Решения задач М2742—М2745; Ф2749—Ф2752
28
КВАН T 2023/№7
Рис. 2
Рис. 1
Максимальное расстояние по вертикали, на которое перемещается ось симметрии цилиндров, равно примерно м. Масса m такого маятника равна 1 кг. Маятник запускается из верхнего положения, когда нити намотаны виток к витку на цилиндр меньшего диаметра и скрепленные цилиндры неподвижны. При движении маятника выпрямленные участки нитей остаются практически вертикальными. Каково максимальное натяжение нитей в те промежутки времени, когда: а) маятник опускается, б) маятник поднимается, в) подъем оси маятников сменяется опусканием, г) опускание оси в первый раз сменяется подъемом? Считайте, что g 10 м .
Ф2762. Учитель надул резиновую оболочку шарика воздухом из своих легких и завязал горловину оболочки узлом. В шарике оказалось 10,0 литров воздуха при температуре 20 q С и давлении, которое примерно на 4% больше атмосферного. Затем шарик стали аккуратно поливать жидким азотом из термоса. Жидкость хорошо смачивала всю поверхность шарика, и он, охлаждаясь, основательно уменьшался в объеме. Оцените, по возможности точнее, минимальный объем шарика при продолжении полива. Сведения о составе газовой смеси в шарике можно отыскать в интернете.
Ф2763. Электрическую цепь собрали из кусков медной проволоки разных диаметров d и 2d и разных длин L и 2L (рис. 2). Все участки цепи находятся в воздухе при комнатной температуре 20 q C. Выводы цепи А и В на очень короткое время подключили к мощному источнику тока и отключили. Сразу после отключения короткий участок проволоки большего диаметра имел температуру на 1 q C больше комнатной. Какими были в этот же момент температуры двух других кусков проволоки с одинаковым диаметром, но разной длиной?
Ф2764. В новом школьном здании нашлось помещение, имеющее форму куба с горизонтальными полом и потолком. В центр пола этого помещения поставили картонный ящик, тоже имеющий форму куба. В точности над центром этого ящика на потолке светится маленькая лампочка. Тень от ящика занимает 1 4 часть площади пола в помещении. Если лампочку переместить на 1 м вниз, то тень от ящика накроет весь пол, а на стенах при этом тени не будет. Каков объем этого помещения?
Решения задачи М2742–М2745, Ф2749–Ф2752 M2742. Дано целое число h! 1. Назовем положительную обыкновенную дробь (не обязательно несократимую) хорошей, если сумма ее числителя и знаменателя равна h. Скажем, что число h замечательное, если каждую положительную обыкновенную дробь, знаменатель которой меньше h, можно выразить через хорошие дроби (не обязательно различные) с помощью операций сложения и вычитания. Докажите, что h замечательное тогда и только тогда, когда оно простое. (Напомним, что обыкновенная дробь – это отношение целого числа к натуральному.)
Сначала докажем, что если n – составное, то не любую дробь, знаменатель которой меньше n, можно выразить. Если среди
30
КВАН T 2023/№7
равноудалены от центра O, т.е. имеют равные длины. Но, как известно, длина отрезка AP касательной к вневписанной окружности равна полупериметру треугольника ABC, т.е. 1 2. Задача решена. Есть и другие геометрические решения, в которых обнаруживаются следующие интересные описания точек пересечения средней линии с окружностью:. Оказывается, точка пересечения Y лежит на внешней биссектрисе угла C, а значит (в силу AYJ 90 q ) Y – проекция вершины A на внешнюю биссектрису угла C. Проекции вершин треугольника на внутренние или внешние биссектрисы появляются во многих геометрических конструкциях; за этими точками также в фольклоре закрепилось название «точки из задачи 255 задачника И.Шарыгина». Кроме того, прямая PY параллельна биссектрисе угла B и проходит через точку касания окружности Z с BC. Д.Бродский
M2744. Правильный 100-угольник разрезали на несколько параллелограммов и два треугольника. Докажите, что эти треугольники равны.
Выберем произвольное направление и далее будем считать его горизонтальным. У каждого параллелограмма с горизонтальными сторонами покрасим верхнюю сторону в синий цвет, а нижнюю в красный. То же сделаем со всеми имеющимися горизонтальными сторонами треугольников (если треугольник снизу от стороны, красим ее в синий, иначе – в красный). А если у 100-угольника есть горизонтальные стороны, то их покрасим наоборот: верхнюю в красный цвет, а нижнюю в синий. Теперь каждый горизонтальный отрезок на рисунке покрашен один раз в синий цвет («снизу») и один раз в красный («сверху»), поэтому синего и красного цвета мы потратили поровну. Но ведь и в каждом параллелограмме, и в нашем 100-угольнике синего и красного цветов было использовано поровну. Поэтому если их стереть и оставить только два треугольника, то в них тоже синего и красного поровну. Другими словами, если у одного есть синяя горизон-
тальная сторона какой-то длины, то у другого есть красная горизонтальная сторона такой же длины! Аналогично докажем, что остальные стороны треугольников попарно равны. Следовательно, треугольники равны по трем сторонам. Задача решена. Замечание. Разрезания из условия существуют, причем они могут быть устроены достаточно несимметричным образом (например, не обязательно все стороны треугольников параллельны сторонам 100-угольника, треугольники не обязательно образуют параллелограмм, примыкают к сторонам 100-угольника, симметричны относительно центра 100-угольника). На рисунке приведен один из многих возможных примеров разрезания 10- угольника. А.Юран, Ю.Тихонов
M2745. Даны две последовательности из букв А и Б, в каждой из которых по 100 букв. За одну операцию разрешается вставить в какое-то место последовательности (возможно, в начало или в конец) одну или несколько одинаковых букв или убрать из последовательности одну или несколько подряд идущих одинаковых букв. а) Докажите, что из первой последовательности можно получить вторую не более чем за 100 операций. б*) При каком наименьшем k из любой первой последовательности можно получить любую вторую не более чем за k операций?
а) Сначала решим аналогичную задачу для последовательностей из двух букв, а именно докажем, что из одной последовательности можно получить другую не более чем за 2 операции. Если одна из последовательностей – это АА, а другая – ББ, уберем все буквы первой последовательности, а затем добавим буквы второй последовательности. В противном случае в последовательностях есть одинаковые