莫斯科国立师范学院数学系数学入学考试。 V·I·列宁娜

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入学考试
数学方面
在数学系
莫斯科州
教育学院
他们。列宁
V·多罗菲耶夫先生

一个师范学院的学生，必须走过现代数学高楼的许多层楼，才能成为一名知职的好老师。但它应该研究这座建筑物的陡峭楼梯，该建筑物完全没有电梯，也许只有那些在学校已经牢固地扎根在地基中的人才能使用。

这样的申请人是有的，而且数量还不少。这其中很大一部分人已经了解了数学的吸引力，并认识到它对现代生活的重要性和意义。但是，数学条件的令人自豪的特性（不幸的是，太多了）决定了他们人生的唯一目的是成为职业数学家或物理学家。

与此同时，现在生活的各个领域都需要优秀的数学专家。为了让他们做好准备，我们只需要经验丰富的新教师。反过来，教师本身的资格取决于进入教育机构的人的数学素养，取决于他们对未来职业的兴趣和热爱。

去年，在莫斯科国立师范学院数学系。六、 Lenin 收到了 175 个名额的 475 份申请——每个名额大约有 2.7 份申请。为了进行比较，我们注意到，绝大多数人想成为非数学教师和非教师数学家：例如，在我们学院的俄语语言文学学院，有 8.3 名申请者，而在莫斯科国立大学力学和数学学院，有 6 名申请者。

在1969年的笔试中，考生有多个选项，每个选项包含5个问题。所有工作都给了4个小时。 “测试”，一——

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然而，它并不是针对所有问题，而是针对解决得最好的四个问题。

这项任务的选择方式是，一个不想费心进行任何形式计算的几何爱好者可以获得A，但为了证明他忽视技术改造的“正确”——这也是数学艺术的组成部分之一——他必须克服特殊的几何困难。同样，不喜欢几何的“代数学家”或“分析家”可以省去理解相对复杂的几何构型的麻烦，但“作为回报”，他必须解决形式性质的非标准问题。

要获得“3”分，解决两个问题就足够了。尽管这个标准不是很强，但第二个结果是内部的 - 224*）。不幸的是，一些不成功的作品是由奖牌获得者和数学学校（包括莫斯科数学学校）的毕业生撰写的。

但尤其令人不快的是，大多数糟糕的作品都包含着丑陋的错误。此类作品的作者们的想象力实在是太丰富了，无法一一列举所有这些“珍珠”。然而，我们仍然会提到一个甚至令经验丰富的审查员感到惊讶的问题：在我决定两个圆的公共弦的问题绘图的一幅作品中，这些圆（不同的！）也有一个共同的弧线，在这条弧线之外，它们可以向不同的方向发散。

所有这些都意味着，并不是所有的大学申请者都懂数学，即使是初级水平的数学。其中许多在数学处理方面存在重大问题。与其说是关于知识的广度，不如说是关于知识的深度，请注意，莫斯科人和非居民申请者在数学考试（笔试和口试）方面的表现大致相同。

选项

1. 解方程
   $$\sqrt{1 - \log_2 x^2} \cdot \log_2 x = -1.$$

2. 解决不平等问题
   $$2 \cos x (\cos x - \sqrt{8} \mathrm{tg} x) < 5.$$

3. 由边 $a$ 和 $2a$ 构成的矩形 $ABCD$ 位于矩形的底边，其所有侧边都等于 $\sqrt{3}$。求穿过底$BD$对角线与边$AS$平行的直线的横截面积。

4. 通过两个圆的公共弦$AB$的端点$A$画一条直线，与第一个圆相交于点$C$，与第二个圆相交于点$D$。证明通过点$C$到第一个圆和通过点$D$到第二个圆所画的切线的交点与点$B$、$C$和$D$位于同一圆上。

5. 证明如果
   $$3x^2 - 31x + 80 < 0,$$
   那
   $$\cos \frac{3}{6-x} < 0.$$

解决方案

任务 1. 由于给出了 $\log_2 x^2 = 2 + \log_2 x$ 和 $\log_2 x^4 = \frac{1}{\log_2 x^2} = -\frac{1}{4 + \log_2 x}$，方程简化为以下形式
$$\sqrt{3 - \log_2 x} = -4 - \log_2 x.$$
用$y$表示$3 - \log_2 x$，我们得到方程
$$\sqrt{y} = y - 1.$$

令人惊讶的是，即使是这样一个简单的方程的解也不是

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很多申请者都可以做到。大家都同意两边都平方，得到一个根为$y_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$的二次方程，但随后却出现了不同的“观点”；有些人甚至没有想到，有了这样的解决方案，根可能会出现；其他人知道这种情况可能发生，但不知道为什么，并且通常有信心构建那些不包含在允许值范围内的根；还有一些人尝试通过直接代入方程来检查根——这种方法原则上是正确的，但只方便检查“好”根，而$y_1$和$y_2$不是很“好”。

然而，绝对不可想象的是，由于等式()的左边是非负的，那么$y_1$和$y_2$的根将只是右边也是非负的数。因此，方程()的唯一根是$y = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$，找到$x$我们得到方程$\log_x 2 = \frac{-(9 + \sqrt{5})}{2}$，这意味着$x = 2^{-\frac{2}{9 + \sqrt{5}}}$。

我们强调：求解时，我们完全不用求原方程的ODZ。与此同时，最近申请人中普遍存在一种偏见，认为任何方程或等式的解都必须从计算 ODZ 开始给出。然而，这种观点没有理论依据，而且在实践中也是有害的：走这条路的人不仅要解这个方程，还要解他自己发明的对数方程$-1 - \log_x 2x^2 \geq 0$——这个问题同样困难。一般来说，在决策之初是否有必要找到ODZ并没有严格的规定，而且在选择路径时，申请人已经可以表现出他能够具体和独立思考的程度。

问题2.我们不会详细解决这个不平等问题。打开括号，我们很容易得到 sin $x$ 的二次不等式：

$$2\sin^2x + 4\sqrt{2}\sin x + 3 > 0,$$

求解我们得到最简单的三角不等式 $\sin x > -\frac{\sqrt{2}}{2}$。但是……这正是大多数申请者未能应对的。我们不会分析通常完全没有意义的数据和答案，而只是吸引未来申请者对此类任务的注意。解决方法在教科书和很多手册中都有充分的描述，你只需要了解它即可。我们还需要注意的是，即使那些正确解决了最简单的不等式的人也并不总是记得，从最终的解决方案中，有必要丢弃这些值 $x$，对于 tg 来说没有意义 $x$.

问题3：对于那些习惯于只在正则几何体上解决问题的申请人来说，事实证明这太“危险”了。他们无法拒绝模式并错误地想象了给定的几何配置。因此，许多人“出于习惯”认为$\triangle BKD$的高度就是线段$KO$（图1）。

但大家都知道，几何方程只是解决问题的辅助手段，图中“看到”的事实还需要严格确认。

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展示。但不幸的是，许多人纯粹抽象地知道这一点，但在实践中却忽略了证明，有时甚至在完全不清楚我们正在谈论哪些垂直线的情况下，仅限于诸如“根据三垂线定理这是正确的”之类的短语。

与此同时，证明$KO$和$BD$垂直的一个小尝试立即导致了反对。事实上，如果是这样，那么对角线 $BD$ 将垂直于 $SO$ 和 $KO$，即垂直于平面 $ASC$，因此也垂直于对角线 $AC$。但从条件中可以清楚地看出，底面的对角线不是垂直的。

并正确构造高度 $\triangle BKD$ 需要从点 $K$ 画一条垂直于 paramid 底面的平面，证明它的底面 $O_1$ 位于 $AC$ （之前已证明 paramid 的高度经过该点 $O$ 对角线的交点），并从点 $O_1$ 垂直于执行 $BD$。部分 $KL$，根据三垂线定理，高度为 $\triangle BKD$。为了完成任务，还会遇到一个语句——并行 $OK$ 和 $AS$，而且还需要证明。此后，问题的计算部分就毫无困难地进行。

问题 4. 在平面学提出的问题中，这对申请者来说是最困难的问题之一：在 93 名解决了相应选项的人中，只有 3 人完全解决了它。同时，在 D. Polya 的两本替代书中《如何解决问题》中有一个非常简单、最重要的是完美的自然解决方案。

事实上，点 $K$ (图 2) 位于指定的圆上是什么意思？这意味着圆可以外接四边形 $BCKD$。什么时候可以围绕四边形画圆？当其直角之和等于$180^\circ$时。因此，有必要从问题的条件中提取一些关于角度相等的陈述。

与这个问题相关的关于角度相等的定理是什么？只有切线和弦之间的角度以及内切角的定理。根据这些定理，图 2 上相同标记的角是相等的。现在我们不禁要报告，四边形$BCKD$在顶点$B$和$K$处的对角之和等于角$\Delta CKD$的和，即$180^\circ$。当然，由此可知另外两个对角之和也等于$180^\circ$，所要求的命题得证。

大多数解决这个问题的人的失败显然可以简单地解释为九年级和十年级的学童很大程度上忘记了最简单的平面定理，并且在直接准备考试的过程中懒得填补这一空白。八年级毕业生很可能比具有一般知识的申请者更成功地应对这项任务。

问题 5。事实证明，此类任务具有中等难度，大多数接受其解决方案的人或多或少都正确地完成了任务。然而必须要说的是，很多人并没有承担这个任务，尽管它比其他人简单。显然，这里“心理准备不足”仍然表现出来。