Bản dịch máy từ tiếng Nga. Chưa được người kiểm tra. Bản gốc →
23
CÂU LẠC BỘ TOÁN HỌC
PHÉP NGHỊCH ĐẢO
và bài toán Apollonius
A. P. Savin
LÀM THẾ NÀO BẮT SƯ TỬ TRONG SA MẠC?
Người quan sát ở ngoài chuồng tròn. Sư tử ở trong chuồng. Thực hiện phép nghịch đảo. Khi đó sư tử sẽ lọt vào chuồng, còn người quan sát — ra ngoài chuồng.
Từ văn học dân gian của nghiên cứu sinh
Đại học Tổng hợp Moskva những năm 20
Hình học, dịch từ tiếng Hy Lạp, là đo đạc đất đai. Nó ra đời nhờ các nhà đo đạc đất đai, kiến trúc sư, thợ xây dựng thời cổ. Không có những dụng cụ hoàn thiện mà hậu duệ của họ được trang bị, họ dùng những phương tiện đơn giản nhất: compa, thước kẻ và thước dây. Đương nhiên, các nhà toán học cổ đại đã dùng chính những phương tiện ấy để dựng hình, chỉ loại bỏ thước dây, vì đó là dụng cụ không chính xác.
Đôi khi người ta kinh ngạc vì họ có thể giải được biết bao bài toán dựng hình khác nhau, chỉ dùng những dụng cụ đơn giản ấy.
Tưởng như không có bài toán dựng hình nào không thể giải bằng compa và thước kẻ.
Nhưng những bài toán như thế đã được tìm ra. Nhiều nhà toán học đã đau đầu về các bài toán «chia ba góc» và «gấp đôi khối lập phương». Chỉ đến cuối thế kỷ trước, tính không giải được của chúng mới được chứng minh *). Tuy nhiên, ngay cả ngày nay vẫn còn gặp những người cố thực hiện việc chia ba góc chỉ bằng compa và thước kẻ.
Trong các bài toán hoàn toàn giải được bằng compa và thước kẻ, một trong những bài thú vị nhất là bài toán của nhà hình học Hy Lạp cổ đại xuất sắc Apol-
*) Bài toán chia ba góc: «Chỉ ra cách chia một góc bất kỳ thành ba phần bằng nhau»; bài toán gấp đôi khối lập phương: «Tìm cạnh của một khối lập phương có thể tích gấp đôi thể tích khối lập phương đã cho». Chứng minh về tính không giải được của các bài toán này có thể tìm trong sách «Bách khoa toàn thư toán học sơ cấp», tập IV, «Hình học», Moskva, Fizmatiz, 1963, tr. 220—223.
24
lonius xứ Perga *), được phát biểu như sau:
Được biết, lời giải bài toán này có trong tác phẩm «Về các tiếp xúc» của Apollonius, nhưng chính tác phẩm ấy đã bị thất lạc. Về sau, bài toán Apollonius đã sinh ra nhiều nghiên cứu toán học, những nhà toán học xuất sắc như L. Euler và I. G. Lambert cũng đã quan tâm đến nó.
Hiện nay có nhiều lời giải khác nhau cho bài toán này, một trong số đó sẽ được trình bày ở đây. Tuy nhiên, mục đích của bài viết này không chỉ là kể về lời giải bài toán Apollonius, mà còn trang bị cho bạn «phương pháp nghịch đảo», được dùng trong lời giải ấy.
Phép nghịch đảo
Về định nghĩa. Cho một đường tròn bán kính r có tâm tại điểm O. Phép nghịch đảo đối với đường tròn này được gọi là phép biến đổi mặt phẳng sau: với mỗi điểm M của mặt phẳng, khác điểm O, tương ứng một điểm M’, nằm trên tia OM và cách điểm O một khoảng . Điểm O được gọi là tâm nghịch đảo, còn số — bậc hoặc hệ số nghịch đảo.
*) Apollonius (khoảng 260—170 trước Công nguyên) sinh tại thành phố Perga — một trong các thuộc địa của Hy Lạp ở Tiểu Á, đã làm việc lâu năm ở Alexandria, rồi trở về Perga. Các tác phẩm của ông về các đường cônic đã đặt nền tảng cho việc nghiên cứu các đường cong đại số (các đường cong được cho bởi phương trình), còn phương pháp ông dùng đã dẫn Descartes và Fermat tới việc sáng tạo hình học giải tích.
Phép nghịch đảo còn được gọi là phép biến đổi bằng các bán kính nghịch đảo, cũng như phép đối xứng qua đường tròn. Nó được nhà toán học Đức L. Magnus đưa vào năm 1830, nhưng đã gặp trong các công trình của chính Apollonius, chẳng hạn trong tác phẩm “Về các quỹ tích phẳng”. Sau lần sinh ra thứ hai, phép nghịch đảo đã trở thành một công cụ mạnh trong các nghiên cứu toán học.
Hãy xét một số tính chất của phép nghịch đảo.
-
Các điểm trên đường tròn mà ta chọn khi nghịch đảo biến thành chính chúng; các điểm nằm bên trong đường tròn biến thành các điểm bên ngoài (trừ điểm O), còn các điểm bên ngoài — thành các điểm bên trong.
-
Nếu khi nghịch đảo hình Ф biến thành hình Ф’, thì hình Ф’ biến thành hình Ф.
-
Khi nghịch đảo, các điểm nằm trên đường thẳng đi qua tâm nghịch đảo biến thành các điểm P, còn các điểm P — thành điểm O. Khi đó mọi hai đường thẳng cũng sẽ cắt nhau tại điểm P. Có lẽ bây giờ các bạn sẽ dễ hiểu tính chất sau của phép nghịch đảo hơn.
-
Một đường thẳng không đi qua tâm nghịch đảo biến thành một đường tròn đi qua tâm nghịch đảo.
Chứng minh. Hạ từ điểm O đường vuông góc xuống đường thẳng (hình 1). Tìm cho điểm P — chân đường vuông góc — điểm P’, mà nó biến thành khi nghịch đảo. Bây giờ giả sử M là một điểm tùy ý của đường thẳng đã cho và M’ là điểm mà nó biến thành khi nghịch đảo. Khi đó từ hệ thức
26
Giải bài toán Apollonius
Vậy, trên mặt phẳng cho ba đường tròn… Dừng lại! Hãy nhìn hình 3. Ba đường tròn có thể được bố trí theo bao nhiêu cách, ngay cả nếu ta cho phép chúng hoặc tiếp xúc, hoặc hoàn toàn không có điểm chung? Còn nếu xét khả năng chúng cắt nhau? Chẳng lẽ phải xét từng trường hợp riêng? Dĩ nhiên là không! Trước hết hãy xét đồng thời mọi trường hợp trong đó ít nhất hai trong các đường tròn đã cho tiếp xúc với nhau (không kể là tiếp xúc ngoài hay trong). Thực hiện phép nghịch đảo đối với một đường tròn phụ có bán kính tùy ý, tâm tại điểm tiếp xúc của các đường tròn đã cho. Khi đó theo tính chất 7 các đường tròn tiếp xúc sẽ biến thành các đường thẳng song song, đường tròn thứ ba — thành một đường tròn hoặc đường thẳng. Đường tròn cần tìm phải thu được bằng phép nghịch đảo từ một đường tròn tiếp xúc với các đường thẳng song song đã nêu và đường tròn (hoặc đường thẳng). Còn bài toán “dựng đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng song song đã cho và một đường tròn (hoặc đường thẳng) đã cho” thì mỗi người trong các bạn, nếu cần, có thể giải trong vài phút. Việc dựng hình, dĩ nhiên, phải được thực hiện chỉ bằng compa và thước kẻ. Bây giờ hãy nhận thấy rằng chỉ với compa và thước kẻ, ta có thể dễ dàng dựng đường tròn hoặc đường thẳng mà một đường tròn hoặc đường thẳng bất kỳ đã cho biến thành khi nghịch đảo đối với mỗi đường tròn. Để làm điều đó, cần chọn trên nó ba điểm bất kỳ, dựng các điểm mà chúng biến thành (điều này các bạn biết làm), rồi qua ba điểm thu được vẽ đường tròn (hoặc đường thẳng).
Từ tất cả những điều đã nói suy ra trình tự dựng sau:
a) dựng các đường thẳng song song và đường tròn (hoặc đường thẳng) mà các đường tròn đã cho biến thành khi nghịch đảo đối với đường tròn phụ có tâm tại điểm tiếp xúc;
b) dựng các đường tròn (có thể có vài đường tròn), tiếp xúc với các đường thẳng thu được và đường tròn (hoặc đường thẳng);
b) trên ba đường tròn ban đầu đã cho, đánh dấu những điểm chuyển thành các tiếp điểm đã tìm được;
g) từ mỗi bộ ba điểm dựng lại các đường tròn ban đầu.
Hình 3. Ba đường tròn trên mặt phẳng có thể được bố trí bằng nhiều cách.