Bài toán M96—M100; F108—F112

33

BÀI TOÁN

Lời giải các bài toán trong “Tuyển tập bài toán Kvant” có thể gửi đến không muộn hơn một tháng rưỡi sau khi số tạp chí tương ứng được in. Lời giải của mỗi bài toán phải được viết trên một tờ (hoặc các tờ) riêng; cuối mỗi lời giải cần ghi họ, tên và tên đệm; mã bưu chính sáu chữ số, địa chỉ nhà; lớp và trường mà bạn đang học.

M96. Cho năm số dương, biết rằng nếu lấy tổng của bất kỳ ba số nào trừ đi tổng của hai số còn lại thì hiệu nhận được là dương. Chứng minh rằng tích của cả mười hiệu như vậy không vượt quá bình phương của tích năm số đã cho.
S. T. Bercolaiko

M97. Trong hình thang $ABCD$ có các đáy $AB=a$ và $CD=b$, kẻ đoạn thẳng $A_1B_1$ nối trung điểm các đường chéo. Trong hình thang nhận được $A_1B_1CD$ lại kẻ đoạn thẳng $A_2B_2$, nối trung điểm các đường chéo, và cứ thế tiếp tục (hình 1). Trong dãy độ dài các đoạn thẳng $AB, A_1B_1, A_2B_2, \dots$ có thể có một số nào đó xuất hiện hai lần không? Dãy này có đơn điệu (tăng hoặc giảm) không? Nó có tiến tới một giới hạn nào không?
A. L. Rozenmal

M98. Chứng minh rằng trong bảng

1
1 1 1
1 2 3 2 1
1 3 6 7 6 3 1

trong đó mỗi số bằng tổng của ba số đứng phía trên nó, mỗi hàng (bắt đầu từ hàng thứ ba) đều có một số chẵn. Trong mỗi hàng (trừ hai hàng đầu) có xuất hiện một số chia hết cho ba không?

M99. Trong tam giác $ABC$, cạnh $AC$ là lớn nhất. Chứng minh rằng đối với mọi điểm $M$ của mặt phẳng, $AM+CM$ không nhỏ hơn $BM$. Trong những trường hợp nào có thể xảy ra dấu bằng?

N. B. Vasiliev

Hình 1.

Hình 2.

M100. Chứng minh rằng tổng của 45 số $tg 1^\circ + tg 5^\circ + tg 9^\circ + \dots + tg 173^\circ + tg 177^\circ$ bằng 45.
V. P. Beshkarev

F108. Mười con kiến quyết định kéo khỏi bàn một cọng rơm nằm trên đó. Chúng phải làm thế nào, nếu lực mà mỗi con kiến có thể dùng để kéo cọng rơm nhỏ hơn một chút so với $1/10$ lực ma sát tác dụng lên cọng rơm khi nó di chuyển trên bàn? Kiến cũng không đủ sức nhấc cọng rơm lên.
G. L. Komkin

F109. Trong thí nghiệm đã xác định rằng nhiệt độ 142 °C của nước đá trong một bình nhẹ treo giữa phòng tăng thêm 4°С trong nửa giờ. Khi trong bình có băng, thì sự tan của nó cần 10 giờ. Dựa vào thí nghiệm này, nhiệt nóng chảy riêng của băng là bao nhiêu? Nhiệt dung riêng của nước bằng 1 cal/e.

Ф101. Nếu mắc vôn kế song song với điện trở trên $r_1$ (hình 2), thì nó chỉ 6 $\theta$, nếu song song với điện trở dưới $r_2$, thì 4 $\theta$, còn nếu mắc vào các điểm $A$ và $B$, thì nó chỉ 12 $\theta$. Trên thực tế, độ giảm điện áp trên các điện trở là bao nhiêu?

Ф111. Có một dây đồng chất chứa chất nổ. Vận tốc lan truyền của phản ứng nổ dọc theo dây bằng $v$, vận tốc lan truyền của sóng nổ trong không khí bằng $c$. Hãy tìm dạng đường theo đó cần bố trí dây để sóng từ mọi điểm của dây đến một điểm cho trước đồng thời.

Có thể làm điều tương tự với một bề mặt chứa chất nổ và thu được một sóng cầu hội tụ có mật độ năng lượng lớn không?

Ф112. Có một chồng gồm $k$ tấm phẳng song song, có chiết suất bằng $n_1, n_2, \dots, n_k$. Bề dày mỗi tấm là $d$. Sau khi đi qua chồng tấm, tia sáng tới tấm có chiết suất $n_1$ dưới góc $\alpha$ so với bề mặt tấm sẽ bị dịch chuyển bao nhiêu?