Квант
Конкурс имени А. П. Савина

Задачи 17—20

Квант 2023, №1с. 41Тег 2HM3

41

КОНКУРС

ИМЕНИ

Доказательство полностью аналогично доказательству утверждения 2, и мы предлагаем читателям провести его самостоятельно или прочитать, например, в статье [3]. Также предлагаем самостоятельно разобраться со случаем, когда начальная скорость частиц больше второй космической. Авторы благодарны членам редколлегии «Кванта» за замечания, позволившие улучшить первоначальную версию статьи.

А.П.САВИНА

Литература

  1. А.А.Заславский, А.В.Акопян. Геометрические свойства кривых второго порядка (2-е изд., дополн.). – М.: МЦНМО, 2011. 2. D.L.Goodstein, I.R.Goodstein. Feynman’s Lost Lecture: The Motion of Planets Around the Sun. – Norton, 1996. 3. Бутиков Е.И. Огибающая семейства эллиптических орбит и баллистических траекторий. – Компьютерные инструменты в образовании, №3, с. 50–65, 2016.

КОНКУРС ИМЕНИ А.П.САВИНА

Мы продолжаем конкурс по решению математических задач. Задания рассчитаны в основном на учащихся начиная с 8–9 классов, а более младшим школьникам советуем попробовать свои силы в конкурсе журнала «Квантик» (см. сайт kvantik.com). Высылайте решения задач, с которыми справитесь, электронной почтой по адресу: savin.contest@gmail.com. Кроме имени и фамилии укажите город, школу и класс, в котором вы учитесь. Мы приветствуем участие в конкурсе не только отдельных школьников, но и команд (в таком случае присылается одна работа со списком участников). Участвовать можно, начиная с любого тура. Победителей ждут дипломы журнала «Квант» и призы. Задания, решения и результаты публикуются на сайте sites.google.com/view/savin-contest Желаем успеха!

  1. Квантик написал на каждой грани куба целое число (все шесть чисел различны). Потом в каждой вершине он написал сумму чисел на трех содержащих эту вершину гранях. Ноутик выписал полученные восемь сумм в ряд по возрастанию. Могло ли получиться так, что все разности между соседними числами в этом ряду одинаковы? С.Полозков

  2. На острове в разных местах есть пристань, крепость и деревня. Расстояние по прямой от пристани до крепости равно 3 км, от крепости до деревни – тоже 3 км. Петя получил достоверные сведения, что на острове зарыт клад. Известны расстояния по прямой до клада от пристани, крепости и деревни. Петя нашел такое место, но не обнаружил ни клада, ни следов предыдущих раскопок. Сколько километров от пристани до деревни? Б.Френкин

  3. Равносторонний треугольник со стороной n разделили отрезками на равносторонние треугольники со стороной 1. Пусть X n – общее количество получившихся треугольников. Например,X25Например,^{X} 2 5 (один треугольник со стороной 2 и четыре со стороной 1), а X427X_{4}^{27} (см. рисунок). Найдите: а) X 10; б) общую формулу для X n. Е.Бакаев

  4. На все черные клетки шахматной доски поставлены короли. Каждым ходом один из них сдвигается на свободную по стороне или диагонали клетку. За какое наименьшее суммарное число ходов все короли могут снова оказаться на черных клетках и при этом ни один король не попадет в клетку, на которой стоял изначально? И.Акулич