Внимание: в уравнении — параметр!

20

Раметрами особое значение имеет расстояние всех возможных случаев. При этом заранее трудно предсказать, какие случаи выявятся в процессе решения. Это, с одной стороны, затрудняет решение, но, с другой стороны, делает работу более интересной, придавая ей исследовательский характер.

Немного теории

Общий вид уравнения с одним параметром таков:
$$F(x,a) = 0.$$ (3)

При различных $a$ уравнения (3) может иметь различные множества корней, и наша задача состоит в том, чтобы изучить все случаи, выяснить, что будет при любом значении параметра. При решении уравнения с параметром обычно приходит рассматривать много различных вариантов. Своевременное обнаружение хотя бы части невозможных вариантов имеет большое значение, так как освобождает нас от лишней работы. Поэтому при решении уравнения (3) целесообразно под ОДЗ понимаать область допустимых значений неизвестного и параметра, то есть множество всех пар чисел $(x,a)$, при которых определяна (имеет смысл) функция двух переменных $F(x,a)$. Отсюда естественная геометрическая иллюстрация ОДЗ в виде неокоторой области плоскости $xOa$.

Например, ОДЗ уравнения
$$\sqrt{x} + \sqrt{a} = \sqrt{1-(x+a)}$$ (4)
определяется системой неравенств
$$x \geq 0, a \geq 0, x+a \leq 1.$$

Этот системе удовлетворяют координаты всех точек треугольника (включая и его границ), окруженного на рисунке 1 в голубой и синий цвета *). Из этих расчудений, кстати, сразу следует, что при $a<0$ уравнение (4) не имеет решения.

Решим уравнение (4). После возвления обеих его частей в квадрат (что является в данном случае равносильным преобразованием в силу неотрицательности обеих частей уравнения (4)) получим уравнение
$$2\sqrt{ax} = 1 - 2(x+a).$$ (5)

Выше мы уже говорили о том, что отбрасывание хотя бы части невозможных вариантов освобождает нас от лишней работы. Замечаем, что левая часть уравнения (5) неотрицательна при всех допустимых $a,x$, значит, там, где права часть этого уравнения отрицательна, искать решение бесполезно. Ясно, что искать решения следует в той части ОДЗ, где они могут быть, произведя для этого соответствующее сужение ОДЗ:
$$1 - 2(x+a) \geq 0, \text{ откуда } x+a \leq \frac{1}{2}.$$

На рисунке 1 закрашена снимом цветом та часть ОДЗ, где решения быть не может.

Возвяд в квадрат обе части уравнения (5) **) и приведя подобные члены, получим уравнение
$$x^2 + (a-1)x + a^2 - a + \frac{1}{4} = 0,$$

*) Подробнее о геометрическом решение системе неравенств с двумя неизвестными см. «Квант» № 4 за 1970 год.
**) В новой ОДЗ обе части уравнения (5) неотрицательны. Возвяд в квадрат в таком случае не приведет к появлению построенных корней.

21

откуда
$$x_{1,2} = \frac{1-a \pm \sqrt{2a-3a^2}}{2}.$$

Оба найденных корня при всех допустимых значениях параметра $a$, (то есть при всех $a$, удовлетворяющих неравенствам $0 \leq a \leq \frac{1}{2}$, — см. рисунок 1) является действительными числами. В самом деле, дискриминант $D = 2a-3a^2 \geq 0$ при $0 \leq a \leq \frac{2}{3}$; значит, тем более $D \geq 0$ при $0 \leq a \leq \frac{1}{2}$.

Тепер нам нужно выяснить, удовлетворяют ли найденные значения условий $x \geq 0$, $x+a \leq \frac{1}{2}$.

Проверим сначала выполнение условия $x+a \leq \frac{1}{2}$. Имеем
$$x_1+a = \frac{1-a-\sqrt{2a-3a^2}}{2} + a = \frac{1+a-\sqrt{2a-3a^2}}{2}.$$
Решив неравенство
$$\frac{1+a-\sqrt{2a-3a^2}}{2} \leq \frac{1}{2},$$
получим $0 \leq a \leq \frac{1}{2}$. Значит, $x_1+a \leq \frac{1}{2}$ при всех допустимых значениях параметра $a$.

Далее,
$$x_2+a = \frac{1-a+\sqrt{2a-3a^2}}{2} + a = \frac{1+a+\sqrt{2a-3a^2}}{2}.$$
Неравенство
$$\frac{1+a+\sqrt{2a-3a^2}}{2} \leq \frac{1}{2}$$

выполняется только при $a = 0$. Но при $a = 0$ имеем $D = 0$ и $x_1=x_2 = \frac{1}{2}$.

Доказательство неотрицательности обих найденных корней предоставляем проверсти читателю.

Ответ: если $0 \leq a \leq \frac{1}{2}$, то $x = \frac{1-a-\sqrt{2a-3a^2}}{2}$;

если $a < 0$ или $a > \frac{1}{2}$, то решений нет.

Заметим, что при решении рассмотренного уравнения сухение ОДЗ оказывается весна полезным. Естественно возникает вопрос: когда надо проводить такие уточнения?

Если мы выполним преобразование, в результате которого получается уравнение, равносильно предыдущему, то в случае ОДЗ надоности, конечно, нет. В противном случае оно полезно. Такая ситуация возникает, например, при возведении в квадрат (или в любую четную степень) обенх частей того или иного уравнения, с чем мы и встретились в рассмотренном примере.

Неколько примеров
Пример 1*). Решить уравнение
$$\frac{\sqrt{a+x}}{a} + \frac{\sqrt{a+x}}{x} = \sqrt{x}.$$
Решение. ОДЗ определяется уравнями $x > 0$, $a+x \geq 0$, $a \neq 0$ (отсюда, кстати, сразу следует, что при $a = 0$ уравнение не имеет решения). Преобразуем уравнение к виду
$$(a+x)^{3/2} = ax^{3/2}.$$
Сухаем ОДЗ: из неотрицательностилевой части последнего уравнения и уравний $x > 0$, $a \neq 0$ следует, что $a > 0$.

Далее получаем: $a+x = a^{2/3}x$, откуда $x (a^{2/3}-1) = a$.
При $a = 1$ решений, очень/no, нет. Если $a \neq 1$, то
$$x = \frac{a}{a^{2/3}-1}.$$
Выясним, при всех ли рассматрива-
*) № 206 из «Сборника задач по элементарной математике». Авторы — Н. П. Антонов, М. Я. Выгодский, В. В. Никитин, А. И. Санкин. В указанном задачке пример решен/herno.

22

---

running_head:
folio:

емых значения параметра $a$ ($a > 0, a \neq 1$) выполняется условие $x > 0$ (из которого с очевидностью следует и выполнение второго условия $a + x \geq 0$).

Неравенство $\frac{a}{a^{2/3} - 1} > 0$ выполняется только при $a > 1$ (с учетом того, что $a > 0$). Таким образом, не при всех допустимых значениях $a$ найденный корень оказывается пригодным.

Ответ: если $a > 1$, то $x = \frac{a}{a^{2/3} - 1}$; если $a \leq 1$, то решение нет.

Пример 2. Решить уравнение
$$\log_9 x + \log_9 \frac{2 - x}{2} = \log_9 \log_9 p.$$

Решение. ОДЗ определяется неравенствами $0 < x < 2$, $p > 1$ (на рисунке 2 эта область окрашена в малиновый цвет). Решая уравнение, последовательно получим
$$\frac{x(2 - x)}{2} = \log_9 p,$$
$$x^2 - 2x + 2\log_9 p = 0,$$
$$x_{1,2} = 1 \pm \sqrt{1 - 2\log_9 p}.$$

Условие $1 - 2\log_9 p \geq 0$ выполняется при $p \leq 3$, что с учетом ОДЗ дает $1 < p \leq 3$. При таких $p$ корни будут действительными числами. При $p > 1$ выполняется неравенство $\log_9 p > 0$, а потом $1 - 2\log_9 p < 1$. Отсюда следует, что при $1 < p \leq 3$ имеет место неравенства $0 < x_{1,2} < 2$.

Ответ: если $1 < p \leq 3$, то $x_{1,2} = 1 \pm \sqrt{1 - 2\log_9 p}$; при остальных $p$ решений нет.

Замечание. Из уравнения (6) получаем $p = 9^{\frac{x(2 - x)}{2}}$. График этой функции, построенный на рисунке 2, наглядно показывает, что условие $0 < x < 2$ выполняется при $1 < p \leq 3$.

Пример 3. Решить уравнение
$$\frac{a + \sin x}{a \cos x + 1} = \frac{a + \cos x}{a \sin x + 1}.$$

Решение. Рассмотрим сначала случай $a = 0$. Заданное уравнение принимает вид $\sin x = \cos x$, откуда $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$ ($n = 0, \pm 1, \ldots$).

Пусть теперь $a \neq 0$. Тогда ОДЗ определяется уравнями
$$\cos x \neq -\frac{1}{a}; \sin x \neq -\frac{1}{a}.$$

Преобразуем заданное уравнение к виду $(\sin x - \cos x)[a^2 + a(\sin x + \cos x) + 1] = 0$. Последнее уравнение свойства к следующей совокупности уравнения:
$$a^2 + a(\sin x + \cos x) + 1 = 0,$$
$$\sin x - \cos x = 0.$$

Решая первое уравнение совокупности (7), получаем:
$$a\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4}) = -a^2 - 1$$
и далее
$$\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{a^2 + 1}{a\sqrt{2}}.$$

Последнее уравнение не имеет решения, так как $\left| -\frac{a^2 + 1}{a\sqrt{2}} \right| > 1$ при любом $a \neq 0$. В самом деле, предположим, что $\frac{a^2 + 1}{|a|\sqrt{2}} \leq 1$; преобразуя это неравенство, получаем
$$a^2 + 1 \leq |a|\sqrt{2}, (a^2 + 1)^2 \leq 2a^2,$$
$$a^4 + 1 \leq 0.$$

Последнее неравенство неверно.

23

Решениями второго уравнения совокупности (7) являются значения $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$ ($k = 0, \pm 1, \ldots$). Остатся проверить, при всех ли значения $a \neq 0$ найденные значения $x$ являются допустимыми.

Если $k = 2n$, то $\sin x = \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и должно выполняться условие $\frac{\sqrt{2}}{2} \neq -\frac{1}{a}$, то есть $a \neq -\sqrt{2}$.

Если $k = 2n + 1$, то $\sin x = \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Из условия $-\frac{\sqrt{2}}{2} \neq -\frac{1}{a}$ получаем: $a \neq \sqrt{2}$.

Объединия все результаты, записем

Ответ: если $a \neq \pm \sqrt{2}$, то $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$;

если $a = \sqrt{2}$, то $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$;

если $a = -\sqrt{2}$, то $x = \frac{\pi}{4} + \pi (2n + 1)$ ($k,n = 0, \pm 1, \pm 2; \ldots$).

Пример 4. Решить уравнение $\log^2_{\sqrt{2}} \cos x - 2a \log_{\sqrt{2}} \cos x = a^2 - 8$.

(8)

Решение. Положив $y = \log_{\sqrt{2}} \cos x$, преобразуем заданное уравнение в квадратное уравнение $y^2 - 2ay - (a^2 - 8) = 0$,

откуда $y_{1,2} = a \pm \sqrt{2(a^2 - 4)}$.

Теперь нужно решить совокупность логарифмических уравнений

$$\log_{\sqrt{2}} \cos x = a + \sqrt{2(a^2 - 4)}. \tag{9}$$

$$\log_{\sqrt{2}} \cos x = a - \sqrt{2(a^2 - 4)}. \tag{10}$$

Замечаем, что при $a^2 - 4 < 0$ правые части уравнения (9) и (10) не имеют смысла. Это значит, что, при $-2 < a < 2$, оба уравнения не имеют решений. Рассмотрим случай $a^2 - 4 \geq 0$, что возможно при $a \geq 2$ или при $a \leq -2$.

Пусть для начала $a \geq 2$. Так как $\cos x \leq 1$, а $\sqrt{2} > 1$, то $\log_{\sqrt{2}} \cos x \leq 0$.

Значит, уравнение (9) и (10) будут иметь решения только при таких значениях параметра $a$, при которых правые части уравнения неположительные. Нетрудно видеть, что при $a \geq 2$ правая часть уравнения (9) положительная, следовательно, уравнение (9) не имеет решений.

Выясним, при каких значениях параметра $a$ будет неположительный правая часть уравнения (10). Решив неравенство $a - \sqrt{2(a^2 - 4)} \leq 0$ (с учетом условия $a \geq 2$), получаем $a \geq \sqrt{8}$. Таким образом, если $2 \leq a < \sqrt{8}$, то уравнение (10) не имеет решений (a поскольку не имеет решений и уравнение (9), то заключаем отсюда, что и уравнение (8) в указанном случае не имеет решений).

Если $a \geq \sqrt{8}$, то из уравнения (10) получаем

$$x = \pm \arccos(\sqrt{2})^{a - \sqrt{2(a^2 - 8)}} + 2\pi n. \tag{11}$$

Рассмотрим теперь случай $a \leq -2$. При этих значениях параметра правая часть уравнения (10) отличается, то есть это уравнение имеет решения (выше они уже записаны формулой (11)). Выясним, при каких значениях параметра $a$ будет неположительный правая часть уравнения (9). Решив неравенство $a + \sqrt{2(a^2 - 4)} \leq 0$ (с учетом условия $a \leq -2$), получаем $a \geq -\sqrt{8}$. Таким образом, если $a < -\sqrt{8}$, то уравнение (9) не имеет решений, если $-\sqrt{8} \leq a \leq -2$, то уравнение (9) имеет решения, а именно:

$$x = \pm \arccos(\sqrt{2})^{a + \sqrt{2(a^2 - 8)}} + 2\pi n.$$

Obединия все полученные результаты, записем

Ответ: если $-2 < a < \sqrt{8}$, то решений нет;

если $a \geq \sqrt{8}$ или $a < -\sqrt{8}$, то

$$x = \pm \arccos(\sqrt{2})^{a - \sqrt{2(a^2 - 8)}} + 2\pi n;$$

если $-\sqrt{8} \leq a \leq -2$, то

24

Рис. 3.

$$x = \pm \arccos(\sqrt{2})^{a \pm \sqrt{2}a^2 - 8} + 2\pi n.$$

Геометрия помогает алгебре

При решении уравнения с параметром могут оказаться весы полезными различные геометрические соображения. Рассмотрим для примера уравнение

$$\sqrt{x(2a-x)} = 1 - x \text{ при } a > 0.$$

Какое решение уравнения можно интерпретировать как абсциссу точки пересечения прямой $y = 1 - x$ с полукругжностью

$$y = \sqrt{x(2a-x)}, \text{ или}$$
$$(x - a)^2 + y^2 = a^2; \text{ у} \geq 0$$

радиуса $a$, с центром в точке $(a, 0)$ (рис. 3). Положение полукругжности и ее радиус мениются при изменении параметра $a$. На рисунке 3 наглядо видно, что при одних значениях $a$ полукругжность не пересекает прямую $y = 1 - x$ (полукругжности, лежащие под прямой), при других значениях $a$ полукругжность пересекает прямую в двух точках (полукругжности, лежащие в средней головой зоне), при третьих значениях $a$ полукругжность пересекает прямую в одной точке (полукругжности, лежащие в красной зоне или выше), а при некоторых значении $a$ полукругжность касается прямой (полукругжность, разделяющая голову и коричневую зоны).

Рассмотрим случай, когда полукругжность касается прямой $y = 1 - x$. Из геометрических соображений заключаем, что расстояние центра этой полукругжности от точки пересечения прямой $y = 1 - x$ с осью абсцисса равно $a\sqrt{2}$. Отсюда $a + a\sqrt{2} = 1$, то есть случай касания имеет место при $a = \sqrt{2} - 1$. Значит, при $a < \sqrt{2} - 1$ уравнение не имеет решения (голубая зона), а при $a = \sqrt{2} - 1$ имеет единственное решение, которое находится из геометрических соображений: $x = a + \frac{a\sqrt{2}}{2}$ (см. рис. 3), откуда получаем $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Полукругжность, проходящая на рисунке 3 через точку $(1, 0)$, соответствует значению параметра $a = \frac{1}{2}$. Значит, при $\sqrt{2} - 1 < a \leqslant \frac{1}{2}$ уравнение имеет два решения:

$$x_1 = \frac{a + 1 - \sqrt{a^2 + 2a - 1}}{2},$$
$$x_2 = \frac{a + 1 + \sqrt{a^2 + 2a - 1}}{2}$$

(kорни найдены с помощью алгебраического решения заданного уравнения). Наконец, если $a \geqslant \frac{1}{2}$, то уравнение имеет единственное решение $x = x_1$ (поскольку $x_1 < x_2$).

25

Ответ: если $a < \sqrt{2} - 1$, то решей нет;
если $a = \sqrt{2} - 1$, то $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$;
если $\sqrt{2} - 1 < a \leq \frac{1}{2}$,
то $x_{1,2} = \frac{a+1 \pm \sqrt{a^2+2a-1}}{2}$.

если
$a > \frac{1}{2}$, то $x = \frac{a+1 - \sqrt{a^2+2a-1}}{2}$.

Попробуйте сами решить предложенное уравнение алгебраической с соответствующими исследованиями, и вы убедитесь, что геометрические расуждения в данном случае и нагляднее, и красивее.

ЗАДАЧИ

Мы рассмотрели ряд примеров решения уравнения с одним параметром. Одним из вас они понавились больше, другим — меньше, но несомненно одно: если вы тщательно разобрали эти примеры с карандашом в руках (как советовала редакционная коллекция нашего журнала в № 1), то вы уже получили определению ползу. Хотите в этом убедиться? Решите сами следующее уравнение с параметром $a$:

1. $a^2 - \frac{a^2-1}{2x-x^2} = \frac{x+2}{x-2}$.
2. $\sqrt{x+a} = a - \sqrt{x}$.
3. $\sqrt{x-2a} - \sqrt{x-a} = 2$.
4. $x + \sqrt{x^2-x} = a$.
5. $\sin(a+x) + \sin x = \cos \frac{a}{2}$.
6. $\sin^2 x + 4 \sin x + a = 0$.
7. $\sin x + 2 \cos ax = 3$.
8. $\log_{\sqrt{x}} a \log_{a^2} \frac{a^2-4}{2a-x} = 1$.
9. $\frac{\log_x(2a-x)}{\log_x 2} + \frac{\log_a \sqrt{x}}{\log_a 2} = \frac{1}{\log_{a^2}-1}$.
10. $\log_{\frac{1}{2}}(2 \sin x) + a \log_{\frac{1}{2}} \sin x + 3 = 0$.

4 Квант № 9