Эллипс

27

ЭЛЛИПС

И. Н. Бронштейн

Вступление

Даны: точка О и окружность С, лежащая в плоскости, не проходящей через О.
Пусть прямая линия, бесконечная в обе стороны (как и полааемся в геометрии), движется так, что она все время проходит через О и через одну из мочек окружности С.
При этом движении прямая описывается поверхность, состоящую из двух расструбов (полосей).
Это — конечная поверхность. *).
Если ее пересекать различными плоскостями, то же не проходит цикл через точку О, то в течение получения кривые линии, называемые конечными сечениями.
Их примена:
эллипс, гипербола и парабола.
Они были известны еще в Древней Греции. Их открыл некий Менехм около 360 года до нашей эры, а до нас они дошли по замечательному сочинию выдающейся математика Аполония, написанному примеру 200 лет спустя.
О первой из этих кривых и рассказывается здесь.

*) Слева изображена только одна полость конечной поверхности.

Эту фигуру знают все. С ней встречаются в начальной астрономии и географии (траектории движения планет и спутников, форма земного meridiana, пути электрона вокруг атома), в черченении, рисовании и стереометрии (рисунки технических деталей, круглых предметов и геометрических тел), но что такое эллипс, чем он интересен — а это действительное замечательная фигура, обладающая красивыми и важными свойствами,— об этом в школьных учебниках ничего не говорится.

На вопрос «что такое эллипс?» один ответят: «вытянутый круг» или «вытянутая окружность» *), другие — «сжатый круг (окружность)», третьи — «кривая овальный форму», четвертые ничего не ответят, а просто сделают более или менее удачный рисунок; в каждом из этих ответов есть доля истинны, но они требуют еще уточнения.

Достаточно ли, например, сказать, что эллипс — кривая оваль-

*) Okружность — линия, а круг — часть плоскости внутри нее. Для эллипса аналогичных д в у слов нет: как сама кривая, так и часть плоскости внутри нее называется одинаково, говорят: «длина эллипса», «площадь эллипса». Читатель в каждом случае без труда установит, о каком смысл слова «эллипс» идет речь.

28

Рис. 1. Только красный овал — эллипс.

ной формы? Под этими словами обычно понимают линию, обладающий двумя осями симметрины CD и EH, выписанную в прямогольник PQRS и положую на окружность (рис. 1). Тот же смысл включается в слова «сжатая» или «вытянутая окружность». Но в прямогольник можно писать много такого рода кривых — некоторые из них изображены на рисунке 1. Только одна из них — красная — имеет право называться эллипсом. Чем же она выделяется из остальных кривых?

Их тоже можно получить сжа-

тием (или растяжением) окружности, но это скажие не будет равномерным. Чтобы разобраться в этом, позначимся с геометрическим преобразованием плоскости — равномерной осевой деформацией или, кратко, деформацией.

Деформация *)

Возьем в заданной плоскости П некоторую прямую l и заданным положительным числом k. Будем называть деформацией плоскости П относительно оси l с коэффициентом k такое преобразование плоскости в себя, при котором каждая ее точка m переходит в точку M по правилам:

1. обе точки m и M лежат на одном перpendикulaireке к оси l по одному сторону от нее; точки, лежащие на самой оси, остаются неподвижными;

2. расстояние точки от оси умножается на k, то есть $m_0M = k \cdot m_0m$, где $m_0$ — основание perpendикуляра из точки m на ось l (рис. 2, а, б).

Если $k > 1$, то все точки плоскости (кроме точка на самой оси) удаляются от оси — плоскость растяжения, а если $k < 1$, то приближаются к оси —

*) Это слово (от латинского «deformation»—изменение формы) применено здесь вместе выражения «растяжение или скатие».

Рис. 2. Деформация с коэффициентами a) $k = \frac{2}{3}$ б) $k = \frac{2}{3}$.

29

---

running_head:
folio:

Рис. 3. Деформации с $k=2$ и $k=\frac{1}{2}$. Обратите внимание на изменение скока крыши.

плоскость схимается. При $k=1$ в се точки плоскости остаются на месте; последний случай называется моде-десттевным преобразованием.

Пусть на плоскости П дана какая-нибудь фигура $\omega$ (то есть неко-торое множество точки). Нас будет интересовать множество $\Omega$ всех точек, полученных из $\omega$ в результате деформации (см. рис. 3, 4).

Что такое элипис? Элементы элиписа

Элиписом называется фигура, по-

Рис. 4. Деформация изображения футбольного мяча с коэффициентами $k=\frac{1}{2}$ (слева внизу) и $k=2$ (справа).

лученая деформацией okружности относительно ее диаметра (рис. 5).

Пусть $a$ — радиус okружности; тогда ее диаметр $cd$, лежащий на оси, перейдет сам в себя $(CD=2a)$, перепендикулярный к нему диаметр $eh$ — в отрезок $EH$ $(EH=2ka)$. Обозначим длину отрезка $OE$ $(=OH)$ через $b$. Тогда $ka=b$.

Отрезки $CD$ и $EH$ называются осями элиписа; числа $a$ и $b$ будем называть полуосями элиписа. Если $k>1$ (растяжение), то $b>a$ (рис. 5).

Рис. 5. Элипис — деформация okружности

30

Рис. 6. Так можно построить эллипс.

Если же $k < 1$ (сжатие), то $b < a$ (рис. 6). При $k = 1$ (тождественное преобразование) окружность перейдет в окружность. Чтобы не нарушать общности определения эллипса, условимся считать окружность частным случаем эллипса ($b = a$). Больший из отрезков $CD$, $EH$ называется большой осью эллипса, меньший — малой осью. Итак, если $k > 1$, то $a$ — малая полуось и $b$ — большая, а если $k < 1$, то наоборот.

В обихх случаях $k = \frac{b}{a}$.

Точка $o$ — центр окружности — перейдет при деформации в себя ($o \rightarrow O$). О называется центром эллипса, точки $C$, $D$, $E$ и $H$ — его вершинами.

Квадрат $pqrs$, описанный вокруг окружности («матери» эллипса), одна сторона которого параллельна, а другой перpendикулярна к оси деформации, преобразуется в прямогольник $PQRS$ со стороны $2a$ и $2b$, описанный вокруг эллипса; он называется характеристическим для нашего эллипса, так как полностью его определяет. Стороны характерисского прямогольника касаются эллипса в его вершинах.

Как чащенить эллипс?

Если заданы оси эллипса, то проще всего намерить эллипс от руки, построив сначала характеристический прямогольник, а затем вписав в него овальный кривую. Но этот способ не очень практики удалется уверенно нарисовать почти настоящий эллипс). Мы уже знаем, что существует много овальных кривых с одним и теми же осями. Можно точно построить сколько уголно точек эллипса. Наболее употребительный и простой способ такого построения изображен на рисунке 6.

На этом рисунке две концентрические окружности имеют радиусы $a$ и $b$. Разбериется сами в этом построении и докажите его законность, то есть доказите, что на рисунке $6$ $m_0M = m_0m \cdot \frac{b}{a}$.

Сделав это построение для нескольких точек $m_1$, $m_2$, $m_3$, … окружности радиуса $a$, мы можем получить сколько уголно точек нашего эллипса. Остается соединить их плавной линей от руки или с помощью лекала.

Но интересно намерить эллипс непрерывным движением, то есть не отрывая карандаша от бумаги, подобно тому как мы вычерчиваем окружность циркулем. Это можно сделать специальным прибором — эллипсоэффициом. О нем расскажем ниже, когда познакомимся с уравнением эллипса. Но сначала надо выяснить, что такое уравнение линей.

Уравнение линей *)

Одним из заменательных открытый XVII века является метод координат, позволяющий переводить геометрическое понятие на алгебраическую языку. Этот метод дает возможность установить соответствие между линяями, лежащими в плоскости, на которой установлен система координат, и уравнениями, содержащими две буквы $x$ и $y$.

Уравнением некоторой линей называется такое уравнение относительно $x$ и $y$, которое обращается в тоже место при подстановке в него значений $(x_0, y_0)$ в том и только в том

*) Подробнее об уравнении линей можно прочесть в любом учебнике аналитической геометрии.

31

Рис. 7. $m(x_{окр}, y_{окр})$ — точка на окружности, $M(x_0, y_0)$ — точка на эллипсе.

случае, когда точка с координатами $(x_0, y_0)$ лежит на данной линии.

Можно также сказать, что линия, определяемая уравнением, есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют этому уравнению.

Например, уравнение $y=x$ есть уравнение бисектрицы I и III координатных углов, а уравнение окружности радиуса $a$ с центром в начале координат запишется так: $x^2+y^2=a^2$.

Оно легко получается из теоремы Пифагора.

Уравнение эллипса

Эллипс с полуосями $a$ и $b$ получен из окружности радиуса $a$ деформацией с коэффициентом $k=\frac{b}{a}$ (рис. 7). Установим на плоскости, где находится обе эти линии, оси координат; ось $OX$ направим по оси деформации, а ось $OY$ — через центр окружности (он же — центр эллипса) перpendикулярно к оси $OX$. Пусть $m$ — любая точка окружности, а $M$ — та точка эллипса, в которой переходит $m$.

координаты точки $m$ обозначаим через $(x_{окр}, y_{окр})$, а точки $M$ — через $(x_0, y_0)$. Очевидно, по определению деформации

$$x_0=x_{окр}, y_0=k \cdot y_{окр},$$

(*)

Рис. 8. Точка $M$ описывает эллипс.

откуда

$$x_{окр}=x_0, y_{окр}=\frac{y_0}{k}.$$

Если подставить в уравнение окружности $x^2+y^2=a^2$ координаты любой ее точки $(x_{окр}, y_{окр})$, то будет верно равенство

$$x^2_{окр}+y^2_{окр}=a^2,$$

а значит, заменя $x_{окр}$ и $y_{окр}$ по формуле (*), видим, что верным будет также равенство

$$x^2_{9}+\frac{y^2_{9}}{k^2}=a^2$$

для любой точки $M$ $(x_0, y_0)$.

Если же точка $M'(X', Y')$ не лежит на эллипсе, то точка $m'(x', y')$, попавшая в $M'$ в результате деформации, не лежала на окружности, и уравнение $(x')^2+(y')^2=a^2$ неверно; значит, неверно и уравнение $(X')^2+\frac{(Y')^2}{k^2}=a^2$.

Из определения уравнения линии получим такое уравнение эллипса

$$x^2+\frac{y^2}{k^2}=a^2.$$

Заметив, что $ka=b$, можно привести это уравнение к виду

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$$

Это и есть уравнение эллипса в наиболее удобной (так называемой канонической) форме.

32

Рассмотрим такую геометрическую задачу (рис. 8).

Отрезок $PQ$ движется в плоскости так, что один его конец $Q$ скольчит по прямой $OX$, а другой $P$ — по перпендикулярной ей прямой $OY$. Какую линию опшет при этом точка $M$ этого отрезка $(MP=a, MQ=b)$?

Докажем, что эта кривая — эллипс. Применим метод координат (рис. 9) — за оси координат применяемые, по которым скольчит отрезок. Пусть координаты точки $M-x$ и $y$ (они зависит от угла $PQO$). Из подобия треугольников $QNM$ и $MLP$ имеем $\frac{NM}{LP} = \frac{QM}{MP}$, или $\frac{y}{\sqrt{a^2-x^2}} = \frac{b}{a}$.

Уравнение (1) еще нельзя назвать уравнением искомой траектории: оно составлено применительно к рисунку 9, где отрезок лежит в цетверти и обе координаты точки $M$ положительные. Только при этом условии можно считать, что $ON=x$, и $NM=y$; если же отрезок находится во II, III или IV цетверти на рисунке 8, то нужно считать $ON=\pm x$, $NM=\pm y$, выбирая каждый раз нужные знаки.

Рис. 10. Эллипсограф.

Впрочем, уравнение (1) пригодно и для II цетверти, так как $x$ возводится в квадрат и перемена знака $x$ не изменит этого уравнения. Для III и IV цетвертей уравнение (1) должно быть заменено на такое:

$$-\frac{y}{\sqrt{a^2-x^2}} = \frac{b}{a}.$$

Пара уравнения (1) и (2) может быть заменена одним уравнением

$$\frac{y^2}{a^2-x^2} = \frac{b^2}{a^2},$$

которое легко приводится к виду

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$

Искомая кривая — эллипс.

На полученном результате основана конструкция эллипсографа. На бумагу или чертежную доску накладывает крест, в котором имеется две взаимно перпендикулярные прорези (рис. 10). С прямолинейной планкой соединены три муфточки, которые можно закрепить в любых точках планки. Крайние муфточки $P$ и $Q$ могут ходить в прорезях креста, а средняя $M$ снабжена карандашом, который при движении планки вычерчивает эллипс. Закрепив муфточки по заданным полуосам $PM=a$, $MQ=b$, мы можем вычертить эллипс с этим полуосами.

33

Наклонные сечения круглого цилиндра — эллипсы

Пересекая круглый цилиндр плоскостью, не перpendикулярной и не параллельной его оси, мы получаем более или менее вытянутые овалы, в зависимости от угла наклона сечения. Это значит каждая хозяйка, нарезая колбасу для гостей ломтиками и часто (для «экономии») делая угол достаточно острым, чтобы овал имел большую площадь.

Докажем, что эти сечения — не просто овалы, а настоящие эллипсы. Для этого достаточно установить, что овал получается из окружности (основания цилиндра) растяжением; коэффициент $k$ равен $\frac{1}{\cos \alpha}$, где $\alpha$ — угол между плоскостями сечения и основания цилиндра.

Проведем (рис. 11) в основании цилиндра два взаимно перpendикулярных диаметра: $cd$ — параллельный и $eh$ — перpendикулярный к линни пересечения обих плоскостей, и проведем через них плоскости $cdDC$ и $ehHE$, параллельные оси цилиндра, а также плоскость $M_0Mmm_0$, параллельную $ehHE$, проходящую через точку $M$ сечения. Зная, что длина проекции отрезка на некоторую прямую равна длине самого отрезка,

умноженной на косинус угла между ним и его проекцией, мы получаем

$$\frac{M_0M}{m_0m} = \frac{OE}{oe} = \frac{b}{a} = \frac{1}{\cos \alpha} = k.$$

Если теперь положить обе фигуры $CEDH$ и $cedh$ на одну плоскость, чтобы $CD$ совместилось с $cd$, то они займут положение, как на рисунке 5, причем $M_0M = m_0m \cdot \frac{1}{\cos \alpha} = m_0m \cdot k$, где $k > 1$.

Этим нашей утверждение доказано.

Интересно, что для каждой эллипса можно указать такое положение, что он оказывается сечением круглого цилиндра, радиус которого равен малой площади эллипса. Для этого нужно взять сначала перpendикулярное сечение цилиндра и повернуть плоскость этого сечения вокруг одного из диаметров полученного круга на угол, косинус которого равен $\frac{a}{b}$.

Это всегда возможно, так как здесь.

Сопряжение диаметры эллипса

Из последнего результата сразу следует интересное свойство эллипса: середины всех параллельных хорд эллипса образуют прямолинейный отрезок, проходящий через центр эллипса (рис. 12). Это свойство оченьindo

34

Рис. 13. Доказательство свойства сопряженных диаметров.

для okружности: середины ее параллельных хорд лежат на диаметре, перpendикулярном к этим хордам. Поставьте теперь эллипс в положение сечения круглого цилиндра и проведите через параллельные хорды эллипса серio плоскостей, параллельных оси цилиндра (рис. 13). В плоскости перpendикулярного сечения цилиндра получается параллельные хорды okружности, сечedinь которых лежат на ее диаметре. Середины хорд эллипса лежат на пересечении плоскости эллипса и плоскости, проходящей через полученный диаметр и через ось цилиндра. Это — прямолинейный отрезок, очевидно, проходящий через центр эллипса и делящийся в нем пополам.

Хорда эллипса, проходящая через его центр, называется диаметром эллипса. У эллипса диаметры, вообще говоря, не равны. Наибольший из них — большая ось, а наименьший — малая. Если проводится в эллипсе вторую серio хорд, параллельных полученного диаметру, то их середины лежат на диаметре, принадлежащем к первой серии хорд (рис. 12). Два полученных диаметра называются взаимно сопряженными. Для каждого диаметра эллипса существует ему сопряженный. Заметим, что у okружности каждой пара сопряжен-

Рис. 14. Проекция okружности — тоже эллипс.

ных диаметров взаимно перpendикулярна, а у эллипса — нет, исключение составляют только оси эллипса.

Проекция okружности — эллипс

Если проектировать okружность, лежащую в некоторой плоскости, на другую плоскость, не параллельную и не perpendикулярную к первой, то в проекции получится овальная кривая. Она образуется, например, на траве в виде тени от летящего в воздухе диска (рис. 14).

Этот овал — снова эллипс. Доказательство этого читатель легко проверяет сам. Здесь не нужно делать даже специального чертежа — достаточно обратиться к рисунку 11, но посмотреть на него с иной точки зрения: будем линю CEDH считать okружностью (CD=EH=a), а проектирующий цилиндр — не круглым, а овальным. Здесь cd=CD=a, eh=EH·cosα=b. Нужно доказать, что cedh — эллипс; поверхность в этом случае называется эллиптическим цилиндром — по форме perpendикулярного сечения.

Путь доказательства тот же, что и в доказательстве теоремы о сечении круглого цилиндра. На этот раз m₀m=M₀M·cosα, где α — угол между плоскостями. Следовательно, оваль cedh получен из CEDH скатнем с

35

Рис. 15. $F_1$ и $F_2$ — фокусы эллипса.

козффициент $k = \cos \alpha = \frac{b}{a}$.

Перpendикулярные диаметры окружности проектируют теперь во взаимно сопряженные диаметры эллипса. Этот факт имеет большое значение в теории изобравжения пространственных фигур на плоскости.

Фокальное свойство эллипса

Мы переходим к наиболее важному свойству эллипса — фокальному. Это — прилагательное от слова «фокус»*) — так называются две замечательные точки, лежащие внутри эллипса на его большой оси симметрично относительно центра эллипса. Расстояние каждого фокуса от концов малой оси эллипса равно половине длины большой оси (рис. 15).

Будем рассматривать эллипс как сечение круглого цилиндра — мы видели, что всегда имеем это делать. Вкатим теперь в цилиндр с обонх его концов по шару, вписанному в цилиндр, пока оба шара не стукнутся о плоскость этого сечения

*) Латинское слово «фосис» значит очень Проискождение этого термина следующие: если помещить в одном фокус эллипса источник свет, то все лучи, отраженные от эллипса по закону «угол падения равен углу отражения», пройдут через второй фокус. Об этом подробнее будет расссказано в одном из номеров «Кванта».

Рис. 16. Доказательство фокального свойства эллипса.

(рис. 16) (на геометрическом языке: впишем шары в цилиндр так, чтобы они касались плоскости сечения).

Точка прикосновения $F_1$ и $F_2$ и будет фокусами нашего эллипса.

Каждай шар касается цилиндра по окружности. Обе эти окружности изобравены на рисунке 16 красным цветом.

Возьем теперь любую точку $M$ эллипса и отметим ту образушую $PQ$ цилиндра, на которой точка $M$ лежит ($P$ и $Q$ — точки этой образующей, лежащие на красных окружности). Ясно, что $MQ=MF_1$ — это длинны двух касательных к правому шару, проведенных из $M$ до точки прикосновения $P$ и $Q$. Они равны, как образушие круглого конуса с вершиной $M$, описанного около левого шара.

Провода такое же рассужждение для левого шара, получаем аналогичное равенство $MP=MF_2$. Сложив оба равенства, получаем

$$MF_1+MF_2=MP+MQ=PQ.$$

Но $PQ$ — одно и то же для всех образуших нашого цилиндра: это — расстояние между красными кругами (между центрами наших шаров). Значит, какую точку $M$ на эллипсе мы ни взяли, будет иметь место

36

Рис. 17. Так получают эллипс на практике.

равенство $MF_1 + MF_2 = const$.

Таким образом, сумма расстояний от любой точки эллипса до двух ее фокусов — величины постоянная.

В этом и состоит фокальное свойство эллипса. Часто эллипс и определяется как «геометрическое место» (на современном языке — как множество) таких точек, лежащих в одной плоскости, для которых сумма расстояния до двух точек (фокусов) — величины постоянная.

Если в качестве точки $M$ эллипса выбрать конец его большей оси (например, точку $C$ на рисунке 15), то по фокальному свойству $CF_1 + CF_2 = const$. Вследствие симметрины $F_1C = F_2D$; значит, эта постоянная равна $CF_2 + F_2D$, то есть большей оси $CD = 2a$. Если же за точку $M$ принять конец малой оси, например, точку $E$, то $EF_1 + EF_2 = 2a$, а так как в силу симметрины $EF_1 = EF_2$, то каждый из этих отрезков равен $a$. Это и доказывает утверждение, высказанное в начале этой рубрики, и дает способ построения фокусов эллипса по его осям (рис. 15).

Эллипсограф для садовников

На фокальном свойстве эллипса основано известное построение эллипса непрерывным движением при помощи нитяного колца. Положим лист бумаги на чертеную доску и на колем на него две канилярские коппки. Наbrosив на обе коппки нитяное колцо (перimetр колца должна быть больше удвоенного расстояния между коппками), натянем нить острим карандаша так, чтобы получился треугольник ($\Delta F_1F_2M$). Если dwигать карандашом по бумаге так, чтобы нить оставалась в натянутом положении, то треугольник будет деформаровать, но его перimetр остается постоянным. Постоянной остается и длина стороны $F_1F_2$ — значит, $F_1M + F_2M = const$ и карандаш опишет эллипс.

Мы получили новый, очень простой эллипсограф. Этот способ с успехом использовал цветочные эллиптических клемб. Вместо коппок в землю выключают два кола, колцо делается из толстой веревки, а эллипс вычерчивается на земле не карандашом, а палкой (рис. 17).

Мы не обьясили проискождения названия «эллипс» (по-греческий «ellipsis») значит «недостаток» — при чем здесь недостаток?), не расскаазали о многих других очень важных свойства этой кривой — свойства, общих для всех конечных сечеений: эллипса, гиперболы и парабoles. Эти вопросы будут освещены в следующих номерах «Кванта».

Пространственные рисунки в этой стате дают лишь общее представление об их сутки. При выполнении рисунков было отдано предоптение наглядности, а не строим правильизованная пространственность фигура на плоскости *).

О законах изображения на плоскости пространственных фигура будет расскаазано в одном из близжайших номеров журнала.

*) Попробуйте доказать, что гипербола, приведенная на стр. 26, изображена, строго говоря, неверно.