Bí mật của vô cực

7

Nếu cần thiết, mỗi phần có thể được chia lại thành nhiều phần. Nhưng nếu bạn tiếp tục sự phân chia này, thì sớm muộn gì cũng sẽ đến lúc các phần trở nên nhỏ đến mức thực tế không thể chia chúng thêm được nữa. Để thể hiện những đại lượng “riêng lẻ” nhỏ như vậy, hình ảnh “hạt bụi”, “hạt anh túc”, v.v. đã được sử dụng từ lâu. Nhưng nếu một hạt anh túc vẫn có thể chia thành nhiều phần, dù gặp khó khăn, thì liệu một hạt bụi bay phấp phới trong tia nắng có thể chia thành nhiều phần được không? Kinh nghiệm hàng ngày đáp số không trả lời được câu hỏi này và chúng ta chỉ phải dựa vào lý luận và tiến hành phân tích suy đoán thuần túy.

Một trong những cái bổ sung trước chúng tôi đáp số Câu hỏi này thuộc về một người sống ở thế kỷ thứ 5 trước Công nguyên. đ. Triết gia Hy Lạp Anaxagoras. Anh ấy đọc:

“Trong số lượng nhỏ không có số lượng nhỏ nhất, nhưng sự giảm thiểu là liên tục, hoặc cái hiện có không thể ngừng tồn tại.”

Anh ấy cũng nói:

“Tất cả mọi thứ (vào thời kỳ đầu của thế giới) đều ở cùng nhau, chúng vô cùng nhiều và vô cùng nhỏ.”

Vì vậy, theo Anaxagoras, toàn bộ trạng thái được tạo thành từ vô số phần nhỏ vô hạn. Tất nhiên, trong trường hợp này, khi dùng từ vô cùng nhỏ, chúng tôi không muốn nói đến một biến có xu hướng tiến tới 0, như thông lệ hiện nay trong toán học, mà là một điểm không có thứ nguyên.

Nhưng điều này mâu thuẫn với hai tiên đề cơ bản thường được chấp nhận trong toán học Hy Lạp. Các nhà khoa học Hy Lạp chia tất cả các đại lượng thành mở rộng và không mở rộng. Đồng thời, họ tin rằng:

1. Tổng của một số lượng vô cùng lớn của bất kỳ đại lượng mở rộng nào, thậm chí rất nhỏ, nhất thiết phải lớn vô cùng.

2. Tổng của bất kỳ số lượng đại lượng không mở rộng nào, mặc dù vô cùng lớn, luôn bằng 0 và không bao giờ có thể bằng một số đại lượng mở rộng xác định trước.

Hóa ra là những cái vô cùng nhỏ, mà từ đó, theo Anaxagoras, thế giới được tạo thành, không thể mở rộng cũng như không thể mở rộng, tức là chúng không thể tồn tại.

Các khả năng khác cũng được đưa ra để chống lại ý tưởng về khả năng chia vô hạn. Anaxagoras Plutarch đã viết:

“Nếu việc chia hai đại lượng thành nhiều phần có thể tiếp tục vô thời hạn thì không có lý do gì để coi đại lượng này lớn hơn đại lượng kia và bản chất của sự bất bình đẳng sẽ bị phá hủy.”

Ý nghĩa của sự phản đối này là sau khi chia các đại lượng sẽ được tạo thành từ cùng một số (vô hạn) các đại lượng giống hệt nhau (vô cùng nhỏ).

THẾ GIỚI VẪN

Xin vui lòng, những lập luận mạnh mẽ nhất chống lại ý tưởng về sự phân chia vô hạn đã được đưa ra bởi nhà triết học Zeno xứ Elea, sống ở Ý vào giữa thế kỷ thứ 5 trước Công nguyên. đ. Ông đã “chỉ ra” rằng giả định về sự phân chia vô hạn sẽ dẫn đến việc phủ nhận khả năng chuyển động. Zeno đã biến lý luận của mình thành thang đo dưới một hình thức sống động và nghịch lý. Vì vậy, trong một trong số đó, anh ta “chứng minh” rằng Achilles chạy nhanh sẽ không bao giờ kết liễu được con rùa chậm chạp - suy cho cùng, trước tiên anh ta phải đến điểm A, từ đó con rùa bò lên, sau đó chính xác

9

bề mặt a l và cao hơn (có độ dày tối thiểu). Ví dụ, một hình nón, theo Democritus, bao gồm các vòng tròn có độ dày tối thiểu và một kim tự tháp bao gồm các đa giác giống nhau. Anh ấy tưởng tượng quả bóng bao gồm những chiếc kim hình chóp, phần trên của chúng nằm ở giữa quả bóng. Aristotle đã viết:

“Theo Democritus, quả bóng cũng bị cắt vì nó cũng có góc cạnh.”

Cách tiếp cận này cho phép Democritus giải quyết được nhiều vấn đề mà các nhà hình học gặp phải. Vì vậy, ông là người đầu tiên tính thể tích của hình nón và hình chóp, ông là người đầu tiên tính thể tích của quả bóng và tính diện tích của hình cầu. Đây rõ ràng là cách anh ta xử lý kim tự tháp.

Đầu tiên ông chứng minh định lý rằng hai hình chóp có đáy bằng nhau và chiều cao bằng nhau thì có cùng thể tích. Ở đây không có sự bổ sung nào cho anh ta - các kim tự tháp có cùng chiều cao, theo Democritus, bao gồm số lượng hình tam giác tương ứng bằng nhau và thể tích của chúng là tổng “thể tích” của các hình tam giác (xét cho cùng, theo Democritus, hình tam giác là vật chất và có độ dày tối thiểu). Vì diện tích đáy của các kim tự tháp là như nhau nên “thể tích” của các hình tam giác tương ứng ở cả hai kim tự tháp trùng nhau, và do đó thể tích của các kim tự tháp trùng nhau. Và sau đó ông chia lăng trụ tam giác thành ba hình chóp, mỗi hình chóp có cùng chiều cao và đáy bằng nhau (xem hình). Bằng cách này, Democritus “chứng minh” rằng thể tích của hình chóp bằng 1/3 thể tích của một lăng trụ có cùng chiều cao và cùng đáy. Và sự bằng nhau về thể tích của hình chóp và hình nón, có cùng chiều cao và cùng diện tích đáy, đã được chứng minh khá đơn giản - chúng bao gồm cùng một số hình có cùng một “thể tích”.

Cũng rõ ràng Democritus đã tiếp cận bài toán về thể tích của quả bóng như thế nào. Vì quả bóng bao gồm các kim tự tháp hình kim nên thể tích của quả bóng bằng tổng thể tích của các kim tự tháp này. Và anh ấy đã biết cách tìm thể tích của mỗi kim tự tháp. Tóm tắt các tập này, anh ấy SEL thành đáp số: “Thể tích của một hình cầu bằng một phần ba tích của bán kính hình cầu và diện tích bề mặt của hình cầu.” Anh ta không thể tính toán diện tích này.

Kim tự tháp thô

Democritus đã bổ sung thêm những kết quả đáng chú ý trong việc xác định thể tích của các vật thể hình học. Nhưng hầu hết những người cùng thời với ông đều đáp lại bằng phương pháp của ông. Những ý tưởng của Democritus quá khác biệt so với kết quả của trải nghiệm trực tiếp. Suy cho cùng, ngay cả việc chia một đoạn làm đôi cũng là một khoảng trống rất khó khăn trong hình học của Democritus. Một phân khúc bao gồm số lẻ các khoản nợ hàng tuần không thể chia làm đôi: khoản nợ trung bình hàng tuần giảm đi một nửa, và nửa này trở nên lớn hơn nửa kia. Đã không thể tách rời

11

Vatel của Aristotle, học giả thời trung cổ Thomas Bradvarin, “tất cả các hệ thống khoa học chỉ đúng trong chừng mực chúng không dựa trên giả định rằng một trạng thái liên tục được tạo thành từ các trạng thái hàng tuần”. Và trở lại thế kỷ 17, Nghị viện Paris đã đe dọa tất cả những người phản đối quan điểm của Aristotle bằng án tử hình. Và một phần - dành cho tất cả những người ủng hộ chủ nghĩa nguyên tử.

PHƯƠNG PHÁP KHÁC

Vì vậy, các nhà toán học đã phải đáp lại cả phương pháp tuần và các quá trình vô hạn của Democritus - lời chỉ trích của Zeno đã làm suy yếu mọi niềm tin vào kết quả thu được bằng cách sử dụng khái niệm vô cực. Kết quả là, một tình huống khó khăn đã nảy sinh - các phương pháp của Democritus, mặc dù thông qua các phép tính không chặt chẽ, đã cung cấp các công thức chính xác để tính diện tích và thể tích; Bây giờ cần phải phát triển một quy trình mới để tính các đại lượng hình học, trong đó không một từ nào được nói về vô cực, hay vi phân, hay tuần. Thủ tục này được tạo ra vào thế kỷ thứ 4. BC e. Người tiền nhiệm của Euclid là nhà toán học Eudoxus, người đã phát triển “phương pháp vét cạn” (hay nói cách khác là “rút cạn”), trong đó nhiều người coi tổ tiên của phương pháp giới hạn hiện đại. Phương pháp này đã được Euclid sử dụng rộng rãi trong cuốn Elements của ông.

Ví dụ, đây là cách Euclid chứng minh rằng diện tích của hai hình tròn bằng bình phương đường kính của chúng:

$$\frac{S_1}{S_2} = \frac{d_1^2}{d_2^2}.$$

Điều này có thể không đúng. Khi đó $$\frac{d_1^2}{d_2^2} = \frac{S_1}{S},$$ trong đó $S$ nhỏ hơn hoặc lớn hơn $S_2$.

Trước tiên chúng ta hãy giả sử rằng $S < S_2$. Chúng ta hãy nội tiếp một hình vuông trong một hình tròn có đường kính $d_2$ và dựng các đa giác nội tiếp đều, lần lượt nhân đôi số cạnh. Thật dễ dàng để chứng minh rằng sau một vài bước, sự khác biệt giữa diện tích hình tròn và diện tích $P_2$ của đa giác nội tiếp

đã trở thành hơn $S_2 - S$, nghĩa là, $S_2 - P_2 < S_2 - S$, và do đó $P_2 > S$. Bây giờ, hãy nội tiếp một hình tròn có đường kính $d_1$ một đa giác tương tự như hình đa giác nội tiếp trong một hình tròn có đường kính $d_2$; Hãy biểu thị diện tích của đa giác này bằng $P_2$. Vì diện tích của các đa giác đều tương tự có liên hệ với nhau bằng bình phương đường kính của các đường tròn ngoại tiếp, nên

$$\frac{P_1}{P_2} = \frac{d_1^2}{d_2^2}.$$

Nhưng chúng tôi đã thừa nhận rằng $$\frac{d_1^2}{d_2^2} = \frac{S_1}{S},$$ và do đó

$$\frac{P_1}{P_2} = \frac{S_1}{S}$$

hoặc, do tính chất của tỷ lệ,

$$\frac{P_1}{S_1} = \frac{P_2}{S}.$$

Nhưng $P_1 < S_1$ (diện tích của đa giác nội tiếp nhỏ hơn diện tích hình tròn) và $P_2$, như vừa hiển thị, lớn hơn $S$. Vì vậy, vế trái của đẳng thức (*) nhỏ hơn một và vế phải lớn hơn một, điều này thật vô lý. Điều này có nghĩa là bất đẳng thức $S < S_2$ là không thể.

Bằng cách tương tự, người ta chứng minh rằng bất đẳng thức $S > S_2$ là không thể xảy ra (bạn tự chứng minh nhé!).

Vì vậy, các giả định $S < S_2$, $S > S_2$ đã được xác định và vẫn là giả định duy nhất có thể xảy ra: $S = S_2$, tức là $$\frac{d_1^2}{d_2^2} = \frac{S_1}{S_2}.$$

Nhưng nếu đối với một hình tròn, kết quả có thể dễ dàng đoán được và các phép tính không quá phức tạp thì việc tính thể tích hình nón hoặc các thông số của nguồn là một vấn đề phức tạp và khó hiểu. Tuy nhiên, vẫn có thể giải quyết được hình nón và tham số - xét cho cùng, đáp số đã được biết đến vào thời Democritus, và Eudoxus chỉ phải làm rõ các thông điệp của Democritus, thay thế việc chia các tham số thành các hình tam giác nhất định hàng tuần bằng cách mổ xẻ theo phương pháp nguồn.

Nhưng khi cần tìm kiếm khối lượng số liệu mà Democritus chưa giải quyết được

12

chẳng hạn, có một hình elip thẳng đứng hoặc một parabol thẳng đứng, tình hình hoàn toàn tồi tệ - không biết giá trị nào để chứng minh rằng thể tích không thể lớn hơn hoặc nhỏ hơn giá trị này. Nói cách khác, phương pháp tính toán kiểu này chỉ dùng để chứng minh các kết quả đã tìm được chứ không dùng để khám phá các kết quả mới.

VÀ Lười biếng có thể có ích

Tuy nhiên, các nhà toán học sống sau Eudoxus không quá háo hức khám phá những công thức mới. Trung tâm tư tưởng khoa học vào thời điểm này đã chuyển từ Hy Lạp đến Ai Cập, nơi, dưới sự giám hộ của Ptolemy trong Bảo tàng Alexandria, các nhà khoa học đã nghiên cứu bầu trời, hệ thống hóa kiến ​​thức toán học đã tích lũy trước đó, viết sách để vinh danh những người bảo trợ cao cho khoa học và sao chép các bản thảo cổ. Phải nói rằng các nhà khoa học Alexandria đã làm không hề ít, chỉ có điều công trình của họ mang tính chất epigone nhiều hơn. Họ phát triển những gì đã có trước đó thay vì bán những con đường mới.

Một trong số ít trường hợp ngoại lệ trong gia đình yên tĩnh của các nhà khoa học Alexandrian là họ hàng của vua Syracusan, Archimedes, người đến học từ Syracuse xa xôi. Không giống như hầu hết các nhà khoa học thời đó, ông không chỉ quan tâm đến lý thuyết cao mà còn quan tâm đến những ứng dụng thực tế của khoa học, đã phát minh ra máy bơm trục vít, sau đó được sử dụng trong nhiều thế kỷ, chế tạo đồ chơi cơ khí, và sau đó, khi quê hương của ông bị người La Mã bao vây, ông đã chế tạo ra những cỗ máy quân sự. Rõ ràng là Archimedes bắt đầu quan tâm đến cơ học, sự cân bằng của đòn bẩy, sự chuyển động của các vật thể, v.v. Và cơ học đã tách khỏi khoa học thuần túy kể từ thời Plato và được coi là một thứ gì đó giống với nghề thủ công. Do đó, cơ học đã không giám sát chặt chẽ tính chặt chẽ của lý luận, và cơ học đã sử dụng rộng rãi thuyết nguyên tử trong nghiên cứu của họ, chia các nêm thành các nêm nguyên tử có một đỉnh chung với toàn bộ nêm, các cửa thoát nước - thành một số vòng tròn “nguyên tử” có độ dày nhỏ, v.v. *).

Và trong nhiều tác phẩm của Archimedes, ông gặp phải sự kết hợp kỳ lạ giữa phương pháp tiết dịch với lý luận rút ra từ cơ học. Anh ấy đã học cách áp dụng các khái niệm về trọng tâm và đòn bẩy cho lời giải hình học bài toán và bằng cách này đã thu được những kết quả mới mà “toán học thuần túy” vào thời điểm đó** không thể tiếp cận được**). Và vì các kết quả của cơ học cuối cùng đều dựa trên lý luận nguyên tử, nên trên thực tế, Archimedes trong những tác phẩm này đã dựa vào thuyết nguyên tử. Nhưng rõ ràng là anh ấy không viết gì về nó. Giọng điệu toán học tốt vào thời đó dường như yêu cầu các nhà khoa học trình bày kết quả của họ mà không cần đề cập đến phần bị giải phẫu và hang ổ của Democritus. Hoặc có thể Archimedes chưa đọc Democritus - điều này được chỉ ra qua một số chi tiết trong tác phẩm của ông.

Từ những công trình vĩ đại của Archimedes kéo dài đến thế kỷ 16-17, các nhà toán học không thể tìm ra ông đã đồng ý như thế nào, ông cần chứng minh những kết quả gì. Họ chỉ phải đi theo những khúc mắc trong suy nghĩ của Archimedes, chỉ đến cuối cùng mới bị thuyết phục về sự đúng đắn của ông. Nhưng trong một số đoạn được Heron và các học giả khác trích dẫn, có đề cập đến một số thông điệp từ Archimedes gửi cho Eratovthenes. Trong thông điệp này, Archimedes đã viết “về lý luận dựa trên phương pháp, nhưng điều này chưa phải là bằng chứng cho nội dung các tác phẩm của Archimedes. Nhưng để chắc chắn về điều này, cần phải có

*) Điều gây tò mò là ngay cả bây giờ các kỹ sư và nhà vật lý vẫn thích nói về các mặt phẳng cơ bản, các lớp mỏng vô hạn, v.v. mà không cần dùng đến ngôn ngữ chính xác nhưng hơi phức tạp mà các nhà toán học đã sử dụng.
**) Hãy xem điều này trong cuốn sách “Archimedes” của V. F. Kagan.

13

trong tay bạn toàn bộ văn bản của phần tiếp theo. Như thường lệ, một tai nạn hạnh phúc đã giúp ích.

Năm 1906, Popadopulogo-Keramevs, trợ lý giáo sư riêng tại Đại học St. Petersburg, đã tìm thấy một số luận thuyết về Bogoslav trong thư viện của một trong những tu viện không thuộc Rusalem. Vì giấy da rất đắt tiền vào thời Trung cổ, nên họ thường lấy những cuốn sách cổ, rửa hoặc xóa những văn bản ngoại giáo trên đó và viết về cuộc đời của một vị thánh tử đạo nào đó. Bàn tay mà Popadopul quan tâm cũng có nguồn gốc tương tự. Phó giáo sư rất yếu môn toán và không quá quan tâm đến những gì còn sót lại của văn bản bị xóa (may mắn thay, nhà sư viết chuyên luận lười biếng và chỉ xóa văn bản chứ không xóa nó). Ông chỉ đưa ra một đoạn trích nhỏ từ bản thảo cổ. Nhưng đối với nguồn toán học nổi tiếng của Đan Mạch, Heiberg, đoạn trích này đủ để chứng minh rằng nhà sư đã xóa bỏ văn bản của Archimedes. Trong số rất nhiều tác phẩm được Heiberg đọc là tác phẩm cuối cùng của Eratovfenu.

Trong thông điệp này, Archimedes bày tỏ lòng kính trọng đối với công lao của Democritus, nói rằng ông là người đầu tiên thiết lập các định lý về thể tích của hình nón và hình pramid, tuy nhiên, không đưa ra bằng chứng thích hợp cho chúng. Và phương pháp mà Archimedes sử dụng để tiến hành nghiên cứu sơ bộ vấn đề này hóa ra lại gần giống với phương pháp của Democritus. Anh ta phân tách các hình trụ, hình nón và quả bóng thành những vòng tròn cực mỏng, chứng minh vị trí mà anh ta cần cho một trong số chúng, lưu ý rằng kết luận phải đúng với những phần còn lại, và cuối cùng nói: “Vì toàn bộ cơ thể được tạo thành từ những vòng tròn như vậy và được lấp đầy hoàn toàn bởi chúng, nên phát biểu đúng với toàn bộ cơ thể”. Nhưng điều này gần như trùng khớp từng chữ với lý luận của các nhà nguyên tử!

Archimedes hiểu rõ giá trị phương pháp của mình và hy vọng rằng với sự trợ giúp của phương pháp này “một trong những nhà nghiên cứu hiện tại hoặc tương lai… sẽ tìm ra những định lý khác mà tôi chưa từng nghĩ đến”.

Thật không may, tư thế của Archimedes hóa ra lại không được biết đến chính xác đối với những nhà toán học cần nó nhất - những người tạo ra phép tính malch vô hạn, Kepler, Galil, Cavalieri. Nhưng họ, bằng cách sử dụng những gợi ý riêng lẻ, đã tái tạo lại dòng suy nghĩ của Archimedes.

Câu chuyện về cách các ý tưởng nguyên tử được hồi sinh và cách tạo ra phân tích toán học hiện đại sẽ xuất hiện trên các trang «Kvant».

VĂN HỌC

1. Vander Waerden, Khoa học thức tỉnh. Fizmatgiz, 1959.
2. M. Ya. Vygodsky, Số học và đại số trong thế giới cổ đại. Khoa học, 1967.
3. I. A. Geiberg, Khoa học tự nhiên và toán học thời cổ đại.
4. V.F. Kagan, Arrifmet. Gostekhidat, 1951.
5. S. Ya. Lurie. Lý thuyết về malch vô hạn của các nhà nguyên tử cổ đại. Nhà xuất bản Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô, 1935.
6. S. Ya. Lurie, Arrifmet. Nhà xuất bản Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô, 1935.