай – исключение. Тем не менее, для исследования геодезических иногда хватает элементарной геометрии. Например, для геодезических на поверхности многогранников.

Геодезические на многогранниках «А что такого нового можно сказать о многогранниках? – спросите вы. – Это ведь тоже выпуклые поверхности, значит, все, сказанное нами ранее, должно быть верно и для них». Не совсем. Поверхности многогранников негладкие – на них есть вершины и ребра. Эта «мелочь» в данном случае приводит к драматическим последствиям. На некоторых многогранниках геодезических нет вовсе (ни одной!). Так что ни метод Люстерника–Шнирельмана, ни теорема Фрэнкса–Бангерта на многогранники не распространяются. Но зато в данном случае геодезические имеют очень простое, «школьное» описание. Выходит, можно будет строить их и получать про них разные результаты, не применяя высшую математику. Попробуем? Мы увидим, что на некоторых многогранниках геодезических бесконечно много. Более того, на правильном тетраэдре существуют сколь угодно длинные геодезические. Тем самым, на тетраэдр с ребром 1 см можно намотать (без самопересечений!) замкнутую геодезическую длиной, например, 100 км. Но не будем забегать вперед.

ГИПОТЕЗА

ПУАНКАРЕ

Все результаты о существовании замкнутых геодезических на гладких поверхностях – теоретические, их доказательства – не конструктивны: рецептов построения не дают. Можно находить периодические решения уравнений Эйлера–Лагранжа, но это сложно. А главная проблема – эта задача неустойчива, т.е. малое изменение данных влечет сильное изменение решения. Это может вызвать значительные неприятности при численном нахождении решения на компьютере. А что если приблизить гладкую поверхность многогранником (с очень большим числом граней) и построить геодезическую на нем? Хорошая $идея!^{2}$ Значит, надо научиться строить замкнутые геодезические на многогранниках. Как определить геодезические на поверхности многогранника? Во-первых, на каждой грани геодезическая должна быть отрезком прямой, поскольку на плоскости есть только одна локально-кратчайшая линия – прямая. Поэтому любая геодезическая на многограннике – это ломаная с вершинами на ребрах. Чтобы не путать вершины многогранника и вершины ломаной, договоримся последние называть узлами. Два соседних звена геодезической ломаной должны лежать на разных гранях. Если это не так и, скажем, ребра AB и BC лежат на одной грани, то возьмем на этих звеньях точки $A_{1}$ и $C_{1}$ соответственно, очень близко к точке B (рис.9,а). Из определения геодезической, ломаная $A_{1} BC_{1}$ должна быть кратчайшим путем, связывающим точки $A_{1}$ и $C_{1}$ , что, естественно, неправда: кратчайшим путем является отрезок $A_{1} C_{1}$ . Итак, звенья AB и BC лежат в разных гранях. Развернем две эти грани на плоскость. Вновь воспользуемся локально-кратчайшим свойством в точке B и получим, что отрезки AB и BC после развертки должны оказаться на одной прямой. Иначе путь $A_{1} BC_{1}$ опять можно заменить на более короткий –

2 По-видимому, ее впервые высказал В.М.Ти- хомиров, известный математик и многолетний автор «Кванта». Он и сформулировал задачу классификации замкнутых геодезических на многограннике.

КВАНТ 2021/№1

Рис. 9. Оптическое свойство геодезической

на отрезок $A_{1} C_{1}$ (рис.9,б), а затем положить развертку обратно на поверхность многогранника. Таким образом, на развертке соседние звенья геодезической оказываются на одной прямой, или, что то же самое, два соседних звена геодезической образуют равные углы с ребром, которое они пересекают. Угол, под которым геодезическая входит в ребро, равен углу, под которым она выходит. Это свойство естественно назвать оптическим – «угол падения равен углу отражения». Наконец, геодезическая не может проходить через вершины многогранника. А это почему? Все по той же причине. Предположим, что узел B оказался в вершине. Сумма плоских углов при вершине выпуклого многогранника меньше 360q. Ломаная ABC разрезает плоские углы при вершине B на две части. Хотя бы в одной из них сумма углов будет меньше 180q. Сделаем развертку этих углов на плоскость. После развертки угол ABC будет меньше 180q. Тогда вновь получаем, что путь $A_{1} BC_{1}$ не является кратчайшим – его можно заменить на отрезок $A_{1} C_{1}$ , а затем положить развертку обратно на поверхность многогранника (рис.10). Итак, геодезическая является ломаной, не проходящей через вершины многогранника, в каждом узле

Рис. 10. Геодезическая не проходит через вершину

которой выполняется оптическое свойство – углы, образуемые соседними звеньями с ребром, равны. Понятно, что этого и достаточно: любая ломаная с такими свойствами является локально-кратчайшей линией. Действительно, в каждой внутренней точке звена она является локальнократчайшей, потому что является прямой, а в узле она является локально-кратчайшей из-за оптического свойства. Мы доказали важное утверждение, хотя и простое (на теорему не тянет), поэтому назовем его предложением: Предложение 1. Замкнутая линия на поверхности многогранника является геодезической тогда и только тогда, когда это ломаная с узлами на ребрах, не проходящая через вершины многогранника, и в каждом узле выполнено оптическое свойство. Для незамкнутой геодезической это тоже выполнено, с одной лишь оговоркой, что она может начинаться или заканчиваться в вершине. Вернемся к замкнутым геодезическим. Если развернуть две соседние грани на плоскость, то проходящие по ним звенья геодезической окажутся на одной прямой. Возьмем произвольный узел геодезической A и начнем последовательно разворачивать грани при обходе геодезической, пока не попадем в ту же точку A (вторую точку на развертке обозначим A c; рис.11). Вся геоде-

Рис. 11. Геодезическая распрямляется на развертке

зическая превратилась в отрезок AA c. При этом углы, отмеченные на рисунке, равные в силу оптического свойства, стали соответствующими углами при секущей AA c. Значит, отрезки MN и M c N c, изображающие одно и то же ребро, параллельны. Мы доказали еще одно свойство, которое можно считать еще одним (уже третьим!) определением геодезической на многограннике: Предложение 2. Замкнутая линия на поверхности многогранника является геодезической тогда и только тогда, когда

КВАНТ 2021/№1

часть попало по две вершины. Так как у пирамиды четыре треугольные грани, то сумма всех ее плоских углов равна 360 q 2. Поэтому сумма углов в каждой части будет равна 360q. В одну из частей попадут две вершины при основании пирамиды. Сумма углов в каждой равна 2 D 60 q, где D – угол при основании боковой грани. Значит, 2 D 60 q 180 q, поэтому D 60 q, т.е. боковая грань – правильный треугольник, а это запрещено. Построение геодезических на многогранниках. Для этого у нас есть два способа. Первый способ: согласно предложению 2, нужно найти подходящую развертку, в которой было бы два параллельных (и одинаково ориентированных!) отрезка, изображающих одно ребро. Затем надо взять по точке на каждом из них – A и A c. Они должны изображать одну и ту же точку на ребре, т.е., отрезки NA и N c A c должны быть равны. Теперь проводим отрезок AA c. Если он не выходит за пределы развертки, то он изображает геодезическую. Второй способ: можно обойтись и без развертки, пользуясь предложением 1. Прикинуть, какие ребра может пересекать геодезическая (например, из физических соображений: представив, что мы натягиваем резиновое кольцо), а затем найти положение узлов, пользуясь оптическим свойством. А есть ли геодезические? В свете теоремы 3 мы теперь не уверены, а есть ли вообще замкнутые геодезические у разных многогранников? Скажем, у куба-то они есть? Да. И у куба, и у правильного октаэдра, и у других популярных многогранников (см. упражнения 9–11). При этом, как мы знаем, каждая геодезическая порождает бесконечно много изоморфных. Для простоты мы будем отождествлять все изоморфные геодезические и будем считать только различные, т.е. неизоморфные. Куб. Одна геодезическая очевидна – это квадратный пояс (рис.12,а). Через вершины не проходит, оптическое свойство есть (пересекает все ребра под прямым углом). Так что это – геодезическая, и развертку рисовать не обязательно. Если немного подумать, то найдется и вторая. Это правильный шестиугольник,

Рис. 12. Две геодезические на кубе

проходящий через середины ребер (рис.12,б). Оптическое свойство также выполнено, все углы равны 45q. Эта геодезическая (как и предыдущая) – плоская, она целиком лежит в одной плоскости. Если сдвинуть эту плоскость параллельно, получится изоморфная ей геодезическая (рис.12,в). Это тоже шестиугольник, но уже не правильный. Он имеет тот же периметр. Мы договорились отождествлять изоморфные геодезические, поэтому данный случай не дает ничего нового. А вот третью геодезическую на кубе найти непросто! Вот она, на рисунке 13. Она

Рис. 13. Третья геодезическая на кубе

Рис. 14. Развертка третьей геодезической на кубе

шестиугольная и неплоская! Пересекает все ребра под углами D и 90q D, где D – угол, тангенс которого равен 2. Для удобства мы указали на рисунке длины отрезков, считая сторону куба равной 1. Две вершины про-

КВАНТ 2021/№1

«зацепляются» за вершины тетраэдра. Узел L геодезической называется узлом зацепления, если он и два соседних с ним узла лежат на трех ребрах, выходящих из одной вершины D тетраэдра, и являются ближайшими к D узлами на этих ребрах. При этом D называется вершиной зацепления для узла L. Так, геодезическая на рисунке 18 зацепляется за каждую верши-

Рис. 18. Геодезическая типа (2;1) зацепляется за вершину D узлом L

ну тетраэдра; для вершин B и C узлы зацепления это $K_{3}$ и $K_{1}$ соответственно. Теорема 5. Любая геодезическая $типа^{n;} m$ , где $n t^{m} t 1$ , имеет в точности 4 узла зацепления. Они составляют две пары противоположных узлов геодезической, каждая пара разбивает ее на две части с одинаковым числом узлов. Каждая вершина тетраэдра является вершиной зацепления для одного из узлов. Пусть $a_{1}$ и $b_{1}$ – звенья геодезической, выходящие из узла зацепления, $a_{2}$ и $b_{2}$ – следующие за ними и т.д. Тогда звенья $a_{i}$ и $b_{i}$ лежат на одной грани и между ними нет других точек геодезической. Доказательство. Представим геодезическую g как прямую на развертке и покажем, что g зацепляется за вершину K из доказательства теоремы 4, с другими вершинами рассуждение такое же. Проведем прямую g c, симметричную g относительно точки K. Ясно, что полоса между g и g c не содержит других узлов, кроме тех, которые лежат на $g_{1}$ . (Напомним, что $g_{1}$ – это ближайшая к g параллельная прямая на развертке, которая содержит узел.)Поэтому прямые g и g c пересекают все 6 отрезков решетки, выходящих из K, и

каждая из шести точек пересечения представляет узел на геодезической, ближайший к вершине K на соответствующем ребре тетраэдра. Следовательно, геодезическая зацепляется за K. Более того, прямые g и g c идут параллельно по треугольникам решетки (граням), пока не пересекут 6 отрезков решетки, выходящих из K. Оказывается, вот таким способом можно получить любую из бесконечного числа геодезических на тетраэдре. Мы «натягиваем» геодезическую на трехгранный угол при вершине D, затем наматываем ее на поверхность тетраэдра, делая 2 n 2 m 1 перегибов через ребра, и зацепляем ее за вершину C. Любая геодезическая получается таким образом, при этом каждая вершина тетраэдра может быть выбрана в качестве начальной. То же, но более строго: геодезическая зацепляется за вершину D звеньями $a_{1}$ и $b_{1}$ , затем звенья $a_{2}, b_{2}$ идут по одной грани, встречают ребро этой грани в соседних узлах, далее $a_{3}, b_{3}$ идут по следующей грани и т.д., пока, наконец, геодезическая не зацепится за вершину C сторонами $a_{2} n_{2} m, b_{2} n_{2} m$ . Геодезическая ограничивает полосу на поверхности тетраэдра парами сторон $a_{i}, b_{i}$ .

«Понять вещи, которые не в силах вообразить» Итак, на правильном тетраэдре есть бесконечно много типов геодезических, каждый тип соответствует паре взаимно простых целых чисел. Оказывается, это еще не все. Каждую геодезическую можно «размножить» так, чтобы она осталась несамопересекающейся. Пучок геодезических. Геодезическая на правильном тетраэдре определяется прямой линией на развертке, параллельной произвольному целому вектору. А давайте проведем не одну, а несколько таких параллельных прямых. Все они будут геодезическими. Но удивительно другое: они все не будут пересекаться друг с другом. Доказать это совсем просто. Если две такие геодезические $g_{1}$ и $g_{2}$ пересеклись в какой-то точке P, то рассмотрим точки $P_{1}$

КРАТЧАЙШИЕ

ПУТИ

и $P_{2}$ , изображающие ее на развертке. Ясно, что $P_{1} z P_{2}$ , поскольку прямые $g_{1}$ и $g_{2}$ параллельны. Точки $P_{1}$ и $P_{2}$ на развертке изображают одну точку на поверхности тетраэдра, поэтому $P_{1}$ должна переводиться в $P_{2}$ либо целым сдвигом, либо симметрией относительно узла. При этом $g_{1}$ перейдет в какую-то прямую $g_{1} c$ . Так как и симметрия и перенос сохраняют параллельность, прямая $g_{1} c$ параллельна $g_{2}$ , а значит, совпадает с ней, так как пересекается с ней в точке $P_{2}$ . Получается, что геодезические $g_{1}$ и $g_{2}$ совпадают. Мало того, что на тетраэдр с ребром 1 см можно намотать без самопересечений геодезическую длиной более 1 км, так этих геодезических можно намотать сколь угодно много (одновременно!), и все они не будут пересекать друг друга. Кстати, согласно теореме 4, все они будут изоморфны и будут иметь одинаковую длину. Доказали мы это легко – что может быть проще пучка параллельных прямых на плоскости! Но представить это на поверхности тетраэдра уже не представляется возможным! Академик Л.Д.Ландау говорил, что «наука позволяет человеку понять вещи, которые он уже не в силах вообразить». На рисунке 19 мы представили пучок из трех геодезических типа 1; 1.

Рис. 19. Пучок из трех геодезических типа (1;1)

Только ли на правильном тетраэдре есть бесконечно много геодезических? Нет, не только. Таким свойством обладает любой равногранный тетраэдр. Тетраэдр называется равногранным, если все его грани равны. Получить такой тетраэдр просто: надо взять произвольный остроугольный треугольник и сложить его вдоль средних линий (рис.20). Есть много свойств

ГИПОТЕЗА

ПУАНКАРЕ

Рис. 20. Равногранный тетраэдр

и признаков равногранного тетраэдра. Часть из них мы собрали в упражнении 14. Во всех наших рассуждениях о геодезических правильный тетраэдр можно заменить на равногранный – ничего не изменится. Только решетка теперь будет состоять не из правильных треугольников, а из одинаковых треугольников, равных грани. Получается, что равногранный тетраэдр тоже имеет бесконечно много геодезических, занумерованных парами взаимно простых чисел n; m. Строятся они так же – на бесконечной развертке. Есть ли другие поверхности с таким разнообразием геодезических? У равногранного тетраэдра есть сколь угодно длинные геодезические. А у других тетраэдров? Оказывается, нет. Среди всех тетраэдров таким свойством обладает только равногранный. У любого другого тетраэдра может быть лишь конечное число неизоморфных геодезических – причем их может и не быть вовсе, как у правильной пирамиды. Может ли быть бесконечно много неизоморфных геодезических у другого многогранника, не тетраэдра? Как мы видели, ни куб, ни правильный октаэдр на эту роль не годятся. В 2008 году было доказано, что не годится никакой другой многогранник [9]. Среди всех многогранников только равногранный тетраэдр имеет сколь угодно длинные геодезические. В той же статье была выдвинута гипотеза о том, что равногранный тетраэдр уникален не только среди многогранников, но и среди всех выпуклых поверхностей. Десять лет гипотеза оставалась открытой, лишь совсем недавно ее доказали А.В.Акопян и А.М.Петрунин [1]: Если на выпуклой поверхности есть сколь угодно длинные замкнутые геодезические, то это поверхность равногранного тетраэдра.