Падение магнита в алюминиевой трубке

ЛАБ ОР АТ ОР ИЯ «КВА Н ТА»

Падение магнита в алюминиевой трубке

А.КНЯЗЕВ, А.КНЯЗЕВ (мл.)

Эффект торможения падающего магнитного столбика хорошо понятен школьникам и описывается в ряде простых задач. Однако никогда не оценивается численно на практических примерах. В данной статье мы показываем, как можно производить численные оценки, когда известных величин немного и добывать необходимые данные приходится $самостоятельно.^{1}$ Для удобства расчетов будем использовать пример с падением маг-

ДЕМОНСТРАЦИЯ ПАДЕНИЯ МАГнитного столбика свозь толстостенную медную или алюминиевую трубку очень проста, но всегда с восторгом и удивлением воспринимается зрителями. Вначале через такую вертикально расположенную трубку длиной около 1 м и внутренним диаметром 18 мм бросается без начальной скорости кусочек мела или металлический цилиндр. Очевидно, их движение занимает доли секунды. А после этого бросаем в ту же трубку магнитный столбик с длиной и диаметром 15 мм, т.е. примерно равными диаметру трубки. При толщине стенок трубы около 3–4 мм магнитик буквально зависает внутри трубы – движется (без перекоса!) очень медленно, слышен лишь легкий шорох его плавного движения. В нашей демонстрации время падения составляло более шести секунд! В другой демонстрации показывалось замедленное скольжение плоского неодимового магнита по наклонному желобу толстостенного дюралюминиевого уголка. Физика этого явления довольно ясная, и можно привести наглядные примеры, где этот эффект применяется. Например, в школьных демонстрационных электроизмерительных приборах он используется в конструкции успокоителя стрелки. На конце, противоположном стрелке, укреплена медная пластинка (или плоская медная катушка), которая качается вблизи постоянного магнита. При движении пластинки в ней возникает динамическое электрическое поле и вследствие этого появляются электрические токи (токи Фуко). Взаимодействие этих токов с магнитным полем и тормозит пластинку. Другой, даже более близкий нынешним учащимся пример: магнитный тормоз в винчестере компьютера.

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20210106

Рис. 1

нита в круглой трубке (рис.1). Движущийся магнит наводит в теле трубки кольцевые индукционные токи. Ток элементарного кольца взаимодействует с магнитом и тормозит его. При этом в момент достижения постоянной скорости сила тяжести магнита уравновешивается магнитной силой. Сложность численной оценки результатов эксперимента состоит в том, как описать магнитное поле столбика постоянного магнита и как оценить величину наводимых токов. Ясно, что при инженерном конструировании необходимо использовать достаточно сложные формулы, в которых не обойтись без разбиения пространства, занятого проводником и трубкой, на бесконечно малые элементы и дальнейшего интегрирования по ним. Этому учат в университетах и технических вузах. Однако в сложных случаях физики обычно, прежде чем делать расчеты,

1 Работа поставлена в Лицее №15 города

Саратова учащейся 11 класса У.Маховой. Экспериментальное определение параметров магнита проведено в Физико-техническом лицее №1 города Саратова.

56

К В А НT 2021/№1

Рис. 6

Рис. 4

концах горизонтальной штанги длиной d 24 см, симметрично закрепленной на вертикальной оси (рис.4). Ось вращается с угловой скоростью $Z_{1} 7 c^{1}$, длина каждого из стержней L 37 см. При этом сила натяжения каждого стержня равна $T_{1} 49$ Н. Какой станет сила натяжения, если уменьшить скорость вращения до величин $Z_{2} 6 c^{1}$ или $Z_{3} 5 c^{1}$? Сопротивлением воздуха пренебречь, ускорение свободного падения в задаче принять равным g 9,8 м $с^{2}. 2$ (молекулярная физика). Рабочее тело тепловой машины – постоянное количество гелия. На диаграмме в координатах «внутренняя энергия – количество теплоты, с которым гелий обменялся с окружающими телами» показан один цикл рабочего тела (рис.5). Здесь $E_{0}$ – некоторая энергия, а время находился в положении 1. Какое количество теплоты выделится в резисторе после перевода ключа в положение 2? Известно, что E 12 В, С 10 мкФ, внутренние сопротивления аккумуляторов одинаковы и в n 3 раза меньше сопротивления резистора. Сопротивление проводов, а также индуктивность контура с конденсаторами пренебрежимо малы. 4 (оптика). На основание прозрачной равнобедренной призмы падает нормально узкий пучок параллельных световых лучей (рис.7). Угол при основании призмы D 65 q,

Рис. 7

Рис. 5

$Q_{к} 4 3 ln 4 | 2,15. E_{0} 3$ Найдите КПД цикла. Во сколько раз мак- конечное значение симальное давление в цикле больше минимального? Уравнение адиабаты для одноатомного идеального газа: $pV^{5} 3$ const. 3 (электричество и магнетизм). В схеме, изображенной на рисунке 6, ключ долгое показатель преломления ее материала n 2. Под каким углом к первоначальному направлению выйдут из призмы два наиболее ярких пучка? Учтите, что при нормальном падении изнутри на любую грань призмы наблюдается и прошедший, и отраженный лучи. 5 (оптика). На экране с помощью тонкой линзы получено резкое изображение небольшого предмета с поперечным увеличением $|*_{1} | 2.$ Предмет передвинули на s 3 см, не сдвигая линзу. Для того чтобы вновь получить резкое изображение, пришлось передвинуть экран. При этом поперечное увеличение оказалось равным $|*_{2} |^{5.}$ На какое расстояние sc пришлось передвинуть экран? Публикацию подготовил К.Парфенов

59

ОТВЕТЫ,

УКАЗАНИЯ,

отрезков, лежащих справа

от середины, столько же. 2. а) Нет. Контрпример показан на рисунке 5. б) Да. Спроецируем прямоугольники на оси координат Ox и Oy. На $каж-_{Рис.} 5$ дой из осей каждые два отрезка (проекции прямоугольников) имеют общую точку, и тогда по лемме 3 на каждой из осей все отрезки имеют общую точку. Пусть это точка X на оси Ox и точка Y на оси Oy. Рассмотрим точку A, для которой X и Y являются проекциями на оси. Если стороны прямоугольника параллельны осям и точки X и Y находятся внутри проекций его сторон на оси, то точка A находится внутри прямоугольника. Раз это верно для всех прямоугольников, то точка A находится в их пересечении. 4. n!. Выберем, с какой точкой соединяется точка номер 1 (n вариантов точек справа от середины), затем – с кем соединяется точка с номером 2 (осталось n 1 вариантов), и т.д. Получим, что количество вариантов равно n ˜ n 1 ˜ … ˜ 1 n!.

Задачи

2. Указание. Докажите, что Вася сможет разбить точки на пары красная–синяя и соединить их отрезками так, чтобы все отрезки пересекали середину. Тогда можно будет применить лемму 4. 6. md. Указания к решению даны в статье. Другое решение заключается в том, чтобы заметить, что каждая пара мальчик–девочка посчитана ровно 1 раз. 7. Нет. Изменив знак одного числа в вершине, мы изменяем знаки чисел, стоящих в центрах трех граней. Итак, из 14 слагаемых изменились 4. Число меняется с 1 на 1 или наоборот, т.е. вклад его в сумму меняется на 2. Раз каждое из 4 чисел изменило свой вклад (в ту или иную сторону) на 2, то сумма всех чисел изменится на 0, 4 или 8, т.е. на число, кратное 4. Последовательно изменим знаки всех чисел в вершинах на плюсы. Тогда в центре каждой грани стоит 1, и сумма всех чисел равна 14. Таким образом, при любых изменениях знаков чисел в вершинах сумма всех чисел не будет делиться на 4, в частности, она не может быть равна нулю. 8. Первое решение. Поменяем местами соседних мальчика и девочку. При этом указанные суммы одновременно либо увеличатся на 1, либо уменьшатся на 1. Действуя таким образом, мы можем получить любую расстановку детей. А в каждой расстановке, где мальчики стоят симметрично девочкам относительно центра, равенство указанных сумм очевидно.

РЕШЕНИЯ

Второе решение. Мальчик, стоящий на k-м месте слева, назовет число 20 k, поэтому сумма чисел, названных мальчиками, равна $200 S_{m}$, где $S_{m}$ – сумма их мест. Девочка, стоящая на n-м месте слева, назовет число n 1, поэтому сумма чисел, названных девочками, равна $S_{d} 10$, где $S_{d}$ – сумма мест девочек. Осталось проверить, что $200 S_{m} S_{d} 10$. Но это действительно так, поскольку $S_{m} S_{d} 1 2$ … 20 210. 9. Указание к первому решению. Докажите, что если поменять местами два соседних действия (добавление золотой монеты и убирание серебряной), суммы чисел на листках изменятся одинаковым образом (увеличатся уменьшатся на одно и то же число). Второе решение. Пусть в начале было n серебряных монет, а в конце стало m золотых. Будем изображать ситуацию в каждый момент точкой k; l на координатной плоскости (k – число золотых монет на столе, l – число серебряных). Каждое действие – сдвиг на единицу вправо или вниз – будем изображать соответствующим отрезком. В результате получится ступенчатая ломаная, соединяющая точки ( 0; n ) и ( m; 0 ) (рис.6). При сдвиге вправо на первом листке записывается число, равное площади столбца, расположенного под проведенным отрезком, $при_{Рис.} 6$ сдвиге вниз на втором листке записывается число, равное площади планки, расположенной левее проведенного отрезка. Поэтому в конце сумма чисел на каждом листке будет равна площади, ограниченной проведенной ломаной и осями координат. Об этой и других задачах, в решении которых помогает подобный подход, рассказывается в статье Е.Бакаева «Мальчики, девочки, таблицы, графы…» в «Кванте» №3 за 2015 год. 10. Первое решение. Рассмотрим 4 клетки, стоящие на пересечении двух строк и двух столбцов (рис.7). Нетрудно убедиться (например, перебором случаев), что среди клеток A и D по четности столько же черных, сколько среди клеток B и C. Значит, если две ладьи одновременно перейдут с клеток A и D на клетки B и C, четность количества черных клеток, на которых расположены ладьи, не изменится. Покажем теперь, как такими действиями свести расположение ладей к такому, где все ладьи стоят на главной диагонали. Можно воспринимать производимые нами дей-

Рис. 7