hình elip

27

hình elip

I. N. Bronstein

Giới thiệu

Cho: một điểm O và một đường tròn C nằm trong mặt phẳng không đi qua O.
Cho một đường thẳng vô hạn theo cả hai hướng (như chúng ta mong đợi trong hình học), di chuyển sao cho nó luôn đi qua O và đi qua một trong các điểm của đường tròn C.
Với chuyển động này, một đường thẳng mô tả một bề mặt gồm hai chuông (dải).
Đây là bề mặt cuối cùng. *).
Nếu nó giao nhau bởi các mặt phẳng khác nhau thì chu trình không đi qua điểm O, khi đó trong quá trình tạo ra các đường cong, được gọi là phần cuối cùng.
Công dụng của chúng:
elip, hyperbol và parabol.
Họ đã được biết đến ở Hy Lạp cổ đại. Chúng được phát hiện bởi một Menaechmus nào đó vào khoảng năm 360 trước Công nguyên, và chúng đến với chúng ta qua công trình đáng chú ý của nhà toán học xuất sắc Apollonius, được viết 200 năm sau đó.
Đường cong đầu tiên được thảo luận ở đây.

*) Chỉ có một khoang của bề mặt cuối cùng được hiển thị bên trái.

Mọi người đều biết con số này. Nó được gặp trong thiên văn học và địa lý tiểu học (quỹ đạo chuyển động của các hành tinh và vệ tinh, hình dạng kinh tuyến của trái đất, đường đi của electron quanh nguyên tử), trong vẽ, vẽ và đo lập thể (bản vẽ các chi tiết kỹ thuật, vật thể tròn và các vật thể hình học), nhưng hình elip là gì, tại sao nó lại thú vị - và đây thực sự là một nhân vật tuyệt vời, sở hữu những đặc tính đẹp và quan trọng - không có gì nói về điều này trong sách giáo khoa ở trường.

Đối với câu hỏi “hình elip là gì?” một người sẽ trả lời: “một hình tròn thon dài” hoặc “một hình tròn thon dài” *), những người khác - “một hình tròn nén (hình tròn)”, những người khác - “hình bầu dục cong”, những người khác sẽ không trả lời bất cứ điều gì mà chỉ đơn giản là tạo ra một bức vẽ ít nhiều thành công; Mỗi điều trong số đáp số này đều có một số sự thật, nhưng chúng cần được làm rõ thêm.

Chẳng hạn, có đủ để nói rằng hình elip là một đường cong hình bầu dục không?

*) Đường tròn là một đường thẳng và đường tròn là một phần của mặt phẳng bên trong nó. Đối với một hình elip, không có từ nào tương tự: cả đường cong và phần mặt phẳng bên trong nó đều được gọi giống nhau, người ta nói: “chiều dài của hình elip”, “diện tích của hình elip”. Trong mỗi trường hợp, người đọc có thể dễ dàng xác định được ý nghĩa của từ “hình elip” đang được thảo luận.

28

Hình 1. Chỉ có hình bầu dục màu đỏ là hình elip.

hình thức mới? Những từ này thường có nghĩa là một đường thẳng có hai trục đối xứng CD và EH, được vẽ thành hình chữ nhật PQRS và đặt trên một đường tròn (Hình 1). Ý nghĩa tương tự cũng được bao gồm trong các từ “nén” hoặc “vòng tròn mở rộng”. Nhưng bạn có thể viết nhiều đường cong loại này trong một hình chữ nhật - một số trong số chúng được hiển thị trong Hình 1. Chỉ một trong số chúng - màu đỏ - có quyền được gọi là hình elip. Nó nổi bật như thế nào so với các đường cong khác?

Chúng cũng có thể thu được bằng cách nén

bằng cách kéo dài (hoặc kéo dài) vòng tròn, nhưng điều này sẽ không đồng đều. Để hiểu điều này, chúng ta hãy tham khảo phép biến đổi hình học của mặt phẳng - biến dạng dọc trục đều hoặc nói ngắn gọn là biến dạng.

Sự biến dạng *)

Chúng ta lấy một đường thẳng l nhất định trong mặt phẳng Π cho trước và một số dương k cho trước. Chúng ta sẽ gọi biến dạng của mặt phẳng P so với trục l có hệ số k là sự biến đổi của mặt phẳng thành chính nó, trong đó mỗi điểm m của nó tiến đến điểm M theo quy tắc:

1. cả hai điểm m và M nằm trên cùng một phương vuông góc với trục l ở một phía của nó; các điểm nằm trên trục vẫn đứng yên;

2. khoảng cách của điểm đến trục được nhân với k, nghĩa là $m_0M = k \cdot m_0m$, trong đó $m_0$ là đáy của đường vuông góc từ điểm m đến trục l (Hình 2, a, b).

Nếu $k > 1$, thì tất cả các điểm của mặt phẳng (ngoại trừ điểm trên chính trục) sẽ di chuyển ra khỏi trục - mặt phẳng căng và nếu $k < 1$, thì chúng tiến đến gần trục -

*) Từ này (từ tiếng Latin “biến dạng” - thay đổi hình dạng) được sử dụng ở đây cùng với thành ngữ “kéo dài hoặc lăn”.

Hình 2. Biến dạng có hệ số a) $k = \frac{2}{3}$ b) $k = \frac{2}{3}$.

29

---

running_head:
folio:

Hình 3. Biến dạng với $k=2$ và $k=\frac{1}{2}$. Chú ý sự thay đổi độ dốc của mái nhà.

máy bay sụp đổ. Khi $k=1$ tất cả các điểm của mặt phẳng vẫn giữ nguyên; trường hợp sau được gọi là phép biến đổi phương thức-vận mệnh.

Cho một số hình $\omega$ (tức là một số tập hợp điểm) trên mặt phẳng Π. Chúng ta sẽ quan tâm đến tập $\Omega$ của tất cả các điểm thu được từ $\omega$ do biến dạng (xem Hình 3, 4).

Elipis là gì? Các yếu tố của Elipis

Hình elipis là một hình được gọi là

Hình 4. Biến dạng ảnh quả bóng đá với hệ số $k=\frac{1}{2}$ (dưới cùng bên trái) và $k=2$ (phải).

thu được bằng sự biến dạng của vòng tròn so với đường kính của nó (Hình 5).

Gọi $a$ là bán kính của hình tròn; khi đó đường kính $cd$ của nó nằm trên trục sẽ biến thành chính nó $(CD=2a)$, còn đường kính $eh$ vuông góc với nó sẽ biến thành đoạn $EH$ $(EH=2ka)$. Chúng ta hãy biểu thị độ dài của đoạn $OE$ $(=OH)$ bằng $b$. Sau đó $ka=b$.

Các đoạn $CD$ và $EH$ được gọi là các trục của hình elip; các số $a$ và $b$ sẽ được gọi là bán trục của elipis. Nếu $k>1$ (kéo dài), thì $b>a$ (Hình 5).

Hình 5. Elipis - biến dạng chu vi

30

Hình 6. Bằng cách này bạn có thể vẽ một hình elip.

Nếu $k < 1$ (nén), thì $b < a$ (Hình 6). Với $k = 1$ (chuyển đổi nhận dạng), vòng tròn biến thành vòng tròn. Để không vi phạm tính tổng quát của định nghĩa hình elip, chúng ta đồng ý coi đường tròn là trường hợp đặc biệt của hình elip ($b = a$). Các đoạn lớn hơn $CD$, $EH$ được gọi là trục chính của hình elip, đoạn nhỏ hơn - trục nhỏ. Vì vậy, nếu $k > 1$ thì $a$ là bán trục phụ và $b$ là trục chính và nếu $k < 1$ thì ngược lại.

Trong cả hai trường hợp $k = \frac{b}{a}$.

Điểm $o$—tâm của vòng tròn—sẽ biến thành chính nó ($o \rightarrow O$) trong quá trình biến dạng. O được gọi là tâm của hình elip, các điểm $C$, $D$, $E$ và $H$ là các đỉnh của nó.

Hình vuông $pqrs$, ngoại tiếp hình tròn (“mẹ” của hình elip), một cạnh song song và mặt kia vuông góc với trục biến dạng, được biến thành hình chữ nhật $PQRS$ từ các cạnh $2a$ và $2b$, ngoại tiếp hình elip; nó được gọi là đặc điểm của hình elip của chúng ta, vì nó hoàn toàn xác định nó. Các cạnh của hình chữ nhật Đặc trưng chạm vào hình elip ở các đỉnh của nó.

Làm thế nào để làm cho hình elip dày hơn?

Nếu đã cho các trục của hình elip, thì cách dễ nhất là đo hình elip bằng tay bằng cách trước tiên dựng một hình chữ nhật đặc trưng rồi nội tiếp một đường cong hình bầu dục vào đó. Nhưng phương pháp này, chỉ cần thực hành một chút, có thể tự tin vẽ một hình elip gần như thật). Chúng ta đã biết rằng có nhiều đường cong hình bầu dục có cùng trục. Bạn có thể xây dựng chính xác bao nhiêu điểm góc của hình elip. Cách phổ biến và đơn giản nhất để xây dựng như vậy được thể hiện trong Hình 6.

Trong hình này, hai vòng tròn đồng tâm có bán kính $a$ và $b$. Hãy tự mình tìm ra cách xây dựng này và chứng minh tính hợp pháp của nó, tức là chứng minh rằng trong hình có $6$ $m_0M = m_0m \cdot \frac{b}{a}$.

Bằng cách tạo cấu trúc này cho một số điểm $m_1$, $m_2$, $m_3$, … của một đường tròn có bán kính $a$, chúng ta có thể biết được có bao nhiêu điểm góc của hình elip. Tất cả những gì còn lại là kết nối chúng bằng một đường thẳng bằng tay hoặc sử dụng mẫu.

Nhưng thật thú vị khi đo một hình elip bằng một chuyển động liên tục, tức là không nhấc bút chì ra khỏi giấy, giống như chúng ta vẽ một vòng tròn bằng compa. Điều này có thể được thực hiện bằng một thiết bị đặc biệt - hình elip. Chúng ta sẽ nói về nó dưới đây khi chúng ta làm quen với phương trình của hình elip. Nhưng trước tiên chúng ta cần tìm hiểu phương trình đường thẳng là gì.

Phương trình đường thẳng *)

Một trong những phương pháp thay thế được phát hiện vào thế kỷ 17 là phương pháp tọa độ, cho phép người ta dịch các khái niệm hình học sang ngôn ngữ đại số. Phương pháp này cho phép thiết lập sự tương ứng giữa các đường nằm trong mặt phẳng nơi cài đặt hệ tọa độ và các phương trình chứa hai chữ cái $x$ và $y$.

Phương trình của một đường nhất định là phương trình như vậy cho $x$ và $y$, phương trình này chuyển về cùng một vị trí khi các giá trị $(x_0, y_0)$ được thay thế vào đó trong đó và chỉ trong đó

*) Bạn có thể đọc thêm về phương trình đường thẳng trong bất kỳ sách giáo khoa nào về hình học giải tích.

31

Hình 7. $m(x_{окр}, y_{окр})$ là một điểm trên đường tròn, $M(x_0, y_0)$ là một điểm trên hình elip.

trường hợp điểm có tọa độ $(x_0, y_0)$ nằm trên đường thẳng này.

Chúng ta cũng có thể nói rằng một đường thẳng được xác định bởi một phương trình là quỹ tích các điểm có tọa độ thỏa mãn phương trình này.

Ví dụ: phương trình $y=x$ là phương trình phân giác của góc tọa độ I và III, phương trình đường tròn bán kính $a$ có tâm tại gốc tọa độ sẽ được viết như sau: $x^2+y^2=a^2$.

Nó có thể dễ dàng thu được từ định lý Pythagore.

phương trình elip

Một hình elip có bán trục $a$ và $b$ thu được từ một đường tròn có bán kính $a$ bằng cách biến dạng với hệ số $k=\frac{b}{a}$ (Hình 7). Chúng ta hãy thiết lập các trục tọa độ trên mặt phẳng nơi đặt cả hai đường thẳng này; Hãy hướng trục $OX$ dọc theo trục biến dạng và trục $OY$ qua tâm đường tròn (cũng là tâm của hình elip) vuông góc với trục $OX$. Đặt $m$ là điểm bất kỳ trên đường tròn và $M$ là điểm của hình elip mà $m$ đi qua.

tọa độ của điểm $m$ được ký hiệu là $(x_{окр}, y_{окр})$ và tọa độ của điểm $M$ được ký hiệu là $(x_0, y_0)$. Rõ ràng, theo định nghĩa biến dạng

$$x_0=x_{окр}, y_0=k \cdot y_{окр},$$

(*)

Hình 8. Điểm $M$ mô tả một hình elip.

Ở đâu

$$x_{окр}=x_0, y_{окр}=\frac{y_0}{k}.$$

Nếu chúng ta thay tọa độ của bất kỳ điểm $(x_{окр}, y_{окр})$ nào của nó vào phương trình đường tròn $x^2+y^2=a^2$ thì đẳng thức sẽ đúng

$$x^2_{окр}+y^2_{окр}=a^2,$$

nghĩa là thay $x_{окр}$ và $y_{окр}$ theo công thức (*) ta thấy đẳng thức cũng sẽ đúng

$$x^2_{9}+\frac{y^2_{9}}{k^2}=a^2$$

cho bất kỳ điểm nào $M$ $(x_0, y_0)$.

Nếu điểm $M'(X', Y')$ không nằm trên hình elip, thì điểm $m'(x', y')$, rơi vào $M'$ do biến dạng, không nằm trên đường tròn và phương trình $(x')^2+(y')^2=a^2$ sai; Điều này có nghĩa là phương trình $(X')^2+\frac{(Y')^2}{k^2}=a^2$ cũng sai.

Từ định nghĩa phương trình đường thẳng ta thu được phương trình sau của hình elip

$$x^2+\frac{y^2}{k^2}=a^2.$$

Nhận thấy rằng $ka=b$, chúng ta có thể rút gọn phương trình này về dạng

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$$

Đây là phương trình của hình elip ở dạng thuận tiện nhất (được gọi là chính tắc).

32

Chúng ta hãy xem xét một hình học bài toán như vậy (Hình 8).

Đoạn $PQ$ di chuyển trong mặt phẳng sao cho một đầu $Q$ của nó trượt dọc theo đường thẳng $OX$, và đầu $P$ còn lại trượt dọc theo đường thẳng $OY$ vuông góc với nó. Điểm $M$ của đoạn này $(MP=a, MQ=b)$ bao gồm đường nào?

Hãy chứng minh rằng đường cong này là một hình elip. Chúng ta hãy áp dụng phương pháp tọa độ (Hình 9) - cho các trục tọa độ được sử dụng dọc theo đoạn đó trượt. Đặt tọa độ của điểm là $M-x$ và $y$ (chúng phụ thuộc vào góc $PQO$). Từ sự giống nhau của các tam giác $QNM$ và $MLP$ ta có $\frac{NM}{LP} = \frac{QM}{MP}$ hoặc $\frac{y}{\sqrt{a^2-x^2}} = \frac{b}{a}$.

Phương trình (1) chưa thể được gọi là phương trình của quỹ đạo mong muốn: nó được biên soạn dựa trên Hình 9, trong đó đoạn nằm trong một phần tư và cả hai tọa độ của điểm $M$ đều dương. Chỉ với điều kiện này, chúng ta mới có thể giả sử rằng $ON=x$ và $NM=y$; nếu đoạn nằm trong quý II, III hoặc IV trong Hình 8 thì bạn cần đếm $ON=\pm x$, $NM=\pm y$, mỗi lần chọn các dấu hiệu cần thiết.

Hình 10. Máy đo elip.

Tuy nhiên, phương trình (1) cũng phù hợp với quý thứ hai, vì $x$ là bình phương và việc thay đổi dấu của $x$ sẽ không làm thay đổi phương trình này. Đối với quý III và IV, phương trình (1) nên được thay thế bằng:

$$-\frac{y}{\sqrt{a^2-x^2}} = \frac{b}{a}.$$

Cặp phương trình (1) và (2) có thể được thay thế bằng một phương trình duy nhất

$$\frac{y^2}{a^2-x^2} = \frac{b^2}{a^2},$$

dễ dàng rút gọn về dạng

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$

Đường cong cần thiết là một hình elip.

Thiết kế của máy đo hình elip dựa trên kết quả thu được. Một cây thánh giá được đặt trên giấy hoặc bảng vẽ, trong đó có hai khe vuông góc với nhau (Hình 10). Ba khớp nối được nối với thanh thẳng, có thể được cố định tại bất kỳ điểm nào trên thanh. Các nút bịt bên ngoài $P$ và $Q$ có thể đi vào các khe của hình chữ thập, còn nút ở giữa $M$ được trang bị bút chì để vẽ một hình elip khi thanh di chuyển. Sau khi đã cố định các phần bịt dọc theo các nửa trục đã cho $PM=a$, $MQ=b$, chúng ta có thể vẽ một hình elip bằng các nửa trục này.

33

Tiết diện nghiêng của hình trụ tròn - hình elip

Bằng cách cắt một hình trụ tròn với một mặt phẳng không vuông góc cũng không song song với trục của nó, chúng ta thu được các hình bầu dục thon dài nhiều hay ít, tùy thuộc vào góc nghiêng của mặt cắt. Điều này có nghĩa là bà nội trợ nào cũng cắt xúc xích thành từng lát cho khách và thường (để “tiết kiệm”) làm cho góc đủ sắc để hình bầu dục có diện tích lớn hơn.

Chúng ta hãy chứng minh rằng những phần này không chỉ là hình bầu dục mà còn là hình elip thực. Để làm được điều này, chỉ cần chứng minh rằng hình bầu dục thu được từ một hình tròn (đế của hình trụ) bằng cách kéo dài là đủ; hệ số $k$ bằng $\frac{1}{\cos \alpha}$, trong đó $\alpha$ là góc giữa các mặt phẳng của tiết diện và đáy của hình trụ.

Chúng ta vẽ (Hình 11) ở đáy hình trụ hai đường kính vuông góc với nhau: $cd$ - song song và $eh$ - vuông góc với đường giao nhau của cả hai mặt phẳng và vẽ qua chúng các mặt phẳng $cdDC$ và $ehHE$, song song với trục của hình trụ, cũng như mặt phẳng $M_0Mmm_0$, song song $ehHE$ đi qua điểm $M$ của phần này. Biết rằng độ dài hình chiếu của một đoạn lên một đường thẳng nhất định bằng độ dài của chính đoạn đó,

nhân với cosin của góc giữa nó và hình chiếu của nó, ta được

$$\frac{M_0M}{m_0m} = \frac{OE}{oe} = \frac{b}{a} = \frac{1}{\cos \alpha} = k.$$

Nếu bây giờ chúng ta đặt cả hai hình $CEDH$ và $cedh$ trên cùng một mặt phẳng sao cho $CD$ thẳng hàng với $cd$, thì chúng sẽ có vị trí như trong Hình 5, với $M_0M = m_0m \cdot \frac{1}{\cos \alpha} = m_0m \cdot k$, trong đó $k > 1$.

Điều này chứng minh tuyên bố của chúng tôi.

Điều thú vị là đối với mỗi hình elip, bạn có thể chỉ định một vị trí sao cho nó trở thành mặt cắt ngang của một hình trụ tròn, bán kính của nó bằng diện tích nhỏ của hình elip. Để làm điều này, trước tiên bạn cần lấy một phần vuông góc của hình trụ và xoay mặt phẳng của phần này xung quanh một trong các đường kính của hình tròn thu được một góc có cosin bằng $\frac{a}{b}$.

Điều này luôn luôn có thể kể từ đây.

Đường kính hình elip giao phối

Một tính chất thú vị của hình elip ngay lập tức được rút ra từ kết quả cuối cùng: trung điểm của tất cả các dây cung song song của hình elip tạo thành một đoạn thẳng đi qua tâm của hình elip (Hình 12). Khách sạn này rất ấn tượng

34

Hình 13. Chứng minh tính chất đường kính liên hợp.

đối với đường tròn: trung điểm của các dây song song của nó nằm trên đường kính vuông góc với các dây đó. Bây giờ đặt hình elip vào vị trí của phần hình trụ tròn và vẽ một loạt mặt phẳng song song với trục của hình trụ thông qua các dây cung song song của hình elip (Hình 13). Trong mặt phẳng có tiết diện vuông góc của hình trụ, thu được các dây cung song song của hình tròn, các mặt cắt ngang của chúng nằm trên đường kính của nó. Trung điểm của các dây cung của hình elip nằm ở giao điểm của mặt phẳng hình elip và mặt phẳng đi qua đường kính tạo thành và qua trục của hình trụ. Đây là một đoạn thẳng, rõ ràng là đi qua tâm của hình elip và chia nó làm đôi.

Dây cung của hình elip đi qua tâm của nó được gọi là đường kính của hình elip. Nói chung, một hình elip có đường kính không bằng nhau. Trục lớn nhất trong số chúng là trục chính và trục nhỏ nhất là trục phụ. Nếu chuỗi dây thứ hai được vẽ theo hình elip, song song với đường kính thu được, thì điểm giữa của chúng nằm trên đường kính thuộc chuỗi dây thứ nhất (Hình 12). Hai đường kính thu được được gọi là liên hợp lẫn nhau. Đối với mỗi đường kính của một hình elip có một liên hợp với nó. Lưu ý rằng đường tròn của mỗi cặp có một số liên hợp

Hình 14. Hình chiếu của đường tròn cũng là hình elip.

Các đường kính vuông góc với nhau, nhưng hình elip thì không, ngoại trừ các trục của hình elip.

Hình chiếu của hình tròn - hình elip

Nếu bạn chiếu một đường tròn nằm trong một mặt phẳng nhất định lên một mặt phẳng khác, không song song cũng không vuông góc với mặt phẳng đầu tiên thì phép chiếu sẽ tạo ra một đường cong hình bầu dục. Ví dụ, nó được hình thành trên bãi cỏ dưới dạng bóng của một chiếc đĩa bay trong không trung (Hình 14).

Hình bầu dục này lại là một hình elip. Người đọc có thể dễ dàng tự mình kiểm chứng chứng minh này. Ở đây, bạn thậm chí không cần phải tạo một bản vẽ đặc biệt - chỉ cần tham khảo Hình 11, nhưng hãy nhìn nó từ một góc nhìn khác: chúng ta sẽ coi đường CEDH là một hình tròn (CD=EH=a) và hình trụ chiếu - không phải hình tròn mà là hình bầu dục. Ở đây cd=CD=a, eh=EH·cosα=b. Ta cần chứng minh cedh là hình elip; bề mặt trong trường hợp này được gọi là hình trụ elip - dựa trên hình dạng của mặt cắt vuông góc của nó.

Cách chứng minh cũng giống như cách chứng minh định lý trên tiết diện hình trụ tròn. Lần này m₀m=M₀M·cosα, trong đó α là góc giữa các mặt phẳng. Do đó, hình bầu dục cedh có nguồn gốc từ CEDH với độ dốc

35

Hình 15. $F_1$ và $F_2$ là tiêu điểm của hình elip.

hệ số $k = \cos \alpha = \frac{b}{a}$.

Các đường kính vuông góc của hình tròn bây giờ được chiếu thành các đường kính liên hợp lẫn nhau của hình elip. Thực tế này có tầm quan trọng lớn trong lý thuyết mô tả các hình không gian trên một mặt phẳng.

Thuộc tính tiêu điểm của hình elip

Chúng ta chuyển sang tính chất quan trọng nhất của hình elip - tiêu điểm. Đây là một tính từ từ từ “tiêu điểm”*) - đây là tên được đặt cho hai điểm đáng chú ý nằm bên trong hình elip trên trục chính của nó đối xứng với tâm của hình elip. Khoảng cách từ mỗi tiêu điểm đến các đầu của trục nhỏ của hình elip bằng một nửa chiều dài của trục chính (Hình 15).

Chúng ta sẽ coi hình elip là một phần của hình trụ tròn - chúng ta đã thấy rằng chúng ta luôn phải làm điều này. Bây giờ chúng ta lăn một quả bóng nội tiếp trong hình trụ vào trong hình trụ từ hai đầu cho đến khi cả hai quả bóng chạm vào mặt phẳng của phần này

*) Từ “phosis” trong tiếng Latin có nghĩa là rất. Nguồn gốc của thuật ngữ này như sau: nếu bạn đặt một nguồn sáng tại một tiêu điểm của một hình elip, thì tất cả các tia phản xạ từ hình elip theo định luật “góc tới bằng góc phản xạ” sẽ đi qua tiêu điểm thứ hai. Điều này sẽ được thảo luận chi tiết hơn ở một trong những vấn đề «Kvant».

Hình 16. Chứng minh tính chất tiêu điểm của elip.

(Hình 16) (theo ngôn ngữ hình học: hãy nội tiếp các quả bóng vào hình trụ sao cho chúng chạm vào mặt phẳng tiết diện).

Điểm tiếp xúc $F_1$ và $F_2$ sẽ là tiêu điểm của hình elip của chúng ta.

Mỗi quả bóng chạm vào một hình trụ dọc theo chu vi của nó. Cả hai vòng tròn này đều được thể hiện bằng màu đỏ trong Hình 16.

Bây giờ, lấy bất kỳ điểm $M$ nào của hình elip và đánh dấu bộ tạo $PQ$ của hình trụ trên đó điểm $M$ nằm ($P$ và $Q$ là các điểm của bộ tạo này nằm trên các vòng tròn màu đỏ). Rõ ràng $MQ=MF_1$ là độ dài của hai tiếp tuyến với quả bóng bên phải được vẽ từ $M$ đến điểm chạm $P$ và $Q$. Chúng bằng nhau, giống như dạng hình nón tròn có đỉnh $M$, được mô tả gần quả bóng bên trái.

Sử dụng cách suy luận tương tự cho quả bóng bên trái, chúng ta thu được đẳng thức tương tự $MP=MF_2$. Cộng cả hai đẳng thức, ta được

$$MF_1+MF_2=MP+MQ=PQ.$$

Nhưng $PQ$ giống nhau đối với tất cả các bộ tạo hình trụ của chúng ta: đây là khoảng cách giữa các vòng tròn màu đỏ (giữa tâm các quả bóng của chúng ta). Điều này có nghĩa là bất cứ điểm $M$ nào chúng ta lấy trên hình elip thì sẽ có

36

Hình 17. Đây là cách thu được hình elip trong thực tế.

bình đẳng $MF_1 + MF_2 = const$.

Do đó, tổng khoảng cách từ bất kỳ điểm nào của hình elip đến hai tiêu điểm của nó là một giá trị không đổi.

Đây là tính chất tiêu điểm của hình elip. Một hình elip thường được định nghĩa là một “vị trí hình học” (theo ngôn ngữ hiện đại - dưới dạng một tập hợp) các điểm nằm trong cùng một mặt phẳng mà tổng khoảng cách đến hai điểm (tiêu điểm) là một giá trị không đổi.

Nếu chúng ta chọn điểm cuối của trục chính của nó làm điểm $M$ của hình elip (ví dụ: điểm $C$ trong Hình 15), thì theo thuộc tính tiêu điểm $CF_1 + CF_2 = const$. Do tính đối xứng $F_1C = F_2D$; điều này có nghĩa là hằng số này bằng $CF_2 + F_2D$, tức là trục chính $CD = 2a$. Ví dụ: nếu chúng ta lấy điểm cuối của trục nhỏ, điểm $E$, làm điểm $M$, thì $EF_1 + EF_2 = 2a$, và vì, do tính đối xứng, $EF_1 = EF_2$, nên mỗi đoạn này bằng $a$. Điều này chứng tỏ nhận định được đưa ra ở phần đầu của phần này và cung cấp một cách để xây dựng tiêu điểm của một hình elip dọc theo trục của nó (Hình 15).

Ellipsograph cho người làm vườn

Cấu trúc nổi tiếng của một hình elip bằng chuyển động liên tục sử dụng vòng ren dựa trên đặc tính tiêu điểm của hình elip. Chúng ta hãy đặt một tờ giấy lên một tấm bảng có lót giấy và dán hai chiếc đinh ghim lên đó. Sau khi ném một vòng chỉ lên cả hai cảnh sát (chu vi của vòng phải lớn hơn hai lần khoảng cách giữa các cảnh sát), hãy kéo sợi chỉ bằng bút chì nhọn để bạn có được một hình tam giác ($\Delta F_1F_2M$). Nếu bạn di chuyển bút chì dọc theo tờ giấy sao cho sợi chỉ vẫn căng thì hình tam giác sẽ bị biến dạng nhưng chu vi của nó không đổi. Độ dài của cạnh $F_1F_2$ cũng không đổi, có nghĩa là $F_1M + F_2M = const$ và bút chì sẽ mô tả hình elip.

Chúng ta có một hình elip mới, rất đơn giản. Phương pháp này đã được sử dụng thành công với các đầu hoa hình elip. Thay vì kopki, hai chiếc cọc được đóng xuống đất, một chiếc vòng được làm bằng một sợi dây dày và một hình elip được vẽ trên mặt đất không phải bằng bút chì mà bằng một cây gậy (Hình 17).

Chúng tôi không giải thích nguồn gốc của cái tên “ellipse” (trong tiếng Hy Lạp “ellipsis” có nghĩa là “bất lợi” - nhược điểm đó liên quan gì đến nó?), Chúng tôi không nói về nhiều tính chất rất quan trọng khác của đường cong này - những tính chất chung cho tất cả các phần hữu hạn: hình elip, hyperbola và parabola. Những vấn đề này sẽ được đề cập trong các số tiếp theo «Kvant».

Các hình vẽ không gian trong bài viết này chỉ đưa ra ý tưởng chung về thời đại của họ. Khi thực hiện các bản vẽ, người ta ưu tiên sự rõ ràng hơn là xây dựng một hình không gian chính xác trên một mặt phẳng *).

Định luật biểu diễn các hình không gian trên mặt phẳng sẽ được thảo luận trong một trong những số sắp tới của tạp chí.

*) Hãy thử chứng minh rằng phép cường điệu ở trang 26, nói đúng ra, được mô tả sai.