Обручённые многогранники

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК

Обрученные многогранники

Н.ДАУРЦЕВА, К.СТОРОЖУК

Часть первая: практика

Кто любит практику, тот в искусстве достигнет знания. Альбрехт Дюрер

В книге польского математика Гуго Штейнгауза «Математический калейдоскоп» описывается любопытная модель додекаэдра [1]. Модель представляет из себя развертки двух половинок додекаэдра, их можно вырезать из плотного картона. Для демонстрации необходимо сложить вместе эти две половинки и перетянуть их упругим растягивающимся «обручем» – канцелярской резинкой. Если подбросить эту конструкцию, то обруч, укорачиваясь, стянет модель в объемное тело. Стать еще короче обруч уже не может, поэтому он остается на поверхности. Об этой модели интересно и наглядно написано в разделе «Модели» сайта «Математические этюды» [2]. Линия, по которой прилегает обруч после складывания, $является^{геодезической.}$ О геодезических линиях на многогранниках можно прочитать на страницах «Кванта» в статье [3] и в разделе «Этюды» сайта «Математические этюды» [4]. На других правильных многогранниках также есть замкнутые геодезические (зеленые линии на рисунке 1), это наводит на мысль, что и для них можно придумать модели, аналогичные модели Штейнгауза. Начнем с куба. Многие бывают удивлены, узнав, что существует плоское шестиуголь-

Рис. 1

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20240103

ное сечение куба. Соответствующая линия является геодезической, на нее и ляжет обруч в нашей модели. Однако провести полную аналогию с моделью Штейнгауза, составив куб из пары трехлепестковых половинок, невозможно – квадраты, соединенные всего лишь точкой, рассыпаются. Можно заменить проблемную вершину небольшой треугольной площадкой. Две одинаковые детали такой модели удобно выполнить, используя упаковку из-под йогурта. Разрежем коробку по ребрам, не доходя до вершины (рис. 2). Скрепим две

Рис. 2

заготовки обручем, как показано на рисунке, получив нечто похожее на «летающую тарелку». Можно слегка выгнуть ее в одну из сторон для фиксации. Если уронить такую заготовку горизонтально на стол, она волшебным образом превратится в куб. Красным цветом на рисунке 2 обозначен обруч на расплющенной модели, а зеленым цветом – на сложенном (не до конца) кубе. Можно предложить другую модель, складывающуюся из плоских частей развертки куба. Для этого сложим и скрепим две Г-образные детали так, как показано на рисунке 3. Подбросим эту модель – она сложится в куб! Тетраэдр и октаэдр также можно опоясать плоским обручем-геодезической. Модели для

Рис. 3

этих тел устроены аналогично моделям додекаэдра и куба. На рисунке 4 изображены модели в процессе складывания. Модели для тетраэдра и октаэдра складываются несколько хуже, они часто замирают недособранными. Простую модель складывающегося икосаэдра нам при-

52

К В А НT 2024/№1

1. Найдите отношение количеств вещества в газообразном состоянии в верхней и нижней частях цилиндра до нагревания. 2) Определите конечное давление в сосуде р. Ответ выразите через $p_{атм}$ (нормальное атмосферное давление) с числовым коэффициентом в виде обыкновенной дроби. 3. Три проводящие плоские мелкие сетки находятся друг напротив друга на расстояниях d и d 3 (рис. 11). Размеры сеток значи-

2. Найдите скорость возрастания тока в катушке индуктивностью L сразу после замыкания ключа. 3) Какой заряд протечет через резистор сопротивлением 2R при замкнутом ключе? Ответы дайте с числовыми коэффициентами в виде обыкновенных дробей. 5. Оптическая система состоит из двух призм с показателями преломления $n_{1}$ и $n_{2}$ и находится в воздухе с показателем преломления $n_{в} 1,0$. Точечный источник света S расположен на расстоянии a 200 см от системы и рассматривается наблюдателем так, что источник и глаз наблюдателя находятся на прямой, перпендикулярной наружным поверхностям призм (рис. 13). Угол

Рис. 11

тельно больше d. Изначально сетки не заряжены. К сеткам подсоединили источники с напряжениями $U_{1}^{2} U$ и $U_{2} U$. Частица массой m и зарядом q! 0 движется по направлению к сеткам и перпендикулярно сеткам, имея скорость $v_{0}$ на расстоянии от сеток, намного большем их размеров. Частица пролетает через сетки, не отклоняясь от прямолинейной траектории. Заряд q намного меньше модуля зарядов сеток. 1) Найдите модуль ускорения частицы в области между сетками 2 и 3. 2) Найдите разность $K_{3} K_{2}$, где $K_{2}$ и $K_{3}$ – кинетические энергии частицы при пролете сеток 2 и 3. 3) Найдите скорость частицы в точке А на $расстоянии^{2} d 3$ от сетки 2. 4. Параметры цепи указаны на рисунке 12, все элементы идеальные. Ключ разомкнут, режим в цепи установился. Затем ключ замыкают. 1) Найдите ток $I_{20}$ через резистор сопротивлением 2R при разомкнутом ключе.

Рис. 12

Рис. 13

$D^{0,05}$ рад можно считать малым, толщина h 9 см. Толщина призмы с показателем преломления $n_{2}$ на прямой «источник–глаз» намного меньше h. Отражения в системе не учитывать. 1) Считая $n_{1} n_{в} 1,0, n_{2} 1,6$, найдите, на какой угол отклонится системой луч, идущий от источника перпендикулярно левой грани системы. 2) Считая $n_{1} n_{в} 1,0, n_{2} 1,6$, найдите расстояние между источником и его изображением, которое будет видеть наблюдатель. 3) Считая $n_{1} 1,8, n_{2} 1,6$, найдите, на каком расстоянии от источника будет его изображение, которое увидит наблюдатель. Публикацию подготовили В.Бабинцев, Л.Колдунов, В.Плис, В.Усков, В.Чивилёв, И.Юдин, Ю.Юрьев