36
КВАНТ 2022/№11-12
Статистически высший класс
К.КОХАСЬ
— Да ты, похоже, растолстел за время отпуска? – спросила Огрыза, заваривая чай. На столе лежала только что открытая коробка конфет, стояли вазочки с вареньем и засахаренными орешками, на блюде лежали пирожные. — Трудно было не растолстеть, – отвечал дятел Спятел. – Я жил в отеле «7 звездочек»! — Какое нелепое название. — Это рейтинг отеля. Семь звездочек означает «статистически высший класс обслуживания». Когда ты заселяешься в отель, тебе говорят: «Мы гарантируем очень высокий класс обслуживания, но, к сожалению, хотя мы всеми силами пытаемся этого не допустить, иногда происходят “нежелательные инциденты”, не зависящие от нас. Их вероятность чрезвычайно мала, но все же положительна». — Что еще за инциденты? — Например, если бы я поехал отдыхать с тараканом Кузькой, то Кузька точно оказался бы «инцидентом». Завидев его, любой метрдотель тут же терял бы человеческий облик и начинал поливать всех дихлофосом. Но бывают «инциденты» и попроще – можно утонуть, подавиться, выпасть в окно… «Поэтому мы предлагаем вам заселиться в наш отель сразу в нескольких экземплярах. Для этого мы вас распараллелим. Это абсолютно безопасно и не больно. Получится 5 дятлов Спятлов, или 10, или 1000 – сколько закажете. Даже если кому-то из них и не повезет, а это чрезвычайно редкий случай, с остальными клонами ничего такого не случится. А мы сгенерируем вам усредненное впечатление от обслуживания, которое полностью загладит редкий неприятный инцидент и фактически сделает его вероятность равной нулю». – «Да как же я помещусь в ваш отель в таком количестве копий?» – «Ничего, ничего, не беспокойтесь, у нас бесконечно много номеров, еще и свободные останутся».
DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20221103
— И ты согласился? — Не сразу. Мне и одного себя бывает многовато, а тут сразу 1000. — А как они это делают? — Да какая разница! Доверьтесь профессионалам. Зато как здорово: приходим на ужин, один я – беру лангуста, другой – капусту, третий – мангуста… В целом полное счастье и обжорство! Но я все же сомневался. Огрыза задумчиво посмотрела на стол и, переставив для виду вазочки с вареньем, незаметно убрала со стола коробку конфет. — И как же они тебя убедили? — Они предложили сыграть в лотерею. «Вечером мы незаметно поменяем таблички с номерами комнат, и каждый постоялец должен попытаться угадать новый номер своей комнаты. Тем, кто угадает, – бесплатный ужин на все время отпуска! Чем больше клонов – тем выше шанс!» — И ты согласился? — Нет. Я сказал, что это авантюра, потому что в отеле бесконечно много номеров… Тогда они сказали, что «дополнительно каждому гостю отеля принесут список всех остальных постояльцев, где будут указаны их новые номера». — Но если ты знаешь, где живут остальные, ты же сможешь вычислить и свой номер. — Вряд ли. Номеров в отеле бесконечно много, многие могут быть свободны. Да и не все числа используются как номер. Кажется, в моем отеле не было номеров 13 и 666. — А разные копии одного постояльца могут обмениваться друг с другом информацией? — Не могут. После распараллеливания общение идентичных сущностей абсолютно исключено. — Зачем же тогда этот список? Он совершенно не помогает угадыванию. — Э, нет… Небольшая лазейка остается. Я немного подумал, позвонил Бусеньке и согласился на их предложение. — Распараллелился? — Да! Причем Бусенька посоветовала мне заказать бесконечное количество копий! Огрыза накрыла блюдо с пирожными высокой крышкой и унесла. — Мне кажется, кто-то из нас спятил, – вернувшись, сказала она и с беспокойством посмотрела на дятла Спятла. – У одного
38
КВАНТ 2022/№11-12
— Таким образом, бесконечное число дятлов, а лучше сказать, все кроме нескольких, получают право на бесплатный ужин! — Бедненький. Каждый день ты съедал бесконечное количество бесплатных ужинов? С сегодняшнего дня переходим на низкокалорийную диету! – И она убрала со стола сахарницу. На столе остались только две чашки и заварочный чайник. – Надеюсь, за время отпуска это был единственный неприятный сюрприз? — Нет, к сожалению. Потом случилось землетрясение. Ведь если вероятность события равна нулю, то это не значит, что оно невозможно!
Комментарий
Рассмотрим какое-нибудь множество, например, множество товаров, выставленных в торговом зале некоторого магазина. Товары разложены по полкам. Покупатель поочередно обходит полки и кладет в корзину нужные ему товары. Для определенности будем считать, что с каждой полки берут только один товар. Так формируется покупка – множество, состоящее из выбранных товаров. Процесс этот привычный, наглядный и допускает следующее математическое оформление. Пусть множество A представлено в виде объединения непересекающихся множеств:
A
B C D …
Тогда можно построить множество X, содержащее по одному элементу из каждого множества B, C, D,… В нашем примере A – множество товаров в магазине, B, C, D,… – множества товаров, лежащих на полках, X – покупка. И на самом деле в этой формулировке незримо присутствует еще одно множество, замаскированное в формуле значком многоточия, – множество, по которому по которому берется объединение (множество полок в магазине). Разумеется, вместо A можно брать произвольное множество и разбивать его на произвольные части. Так, в сказке множество A – это множество всевозможных последовательностей вещественных чисел, разбитое на части, каждая из которых содержит некоторую «главную» последовательность (на самом деле, это совершенно любая последовательность, выбранная в этой час-
ти), а также те и только те последовательности, которые на нее «похожи» (отличаются в конечном числе мест). Эти части множества последовательностей дятел Спятел назвал списками. Как построить такое разбиение множества последовательностей на списки? В сказке дятел объясняет, как. Чтобы построить первый список, назовем его B, возьмем любую последовательность, например (0, 0, 0, 0,…), назовем ее главной и, кроме нее, поместим в список B все последовательности, которые отличаются от главной в конечном числе мест. Список B построен. Кстати, если бы речь шла только о последовательностях целых чисел, можно было бы считать, что B – это действительно бесконечный список: последовательности выписаны в воображаемой таблице, в каждой строке выписана одна последовательность, а сами строки пронумерованы натуральными числами. А вот для последовательностей вещественных чисел множество B окажется несчетным – его элементы нельзя пронумеровать натуральными числами, оно является бесконечным множеством, «более крупным», чем множество натуральных чисел. Называть его списком можно разве лишь в художественном смысле. Теперь строим второй список, назовем его C. Возьмем любую последовательность, которая не входит в B, например (0, 1, 0, 1, 0, 1,…), назовем теперь эту последовательность главной и выпишем в списке C все последовательности, отличающиеся от главной в конечном числе мест. Список C тоже построен. Берем теперь следующую последовательность, не содержащуюся ни в B, ни в C, и т.д. Отметим, однако, что это последнее «и т.д.» при его кажущейся наглядности и убедительности совсем не очевидное. Что значит «и так далее»? Это значит, что мы аналогично построим третий список, четвертый, сотый, миллионный… Но даже если вообразить, что завершился бесконечный процесс и для каждого натурального n мы построили n-й список, содержимое этих списков не исчерпывает все множество последовательностей по той же причине, что и выше: множество последовательностей, состоящих из целых чисел, несчетно, а каждый список содержит лишь счетное множество таких последовательностей. Построить описанным