无限的秘密

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如果有必要，每个部分都可以再次分成多个部分。但如果你继续这种划分，那么迟早有一天，这些部分会变得如此之小，以至于进一步划分它们几乎变得不可能。为了表达如此小的“个体”数量，长期以来一直使用“一粒灰尘”、“罂粟籽”等图像。但如果一粒罂粟种子仍然可以分成几部分，尽管很困难，那么一粒在阳光下飘扬的尘埃也能分成几部分吗？日常经验并没有给出这个问题的答案，我们只能依靠推理，进行纯粹推测性的分析。

我们面前这个问题的附加答案之一属于生活在公元前 5 世纪的某个人。 e.希腊哲学家阿那克萨哥拉。他读到：

“少量之中没有最小的，但减少是持续的，或者现有的不可能不存在。”

他还说：

“万物（在奇迹之初）都在一起，它们无限多，无限小。”

因此，根据阿那克萨戈拉的说法，整个国家是由无数个无限小部分组成的。当然，在这种情况下，我们所说的无穷小并不是像现在数学中的惯例那样趋向于零的变量，而是一个没有维度的点。

但这与希腊数学普遍接受的两个基本原则相矛盾。希腊科学家将所有量分为扩展量和非扩展量。同时，他们相信：

1. 任何无限大的数量（即使是非常小的扩展数量）的总和也必然是无限大的。

2. 任何未扩展数量的总和（尽管无限大）始终等于零，并且永远不能等于某个预定的扩展数量。

事实证明，根据阿那克萨戈拉的观点，构成世界的无穷小既不能延伸，也不能不延伸，也就是说，它们不可能存在。

针对无限可分性的想法，还提出了其他可能性。阿那克萨戈拉·普鲁塔克写道：

“如果将两个量分成几部分可以​​无限期地继续下去，那么就没有理由认为一个量大于另一个量，不平等的本质就被破坏了。”

这个反对意见的意思是，除以后，这些量将由相同（无限）个相同（无限小）的量组成。

静止的世界

请注意，反对无限可分性思想的最有力的论据是由公元前 5 世纪中叶生活在意大利的哲学家埃利亚的芝诺提出的。 e.他“表明”无限分裂的假设导致……否认运动的可能性。芝诺把他的推理以一种生动的、矛盾的形式用尺度来表达。因此，在其中一篇文章中，他“证明”了速度快的阿喀琉斯永远无法完成速度慢的乌龟——毕竟，他首先必须到达A点，即乌龟爬行的地方，然后准确地到达A点。

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l 和更高的表面（具有最小厚度）。例如，根据德谟克利特的说法，圆锥体由厚度最小的圆组成，而金字塔则由相同的多边形组成。他想象球由金字塔形的针组成，其顶部位于球的中心。亚里士多德写道：

“根据德谟克利特的说法，球也会切割，因为它也是有角度的。”

这种方法使德谟克利特解决了几何学家面临的许多问题。所以，他是第一个计算出圆锥体和棱锥体的体积的人，他是第一个计算出球体的体积并计算出球体面积的人。这显然就是他处理金字塔的方式。

首先他证明了两个底等高的金字塔具有相同体积的定理。这里对他来说没有任何补充——根据德谟克利特的说法，相同高度的金字塔由相同数量的相应三角形组成，它们的体积是三角形“体积”的总和（毕竟，根据德谟克利特的说法，三角形是物质的，并且具有最小厚度）。由于金字塔底面的面积相同，因此两个金字塔中相应三角形的“体积”重合，因此金字塔的体积也重合。然后他将三棱柱分成三个金字塔，每个金字塔具有相同的高度和相等的底（见图）。这样，德谟克利特就“证明”了金字塔的体积等于同高同底的棱柱体积的三分之一。金字塔和圆锥体的体积相等，具有相同的高度和相同的底面积，其证明非常简单——它们由相同“体积”的相同数量的图形组成。

德谟克利特如何解决球体体积问题也很清楚。由于球由针状金字塔组成，因此球的体积等于这些金字塔的体积之和。他已经知道如何求出每个金字塔的体积。总结这些体积，他得出了答案：“球体的体积等于球体半径与球体表面积乘积的三分之一。”他无法计算这个面积。

粗糙金字塔

德谟克利特在确定几何体的体积方面取得了显着的成果。但他的大多数同时代人都用他的方法做出了回应。德谟克利特的思想与直接经验的结果相差太大。毕竟，在德谟克利特的几何学中，即使将线段一分为二也是一个非常困难的间隙。由奇数周债务组成的部分不能被分成两半：平均周债务流向其中一半，而这一半变得比另一半更大。本来是不可能分开的

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亚里士多德的瓦岱尔（Vatel）、中世纪的学者托马斯·布拉德瓦林（Thomas Bradvarin）认为，“所有科学体系只有在不基于连续状态由每周状态组成的假设的情况下才是正确的。”早在 17 世纪，巴黎议会就威胁要判处所有反对亚里士多德观点的人死刑。部分是对所有原子论的支持者。

耗尽法

因此，数学家必须对德谟克利特的周方法和无限过程做出回应——芝诺的批评破坏了人们对使用无穷概念获得的结果的信心。结果，出现了一个困难的情况——德谟克利特的方法，尽管通过松散的计算，提供了计算面积和体积的正确公式；现在有必要开发一种计算几何量的新程序，其中不会提及无穷大、无穷小或几周。这个程序创建于 4 世纪。公元前欧几里得的前身是数学家欧多克索斯，他提出了“穷举法”（或者说“穷举法”），许多人将其视为现代极限法的鼻祖。欧几里得在《几何原本》中广泛使用了这种方法。

例如，以下是欧几里得如何证明两个圆的面积等于其直径的平方：

$$\frac{S_1}{S_2} = \frac{d_1^2}{d_2^2}.$$

这可能不是真的。然后$$\frac{d_1^2}{d_2^2} = \frac{S_1}{S},$$，其中$S$小于或大于$S_2$。

我们首先假设$S < S_2$。让我们在直径为 $d_2$ 的圆内接一个正方形，并构造正内接多边形，依次将边数加倍。很容易证明，经过几步，圆的面积与内切多边形面积$P_2$的差

变得大于$S_2 - S$，即$S_2 - P_2 < S_2 - S$，因此$P_2 > S$。现在让我们在直径为 $d_1$ 的圆内接一个与直径为 $d_2$ 的圆内接的多边形类似的多边形；我们用$P_2$表示这个多边形的面积。由于相似正多边形的面积与外接圆直径的平方相关，因此

$$\frac{P_1}{P_2} = \frac{d_1^2}{d_2^2}.$$

但我们承认 $$\frac{d_1^2}{d_2^2} = \frac{S_1}{S},$$ 因此

$$\frac{P_1}{P_2} = \frac{S_1}{S}$$

或者，由于比例的特性，

$$\frac{P_1}{S_1} = \frac{P_2}{S}.$$

但是$P_1 < S_1$（内接多边形的面积小于圆的面积），而$P_2$，如刚刚所示，大于$S$。所以，等式（*）左边小于一，右边大于一，这是荒谬的。这意味着不等式$S < S_2$是不可能的。

同理，证明了不等式$S > S_2$是不可能的（自己证明一下！）。

因此，假设$S < S_2$、$S > S_2$已确定，并且仍然是唯一可能的：$S = S_2$，即$$\frac{d_1^2}{d_2^2} = \frac{S_1}{S_2}.$$

但如果对于一个圆来说，结果很容易猜到，而且计算也不是太复杂，那么计算圆锥体的体积或源的参数就是一件复杂而令人困惑的事情。然而，锥体和参数仍然是可能的——毕竟，答案在德谟克利特时代就已经知道了，而欧多克索斯只需澄清德谟克利特的信息，根据源方法将参数划分为每周给定的具有差异的三角形即可。

但是当需要寻找德谟克利特没有涉及的数据卷时

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例如，有一个垂直椭球体或垂直抛物面，情况就完全糟糕了——不知道用什么值来证明体积不能大于或小于该值。换句话说，模态演算方法只能证明已经找到的结果，而不能发现新的结果。

懒惰也是有用的

然而，欧多克索斯之后的数学家并不太热衷于发现新公式。此时科学思想的中心从希腊转移到埃及，在那里，在亚历山大博物馆托勒密王朝的指导下，科学家们研究天空，系统化以前积累的数学知识，写书以纪念科学的崇高赞助人，并抄写古代手稿。必须指出的是，亚历山大科学家所做的事情并不少，只是他们的工作更具追随者的特征。他们开发了以前可用的东西，而不是出售新的路径。

亚历山大科学家这个安静的家庭中为数不多的例外之一是锡拉库扎国王阿基米德的亲戚，他从遥远的锡拉丘兹来到这里进行研究。与当时的大多数科学家不同，他不仅对高深理论感兴趣，而且对科学的实际应用感兴趣，发明了螺杆泵，然后使用了多个世纪，制造了机械玩具，后来当他的家乡被罗马人围困时，他制造了军事机器。显然，阿基米德对力学、杠杆平衡、物体漂浮等产生了兴趣。而力学从柏拉图时代起就与纯科学分离，被认为是类似于手工艺的东西。因此，力学并没有仔细监控推理的严谨性，力学在研究中广泛使用原子论，将楔子分裂成原子——与整个楔子有共同顶点的楔子、出水口——分裂成许多厚度较小的“原子”圆，等等*）。

在阿基米德的许多作品中，他遇到了渗出方法与力学推理的奇怪结合。他学会了将重心和杠杆的概念应用到几何问题的解决中，从而获得了当时“纯数学”无法达到的新结果**）。由于力学的结果最终是基于原子论推理，那么实际上阿基米德在这些著作中依赖于原子论。但显然他没有写任何相关内容。当时良好的数学基调似乎要求科学家在展示他们的结果时不提及德谟克利特的被诅咒和巢穴。或许阿基米德还没有读过德谟克利特——他的著作中的一些细节表明了这一点。

从阿基米德流传到16-17世纪的伟大著作中，数学家们无法找出他是如何达成一致的，以及他需要证明什么结果。他们只需遵循阿基米德的思想，直到最后才确信他的正确性。但在赫伦和其他学者引用的一些段落中，提到了阿基米德给埃拉托夫梯尼的一些信息。在这条消息中，阿基米德写道“关于基于方法的推理，但这还不能证明阿基米德著作的文本。但为了确定这一点，有必要

*）奇怪的是，即使是现在，工程师和物理学家也更喜欢谈论基本平面、无限薄层等，而不诉诸数学家使用的精确但有些复杂的语言。
**) 请参阅 V. F. Kagan 的书《阿基米德》了解这一点。

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续集的全文就在你的手中。正如经常发生的那样，一次愉快的意外有所帮助。

1906 年，圣彼得堡大学的一位私人助理教授 Popadopulogo-Keramevs 在非鲁萨列姆修道院的图书馆中发现了一些博戈斯拉夫的论文。由于羊皮纸在中世纪非常昂贵，他们通常会拿走古书，清洗或擦除其中的异教文本，并写下一些神圣烈士的生平。波帕帕普尔感兴趣的那只手也有同样的起源。助理教授数​​学很弱，对被抹掉的文字残留物不太感兴趣（幸好写论文的和尚比较懒，只抹掉了文字，并没有抹去）。他只摘录了古代手稿的一小部分。但对于著名的丹麦数学源海伯格来说，这段摘录足以证明这位修道士洗掉了阿基米德的文本。在海伯格读过的众多作品中，埃拉托夫费努的最后一部作品是他读过的。

在这篇文章中，阿基米德赞扬了德谟克利特的功绩，称他是第一个建立圆锥体和普拉德体积定理的人，但没有给出适当的证明。阿基米德初步研究这个问题的方法与德谟克利特的方法很接近。他将圆柱体、圆锥体和球体分解成极细的圆，证明了其中一个圆的位置，并指出结论对于其余圆也一定成立，最后说：“由于整个身体是由这样的圆组成并完全充满它们，因此该命题对于整个身体也成立。”但这与原子论者的推理几乎一字不差！

阿基米德非常了解他的方法的价值，并希望借助这种方法“当前或未来的研究人员……将找到我尚未想到的其他定理”。

不幸的是，阿基米德的姿势对于那些最需要它的数学家来说却是未知的——无限马尔赫微积分的创造者、开普勒、加利尔、卡瓦列里。但他们通过个人的暗示，重建了阿基米德的思路。

原子论思想如何复兴以及现代数学分析如何创建的故事将出现在«Kvant»页上。

文学

1. 范德瓦尔登，《觉醒科学》。菲兹马吉兹，1959。
2. M.雅。维果斯基，古代世界的算术和代数。科学，1967。
3. I.A.盖伯格，古典时期的自然科学和数学。
4. V.F.卡根，阿里梅特。戈斯特克希达特，1951。
5. S.雅。卢里。古代原子论者的无限马尔赫理论。苏联科学院出版社，1935 年。
6. S.雅。卢里，阿里梅特。苏联科学院出版社，1935 年。