Угол между радиусом и стороной

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК

Угол между радиусом и стороной

Ю.БЛИНКОВ, Д.ШВЕЦОВ

Основной факт

Можно ли решить сложную олимпиадную задачу, обладая знаниями, не выходящими за рамки программы первого полугодия 8 класса? И не зная специальных «олимпиадных» фактов и приемов? Оказывается, во многих случаях достаточно хорошо владеть обычным школьным материалом. Рассмотрим простую задачу. Задача 0. Пусть O – центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC. Найдите угол ACO, если $‘^{ABC} D$ (рис. 1). «Ну и что здесь может быть интересного?» – спросит читатель. Действительно, вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу (рис. 2), т.е. если $‘^{ABC} D 90 q$, тогда $‘^{AOC} 2 D$, откуда $‘^{ACO} 90 q D$.

Рис. 1

Рис. 3

Рис. 4

угольника ABC. Тогда $‘^{ACO}$ (рис. 3).

Упражнения

1. Восстановите по рисунку 4 другое доказательство основного факта. 2. Как поменяется основной факт в случае тупого угла ABC?

Как же можно использовать этот факт? Дело в том, что он указывает на расположение центра окружности, описанной около треугольника. В школьном курсе обычно доказывается, что центр описанной окружности треугольника равноудален от его вершин, т.е. лежит на пересечении серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника. Но если фиксирован, например, угол B треугольника ABC, то центр описанной окружности также лежит на прямой, которая составляет фиксированный угол со стороной AC. Рассмотрим следующую задачу. Задача 1. Биссектриса AL пересекает описанную окружность равнобедренного треугольника ABC (AB = BC) в точке W; точка I – центр вписанной окружности треугольника ABC. Докажите, что центр описанной окружности треугольника IBW лежит на стороне BC (рис. 5).

Рис. 2

Просто? Конечно! Но это и есть основной факт нашей статьи, благодаря которому мы сможем решить несколько трудных задач. В дальнейшем мы его будем называть углом между радиусом и стороной. Основной факт. Пусть O – центр окружности, описанной около остроугольного тре-

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20250303

$90 q ‘^{ABC}$

Рис. 5

30

КВАНТ 2025/№3

из вершины, проведенного под данным углом, и серединного перпендикуляра к стороне. Этот прием будет нами использован еще раз.

К высотам

Ну что ж, с основным фактом мы разобрались, посмотрели первые примеры. Что дальше? Какой угол также дополняет угол треугольника до 90q? Конечно, угол между стороной треугольника и высотой, проведенной к другой стороне. Исходя из этого, можно сформулировать следующее. Следствие 1. Пусть СС c – высота остроугольного треугольника ABC $(рис.^{9).}$ Точка O – центр описанной окружности. Тогда ‘ ACO ‘ BCC c, т.е. прямые CO и CC c симметричны относительно биссектрисы угла C треугольника ABC.

Рис. 9

Доказательство. Заметим, что если ‘ ABC D, то ‘ BCC c 90 D ‘ ACO. Следствие 1 верно и в случае тупоугольного треугольника. Как изменится доказательство? Рассмотрим применение указанного следствия. Ученикам седьмого класса доступна такая задача.

Упражнение 4. В прямоугольном треугольнике ABC проведены медиана CM и высота CH к гипотенузе AB (рис. 10). Докажите, что ‘ ACM ‘ BCH.

Рис. 10

Обратная задача, как это порой бывает, оказывается значительно труднее. Задача 4. В неравнобедренном треугольнике ABC (рис. 11) проведены медиана CM и высота CH (точка H лежит на отрезке AB).

Рис. 11

Докажите, что если ‘ ACM ‘ BCH, то ‘ ACB 90 q. Решение. Докажем, что M – центр окружности, описанной около треугольника ABC, откуда и будет следовать утверждение задачи. Пусть O – центр окружности, описанной около треугольника ABC. Тогда ‘ ACO ‘ BCH, т.е. O лежит на луче CM. С другой стороны, O лежит на серединном перпендикуляре к стороне AB. Поскольку треугольник не является равнобедренным, то совпадать они не могут и центр O описанной окружности лежит на их пересечении – в точке M. Задача решена. В следующей задаче, которая предлагалась девятиклассникам на Турнире математических боев имени $А.П.Савина^{3}$ (в терминах ГМТ), идею симметрии высоты и радиуса спрятали чуть глубже. Задача 5. Дан остроугольный треугольник ABC. На стороне AC выбираются произвольная точка K и такая точка L, что ‘ ABK ‘ CBL (рис. 12). Докажите, что центры описанных окружностей треугольников KBL лежат на одной прямой. Решение. Заметим, что треугольники KBL и ABC имеют общую высоту BH, проведенную к стороне AC (рис. 13). Кроме того, из

Рис. 12

Рис. 13

равенства ‘ ABK ‘ CBL следует, что эти треугольники имеют также общую биссектрису, проведенную из вершины B. Тогда по следствию 1 фиксированный луч BO, на котором лежит центр описанной окружности

tursavin.ru

3 Сайт Турнира – http:

31

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

треугольника ABC, также содержит центр описанной окружности треугольника KBL. Задача решена.

Упражнение 5. Найдите ГМТ таких центров.

Рассмотрим еще одно важное следствие, характеризующее направление радиуса. Следствие 2. Пусть $AA_{1}$ и $BB_{1}$ – высоты остроугольного треугольника ABC, точка O – центр описанной окружности треугольника ABC (рис. 14). Тогда $CO A A_{1} B_{1}$.

КРУЖОК

Простейшее применение данного следствия – задача, предлагавшаяся на Математической регате. Задача 6. Пусть $AA_{1}, BB_{1}$ и $CC_{1}$ – высоты остроугольного треугольника ABC. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из B на $A_{1} C_{1}$, из A на $B_{1} C_{1}$ и из C на $A_{1} B_{1}$, пересекаются в одной точке (рис. 16).

Рис. 16

Решение. Согласно следствию 2, указанные перпендикуляры пересекаются в центре описанной окружности треугольника ABC. Эту задачу можно переформулировать и $так.^{5}$

Рис. 14

Доказательство. Поскольку точки $B, A_{1}, B_{1}$ и A лежат на окружности с диаметром AB (почему?), то ‘ $CB_{1} A_{1}$ ‘ CBA (рис. 15).

Рис. 15

Упражнение 8. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из центров вневписанных окружностей треугольника на его стороны, пересекаются в одной точке.

Возможно и дальнейшее развитие сюжета. Задача 7. Пусть $AA_{1}, BB_{1}, CC_{1}$ – высоты остроугольного треугольника ABC, точка O – центр описанной окружности. Через точки $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ проводятся прямые, параллельные соответственно радиусам OA, OB и OC (рис. 17). Докажите, что эти прямые пересекаются в одной точке.

Кроме того, ‘ ACO 90 q ‘ CBA, откуда и следует искомая $перпендикулярность.^{4}$

Упражнения

6. Докажите это утверждение для тупоугольного треугольника. 7. Используя те же обозначения, докажите, что касательная, проведенная в точке C к окружности, описанной около треугольника ABC, параллельна прямой A 1 B 1.

4 Доказанное следствие можно обобщить следу- ющим образом. Дан угол с вершиной C и точки P и Q внутри него; K и L – проекции точки P на стороны угла. Прямые CQ и KL перпендикулярны тогда и только тогда, когда CP и CQ – изогонали.

Рис. 17

Решение. Согласно следствию 2, указанные прямые перпендикулярны сторонам тре-

5 Об искусстве переформулирования задачи подробнее можно прочитать в «Кванте» №5 за 2022 год в статье «Как переформулировать задачу?».

(Продолжение см. на с. 34)

10. Считая воздух газом, состоящим из одинаковых молекул: а) оцените скорость теплового движения молекул при нормальных условиях; б) найдите число молекул в единице массы газа, средняя квадратичная скорость которых при абсолютной температуре Т равна $v_{кв}.^{11.}$ Может ли расширившийся газ сам собой сжаться и снова занять прежний $объем?^{12.}$ Какая из двух электросхем, изображенных на рисунке, надежнее, если надежность p диода 0,7, конденсатора 0,8, резистора 0,9?

11. Чему равна постоянная распада O для изотопов $радия^{230} Ra$, если период полураспада $T_{1} 2 93$ мин? Какова вероятность w распада изотопов за один час?

Микроопыт

Понаблюдайте за поведением капли чернил, упавших в воду. За счет чего растет ее диаметр?

Любопытно, что…

…от Паскаля и Ферма, давших ясные и простые примеры приложений теории вероятностей, принял эстафету Гюйгенс, изложивший в 1657 году свои результаты в книге «О расчетах при азартных играх» – первом трактате по новому научному направлению. …в ответ на обращение по поводу новых игр с костями, Ньютону пришлось решать задачу для выяснения, какая из них выгоднее. Насколько известно, это была единственная работа ученого по теории вероятностей. …занимаясь изучением вероятности судебных приговоров, французский физик и математик Пуассон установил в 1837 году один из первостепенных законов – так называемое «распределение», названное его именем и ставшее орудием исследова- ния у ученых при решении множества разнообразнейших задач. …21 сентября 1859 года на заседании Британской ассоциации содействия развитию науки Максвелл впервые доложил о своих работах, заложивших основу статистической, или вероятностной, картины мира. …физики, изучавшие в начале XX века броуновское движение или диффузию газов, например Эйнштейн и Смолуховский, обратились к учению о вероятностных процессах до того, как эта проблематика привлекла внимание математиков. …ответ на вопрос, почему тепло передается от горячих объектов к холодным, а не наоборот, предложил Больцман: потому, что это более вероятно. Идея, поначалу воспринятая учеными в штыки, в дальнейшем получила всеобщее признание. …квантовая физика, в отличие от классической, отрицает возможность установления точных координат или траекторий той или иной частицы, например электрона, но оперирует лишь с вероятностями ее нахождения в данный момент времени в той или иной точке пространства. …закон радиоактивного распада носит принципиально статистический характер в силу вероятностных законов поведения микрочастиц; только после создания квантовой механики удалось построить теорию радиоактивных превращений атомных ядер.

Что читать в «Кванте» о вероятности в физике

(публикации последних лет)

1. «Блуждания по цепям» – 2017, №3, с. 10; 2. «Неопределенность – основа квантовой физики» – 2021, №1, с. 2; 3. «Как возникает хаос. Закон равновесного хаоса идеального газа» – 2021, №4, с. 30; 4. «Кинематика случайного блуждания и освоение человечеством Галактики» – 2024, №1, с. 2.

Материал подготовил А.Леонович

34

КВАНТ 2025/№3

(Начало см. на с. 28) угольника $A_{1} B_{1} C_{1}$ (ортотреугольника) и про-

ходят через его вершины, т.е. являются его высотами и, разумеется, пересекаются в одной точке (ортоцентр ортотреугольника). Задача решена. Оказывается, что из двух последних задач следует решение задачи, предлагавшейся на Устной городской олимпиаде по геометрии 2010 года в качестве самой сложной. Задача 8. В треугольнике ABC точка O – центр описанной окружности. Прямая c проходит через середину высоты треугольника, опущенной из вершины C, и параллельна OC (рис. 18). Аналогично опреде-

Упражнение 9. Сформулируйте и докажите аналогичное утверждение для любых точек, делящих высоты в одном и том же отношении.

Обобщаем – упрощаем

Полезно после решения проанализировать, все ли условия существенны. Можно ли как-то обобщить задачу? Вернемся к следствию 2. Оказывается, его можно легко обобщить. Заметим, что в доказательстве следствия не было существенно, что $AA_{1}$ и $BB_{1}$ именно высоты. Нам было достаточно того, что точки $B, A_{1}, B_{1}, A$ лежат на одной окружности, или равенства ‘ $CB_{1} A_{1}$ ‘ CBA (см. рис. 15). Подобная ситуация часто встречается в задачах. Определение. Пусть точки $B_{1}$ и $A_{1}$ лежат на прямых CA и CB соответственно (или обе на лучах CA и CB, или обе на лучах, дополнительных к ним). Говорят, что отрезки $A_{1} B_{1}$ и AB антипараллельны (относительно пары прямых CA и CB или относительно угла ACB), если ‘ $CB_{1} A_{1}$ ‘ CBA (рис. 20).

Рис. 18

ляются прямые a и b. Докажите, что прямые a, b, c пересекаются в одной точке. Решение. Рассмотрим прямые из задачи 6 и из задачи 7. Пусть с c и $с_{1}$ – прямые, проходящие через точки C и $С_{1}$ (основание высоты из точки C) и параллельные c (рис. 19).

Рис. 20

Теперь мы можем сформулировать обобщение следствия 2. Следствие 2 ¢. Пусть отрезок A c B c антипараллелен отрезку AB относительно прямых CA и CB, точка O – центр окружности, описанной около треугольника ABC (рис. 21). Тогда CO A A c B c.

Рис. 19

Согласно задаче 6, прямая с c проходит через точку O – центр описанной окружности треугольника ABC. Кроме того, согласно задаче 7, прямая $с_{1}$ проходит через точку R – ортоцентр ортотреугольника. Тогда прямая c проходит через середину отрезка OR по теореме Фалеса. Осталось заметить, что прямые a и b также проходят через эту точку. Задача решена.

Рис. 21

Упражнение 10. Докажите обобщенное следствие, рассмотрев различные расположения точек Ac и Bc.