ОЛИМ П ИАД Ы
Избранные задачи XXVI Турнира имени А.П. Савина
1 (6–8 классы). Суду предъявлено 100 одинаковых с виду монет, среди которых есть фальшивые. Суд знает, что все настоящие монеты весят одинаково, фальшивые – тоже одинаково, но легче настоящих. Адвокат знает, какие монеты на самом деле фальшивые. Он отвечает на вопросы суда и доказывает свои ответы, проводя взвешивания на чашечных весах без гирь. Однако адвокат связан обязательством не разглашать ни про какую монету, фальшивая она или настоящая: он не имеет права делать взвешивания, из которых такую информацию можно логически вывести. а) Суду стало известно, что число фальшивых монет равно 22, 66 или 88. Как адвокату доказать, что их 66, не нарушая обязательств? б) Суду стало известно, что число фальшивых монет равно 20 или 80. Как адвокату доказать, что их 20, не нарушая обязательств? А.Шаповалов
2 (5–8 кл.). На каждой грани куба красными чернилами провели одну или обе диагонали. Оказалось, что при этом не образовалось ни одного треугольника с красными сторонами. Какое наибольшее число диагоналей могло быть проведено? М.Евдокимов
3 (6–8 кл.). а) В банке сидят 13 пауков. Известно, что в каждой их паре хотя бы один обидел другого и что каждый паук обидел всех обидчиков своих обидчиков. Докажите, что каждый обидел каждого. б) В банке сидят несколько (более одного) пауков. Известно, что в каждой их паре хотя бы один обидел другого и что каждый паук обидел всех обидчиков своих обидчиков. При каком наименьшем количестве пауков можно утверждать, что каждый обидел каждого? С.Токарев
4 (5–8 кл.). Петя написал в строку 100 раз номер своей квартиры через пробел. Маша должна поставить между каждыми двумя числами знаки арифметических действий, а там, где захочет, – скобки. Она утверждает, еще не зная номера Петиной квартиры, что сможет получить в ответе любое натуральное число от 1 до 2021. Права ли она? Д.Шноль
5 (7–8 кл.). К кабинке канатной дороги, идущей на гору, подошли n 2 гнома массами 1, 2, 1, 2, 3, 4, …, n стоунов. Смотрителя нет, а в автоматическом режиме как вверх, так и вниз кабинка ходит с двумя или с тремя пассажирами, при этом пассажиры сидят на двух скамьях так, чтобы массы на скамьях были одинаковыми. При каких n! 2 они все смогут подняться на гору? А.Шаповалов
6 (8 кл.). На заборе написаны три различных целых числа. Известно, что: x одно из чисел равно полусумме двух других; x квадрат одного из чисел равен произведению двух других; x одно из чисел равно 2021. Найдите два других числа. Н.Наконечный, И.Раскина
7 (7–8 кл.). В прямоугольнике ABCD, отличном от квадрата, на биссектрису угла A опущен перпендикуляр CH. Докажите, что BH больше четверти периметра прямоугольника. А.Пешнин 8 (8 кл.). Решите в натуральных числах уравнение m! n! . А.Грибалко 9 (8 кл.). Лист формата A4 перегнули сначала по линии BE так, что точка C совпала с точкой F на стороне AB, а затем по линии GH так, что точка D совпала с F (см.
49
Э КЗАМ Е НА Ц ИОНН ЫЕ
- Сила трения покоя не зависит от угла D. 3) С ростом угла наклона модуль силы трения покоя уменьшается. 4) Коэффициент трения скольжения меньше 0,4. 5) Когда угол наклона меньше 0,1 рад, брусок скользит по наклонной плоскости. 6. Деревянный шарик плавает в керосине. Как изменятся масса вытесненной жидкости и глубина погружения шарика в жидкость, если он будет плавать в воде? Для каждой величины определите соответствующий характер изменения: 1) увеличится; 2) уменьшится; 3) не изменится. Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться. 7. На рисунке 3 показан график зависимости координаты x тела, движущегося вдоль оси х, от времени t (парабола). Графики А) и Б) на рисунке 4 представляют собой зависимости физических ве- Рис. 3 личин, характеризующих движение этого тела, от времени t. Установите соответствие между графиками и физическими величинами, зависимости которых от времени эти графики могут представлять. К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию из второго столбца и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.
ГРАФИКИ
Рис. 4
ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ 1) проекция перемещения тела на ось х 2) проекция ускорения тела на ось х 3) кинетическая энергия тела 4) модуль скорости тела
МАТ Е РИАЛ Ы
- На рисунке 5 показано изменение состояния идеального газа в количестве 4 моль. Какая температура соответствует состоянию 2? Рис. 5 9. Рабочее тело тепловой машины за цикл получает от нагревателя количество теплоты, равное 100 Дж, и совершает работу 40 Дж. Каков КПД тепловой машины? 10. В закрытом сосуде под поршнем находится влажный воздух при температуре 100 q C. Парциальное давление водяного пара в сосуде равно 60 кПа. Какова (в процентах) относительная влажность воздуха в сосуде? 11. Идеальный газ переводят из состояния 1 в состояние 3 так, как показано на графике зависимости давления газа р от объема V (рис.6). Масса газа в процессе не изменяется. Из приведенного ниже списка выберите два правильных утверждения, характеризующих отраженные на графике процессы. 1) Плотность газа ми- Рис. 6 нимальна в состоянии 1. 2) В ходе процесса 1–2–3 среднеквадратичная скорость теплового движения молекул газа увеличивается в 3 раза. 3) В процессе 2–3 абсолютная температура газа изохорно уменьшилась в 1,5 раза. 4) В процессе 1–2 абсолютная температура газа изобарно увеличилась в 2 раза. 5) Абсолютная температура газа максимальна в состоянии 3. 12. В цилиндре под поршнем находится твердое вещество массой m. Цилиндр поместили в печь. На рисунке 7 схематично
Рис. 7
52
КВАНТ 2021/№9
ления реостата. Погрешности измерения силы тока в цепи и напряжения на источнике равны половине цены деления амперметра и вольтметра. Каково по результатам этих измерений напряжение на источнике? Ответ запишите в виде (_____ r _____) В.
В бланк ответов № 1 перенесите только числа, не разделяя их пробелом или другим знаком.
- Ученик изучает свободные электромагнитные колебания. В его распоряжении имеются пять аналогичных колебательных контуров с различными катушками индуктивности и конденсаторами, характеристики которых указаны в таблице. Какие два колеба-
Рис. 14
тельных контура (запишите в ответ их номера) необходимо взять ученику для того, чтобы на опыте исследовать зависимость периода свободных колебаний силы тока, протекающего в катушке, от электроемкости конденсатора? 24. На рисунке 14 представлена диаграмма Герцшпрунга–Рессела. Выберите все верные утверждения о звездах. 1) «Жизненный цикл» звезды спектрального класса G главной последовательности более длительный, чем звезды спектрального класса B главной последовательности. 2) Средняя плотность сверхгигантов существенно больше средней плотности белых карликов. 3) Для главной последовательности светимость звезд спектрального класса G ниже светимости звезд спектрального класса B. 4) Средняя плотность гигантов существенно меньше средней плотности белых карликов. 5) Чем ниже температура поверхности звезды, тем меньше ее абсолютная звездная величина.