Задачи М2766—М2769; Ф2773—Ф2776

Задачи по математике и физике

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач по математике и физике из этого номера следует отправлять по электронным адресам: math@kvant.ras.ru и phys@kvant.ras.ru соответственно или по почтовому адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, вместе с Вашим решением этой задачи присылайте по тем же адресам. Задачи M2766, М2768 предлагались на учебно-тренировочных сборах кандидатов в команду на Международную математическую олимпиаду. Задача Ф2773 предлагалась на Международной олимпиаде школьников «Туймаада» в 2023 году, а задачи Ф2774-Ф2776 – в 2022 году.

Задачи М2766–М2769, Ф2773–Ф2776

M2766. Дано натуральное число n. Поле для «Мастер-судоку» представляет $собой^{n} n 1 2$ клеток $квадрата^{n} u^{n}$, лежащих на главной диагонали либо под ней. Мастер загадывает n клеток этого поля, по одной в каждом столбце, и сообщает ученику про каждую строку, сколько загаданных клеток лежит в ней (ученик также в курсе, что в каждом столбце ровно одна загаданная клетка). Ученик должен иметь возможность по этой информации наверняка восстановить клетки, загаданные Мастером. Сколько различных таких судоку может составить Мастер? Т.Амдеберхан, М.Руби, Ф.Петров

M2767. Несложно доказать, что в прямоугольном треугольнике сумма радиусов вписанной и трех вневписанных окружностей равна периметру. Докажите, что верно и обратное утверждение. И.Вайнштейн

M2768*. Дано натуральное число n. Попарно различные ненулевые целые числа $a_{1},^{…}, a n$ таковы, что число $x_{1}^{a} x_{2}^{a} …^{…} x^{a} n$ делится на $число_{1}^{a} a_{2}^{…} a n$ при любом $целом^{x.}$ Найдите наибольшее возможное значение a n. Ф.Петров, К.Сухов

M2769*. Вписанная окружность: треугольника ABC касается сторон BC, CA и

Рис. 1

AB в точках D, E и F соответственно (рис. 1). Пусть окружность Z касается отрезков CA и AB в точках Q и R соответственно, а точки M и N выбраны на отрезках AB и AC соответственно так, что отрезки CM и BN касаются Z. Биссектрисы углов NBC и MCB пересекают соответственно отрезки DE и DF в точках K и L. Докажите, что прямые RK и QL пересекаются на Z. Чан Куанг Хунг (Вьетнам)

Ф2773. Невесомая пружина имеет большое число витков, но изначально только N? 1 витков могут деформироваться, а остальные – скреплены между собой. Груз на этой пружине совершает свободные