Trao đổi về nguyên lý bất định

7

M. Ya. Azbel

về nguyên lý bất định

Trong số thứ hai của tạp chí chúng ta năm 1971 đã đăng bài của M. Ya. Azbel «Đối thoại về nhiệt độ». Bài báo đã gây ra nhiều hồi âm của độc giả. Trong tất cả các thư đều nói rằng bài báo rất thú vị. Tuy nhiên, trong bài có nhiều lỗi in, vì những lỗi ấy ban biên tập và tác giả xin lỗi. Trong thư độc giả đã nêu những câu hỏi rất thú vị. Vì vậy chúng tôi quyết định không chỉ đưa ra một danh sách lỗi in, mà đề nghị tác giả tiếp tục cuộc trò chuyện với độc giả.

Tác giả. Tôi hoàn toàn không ngờ rằng ban biên tập sẽ giúp tôi biến cuộc đối thoại tưởng tượng với độc giả thành cuộc đối thoại thực, thậm chí không phải đối thoại mà là trò chuyện. Đây là điều độc giả Volodya Margulis từ Saransk viết.

V. Margulis. Trong bài «Đối thoại về nhiệt độ» của ông, theo tôi thấy, có rất nhiều lỗi in. Các hằng số Boltzmann và Planck bị tăng lên hai bậc, điện tích electron — một bậc, vân vân.

Tác giả. Bạn hoàn toàn đúng. Tôi sẽ tiết lộ cho bạn một bí mật nghề nghiệp: cũng như nhiều nhà vật lý lý thuyết, tôi chỉ nhớ một hệ đơn vị: CGSE. Trong hệ ấy đã thực hiện mọi ước tính và nêu các hằng số trong bài của tôi: hằng số Planck $h \approx 6.5 \times 10^{-27}$ эре·сек, hằng số Boltzmann $k \approx 10^{-16}$ эре/эрад, điện tích electron $e \approx 5 \cdot 10^{-10}$ ед. CGSE. (Xin nhắc rằng chúng ta chỉ quan tâm đến bậc độ lớn!)

Tuy nhiên, trong bài đăng trên tạp chí, mọi tính toán lại nằm trong hệ SI, hơn nữa ở «dạng biến dạng». Điều đó, dĩ nhiên, không dễ chịu, nhưng không có tai họa lớn nào ở đây. Mỗi độc giả-học sinh, người cần biết các hệ đơn vị, sẽ được ích lợi khi tiếp tục các tính toán và trả chúng về dạng đúng. Điều đó cũng có ích và có tính giáo dục. Vấn đề là những sai sót và lỗi in trong các bài báo khoa học không phải hiện tượng hiếm, và cần học cách bình thản đối với chúng, sửa chữa khi cần thiết.

V. Margulis. Tôi đã làm như vậy, nhưng phép tính đúng cho electron cho năng lượng thế nhỏ hơn năng lượng động hai bậc. Còn đối với heli, năng lượng thế lại lớn hơn đáng kể năng lượng động! *)

*) Để những ai chưa đọc bài «Đối thoại về nhiệt độ» hiểu đang nói về điều gì, tôi xin giải thích. Từ cái gọi là nguyên lý bất định suy ra rằng giá trị nhỏ nhất có thể của xung lượng $p_{\min}$ của một hạt tập trung trong vùng có kích thước cỡ $a$, $p_{\min} \sim \frac{h}{a}$. Từ đó giá trị nhỏ nhất có thể của năng lượng động $E_{\min} \sim \frac{p_{\min}^2}{2m} \sim \frac{h^2}{2ma^2}$, trong đó $m$ — khối lượng hạt.

8

Tác giả. Bạn lại bị một lỗi in khác đánh lừa. Trong tất cả các công thức của bài, đúng hơn là phải viết hằng số Planck $h$, chứ không phải $h = \frac{h}{2\pi} \cdot \text{Позетому кинетическая энергия нулевых колебаний в гелини порядка}$

$$\frac{h^2}{2ma^2} \sim 2 \cdot 10^{-15} \text{эр}e \sim 20^\circ\text{K}$$

(vì $m \sim 10^{-23} e$, $a \sim 3 \cdot 10^{-8} cm$). Đại lượng này chỉ lớn hơn giá trị thực 5 lần, mặc dù ước tính thô.

Tôi không tính năng lượng thế tương tác của các nguyên tử heli, vì không thể làm điều đó chỉ từ những lập luận chung.

V. Margulis. Bây giờ tôi cũng hiểu rõ điều này khi xét đến khí electron. Theo công thức $E_{\text{min}} \sim \frac{h^2}{2ma^2}$ với $a \sim 3 \cdot 10^{-8} cm$ thu được khoảng $2 \cdot 10^{5^\circ}\text{K}$. Vì $a$ có thể thay đổi, nên ước lượng này chỉ có ý nghĩa về bậc độ lớn. Khí electron thực sự có năng lượng hàng chục, thậm chí hàng trăm nghìn độ.

Tác giả. Hoàn toàn đúng. Cuối cùng tôi phải nói rằng tôi rất thích bức thư của bạn. Tôi vui lòng chúc bạn thành công trên con đường tiến tới khoa học. Và còn một điều nữa — tôi xin lỗi cả bạn lẫn tất cả những người tham gia khác trong cuộc trò chuyện của chúng ta vì đã biến các bức thư của họ thành những lời đáp.

Bạn đọc M. Mokhnatkin (Saratov). Nhưng ông vẫn chưa thuyết phục được tôi. Bởi vì theo nguyên lý bất định

$$\Delta p_x \cdot \Delta x = h$$

chứ không phải $\Delta p \cdot \Delta x = h$, như viết trong “Đối thoại”. Vậy thì, vì $p^2 = p_x^2 + p_y^2 + p_z^2$, giá trị năng lượng tối thiểu đã nêu phải được nhân ba!

Tác giả. Nếu trong hệ thức bất định có dấu bằng, thì bạn hoàn toàn đúng. Nhưng điều rất quan trọng cần nhớ là: ở đây chỉ nói về bậc độ lớn. Giả sử, để xác định, rằng lớn nhất trong các $\Delta p_x$, $\Delta p_y$, $\Delta p_z$ là $\Delta p_x$. Khi đó đối với $\Delta p =$

$$\sqrt{(\Delta p_x)^2 + (\Delta p_y)^2 + (\Delta p_z)^2}$$

ta được $\Delta p_x \leqslant \Delta p \leqslant \Delta p_x \sqrt{3}$, vậy nên hiển nhiên $\Delta p \sim \Delta p_x$ và $\Delta p \Delta x \sim h$.

Khi tính toán bậc độ lớn, điều quan trọng là không vượt quá độ chính xác của phép tính bằng cách «tinh chỉnh» các hệ số — điều đó chỉ có thể làm tình hình tệ hơn. Những tính toán như vậy rất hữu ích, nhưng chúng không thể cho nhiều hơn điều mà chúng được thiết kế để cho — sai số mười lần là điều tự nhiên.

Đặc biệt, đối với một hạt tự do bị «nhốt» trong một hộp hình cầu đường kính $a$, phép tính chính xác cho đúng là

$$E_{\text{min}} = h^2/2ma^2$$

Bạn đọc V. Rubin (Moskva). Tại sao trong trường hợp khí electron, ông lại nói về tương tác Coulomb? Rốt cuộc các electron tự chúng không thể tạo thành tinh thể — chúng đẩy nhau!

Tác giả. Dĩ nhiên. Vì thế tôi nói về các electron trong kim loại. Ở đó, các ion dương không cho chúng bay tản ra. Phép tính cũng liên quan đến tương tác với chúng. Còn tương tác Coulomb được lấy vì lý do sau. Bản thân tương tác tĩnh điện là cổ điển. Giả sử mỗi nguyên tử có một electron tự do, sao cho khoảng cách đặc trưng duy nhất của bài toán là khoảng cách liên nguyên tử (chính xác hơn, liên ion) $a$, và chúng ta chỉ quan tâm đến khoảng cách cùng bậc như vậy. Khi đó đại lượng duy nhất có thứ nguyên năng lượng có thể dựng từ $a$ và điện tích electron $e$ là $\frac{e^2}{a}$.

Dĩ nhiên, cách viết như vậy chỉ đúng theo bậc độ lớn và chỉ ở những khoảng cách như thế. Ở những khoảng cách lớn, các điện tích trái dấu che chắn lẫn nhau, và tương tác giảm nhanh theo khoảng cách.

V. Rubin. Còn một câu hỏi nữa. Tại sao, nếu đối với electron trong hộp của ông có vận tốc vượt quá vận tốc ánh sáng, ông vẫn sử dụng các công thức phi tương đối tính?

9

Tác giả. Vì tôi muốn chỉ ra rằng: trong cơ học lượng tử phi tương đối tính, sự có mặt của các electron «bị nhốt» trong hạt nhân sẽ dẫn đến những điều không ổn. Điều đó gợi ý rằng, có lẽ, chúng không thể bị nhốt ở đó. Tuy nhiên, dĩ nhiên ông đúng: lập luận như vậy không phải là chứng minh.

Nếu đã nói đến điều này, hãy thực hiện một phép tính cẩn thận hơn. Lại sử dụng nguyên lý bất định, ta nhận được bậc độ lớn của xung lượng tối thiểu $p_{\min}$ của electron «bị nhốt» trong hạt nhân bán kính $R$, $p_{\min} \sim \frac{h}{R}$. Theo thuyết tương đối $p = mv = \frac{m_0 v}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ ($m_0$ — khối lượng nghỉ của hạt, $v$ — vận tốc của nó). Xung lượng «của chúng ta» $p_{\min} \gg m_0 c$. Điều này có nghĩa là $v \approx c$ và $p \approx mc$ (m — khối lượng của electron tương đối tính). Vậy, đối với electron «bị nhốt» trong hạt nhân, $m \sim \frac{h}{R_c}$, cho những giá trị cỡ khối lượng của proton đứng yên. Do đó, việc khối lượng hạt nhân gần bằng tổng khối lượng chỉ của proton và neutron chứng tỏ không có electron «bị nhốt» trong hạt nhân: khi lọt vào hạt nhân, chúng dễ dàng thoát ra khỏi đó.

Bạn thấy đấy, kích thước của vùng mà các hạt tập trung trong đó có ý nghĩa lớn đến thế nào. Vùng này có thể либо giới hạn chặt chẽ chuyển động của chúng, như hạt nhân — chuyển động của proton và neutron hoặc nguyên tử — chuyển động của electron, hoặc chỉ mang tính đặc trưng từ quan điểm nguyên lý bất định.

Bạn đọc A. Petrov (Leningrad). Nếu khoảng cách trung bình giữa các hạt là $a$, thì $\Delta x \approx a$ và thậm chí có thể $\Delta x = L$, trong đó $L$ — kích thước của hệ. Vậy $p_{\min} \sim \frac{h}{L}$!

Tác giả. Hoàn toàn đúng. Ta ước lượng năng lượng đặc trưng, và nó được xác định bởi khoảng cách trung bình $a$. Năng lượng nhỏ nhất có thể là $\frac{h^2}{2mL^2}$, đồng thời cũng có các giá trị năng lượng trung gian, tương ứng với $a < \Delta x < L$.

Tôi sẽ giải thích nhận xét này chi tiết hơn. Khoảng cách trung bình giữa các electron trong kim loại $a$ xác định khoảng cách đặc trưng trong nguyên lý bất định và năng lượng đặc trưng của các dao động không, mà chúng ta đã ước lượng. Tuy nhiên, về nguyên tắc, các electron riêng lẻ có thể ở trong những trạng thái hiếm gặp, cách nhau một khoảng cỡ kích thước hệ $L$. Phù hợp với điều đó, động năng tối thiểu (năng lượng dao động không) mà một số ít electron có, có bậc $\frac{h^2}{2mL^2}$, tức là cực nhỏ.

Và ở đây đã biểu hiện sự khác biệt căn bản giữa các hạt fermion và boson.

Vì các hạt boson có thể tập hợp với số lượng không hạn chế trong bất kỳ trạng thái nào, ở nhiệt độ rất thấp chúng bắt đầu tích tụ chính trong trạng thái có năng lượng thấp — bắt đầu cái gọi là ngưng tụ Bose — Einstein trong không gian năng lượng.

Những điều đã nói là đủ để thu được các đặc trưng cơ bản của khí Bose. Hãy bắt đầu bằng việc xét bức xạ nhiệt tập trung trong khoang của một vật nóng (và ở trạng thái cân bằng với vật này). Vì bức xạ nhiệt gồm các lượng tử của sóng điện từ (photon), mà số lượng của chúng trong một đơn vị thể tích được xác định bởi nhiệt độ của vật nóng phát ra chúng, đặc trưng năng lượng duy nhất là nhiệt độ. Vì vậy năng lượng trung bình của photon có bậc $kT$. Bây giờ ta không có độ bất định của khoảng cách, mà có độ bất định nhiệt của năng lượng. Hãy viết nguyên lý bất định dưới một dạng hơi khác, đưa vào thời gian đặc trưng $\Delta t$:

$$h \sim \Delta p \Delta x \sim \frac{\Delta p}{\Delta t} \Delta x \Delta t.$$

Nhưng sự thay đổi xung lượng trong thời gian đã cho là tích của lực với thời gian tác dụng của nó: $\Delta p = F \Delta t$. Vậy $\frac{\Delta p}{\Delta t} \Delta x = F \Delta x$ là công của lực trên quãng đường $\Delta x$, tức là, theo định luật bảo toàn năng lượng, sự thay đổi năng lượng $\Delta E$. Do đó,

$$\Delta E \Delta t \sim h$$

10

(một dạng rất quan trọng của nguyên lý bất định).

Đối với photon $\Delta E \sim \varepsilon$, còn đại lượng $\Delta t$ là chu kỳ thời gian $\tau$, đặc trưng cho chu kỳ dao động của photon. Vì vậy $\varepsilon \sim hv\left(v = \frac{1}{\tau}\right)$.

Từ đẳng thức thu được, xét rằng $\varepsilon \sim kT$, ta tìm được chu kỳ dao động $\tau = \frac{1}{v} \sim \frac{h}{kT}$ và bước sóng $\lambda$ (quãng đường sóng truyền với vận tốc ánh sáng $c$ trong một chu kỳ dao động $\tau$):

$$\lambda = c\tau \sim \frac{ch}{kT}$$

Bước sóng xác định khoảng cách đặc trưng, “ứng với một lượng tử” $^*$). Thể tích tương ứng là $\lambda^3$, do đó số photon trong một đơn vị thể tích có bậc

$$\lambda^{-3} \sim \left(\frac{kT}{ch}\right)^3$$

Còn tổng năng lượng của chúng trong một đơn vị thể tích, tức là mật độ năng lượng của bức xạ nhiệt,

$$E_1 \sim kT \cdot \lambda^3 \sim \frac{(kT)^4}{(ch)^3}$$

Ta đã thu được công thức nổi tiếng Stefan — Boltzmann! Công thức chính xác khác bởi hệ số $-\frac{\pi^2}{20} \approx \frac{1}{2}$.

Bây giờ chúng ta chuyển từ thế giới vĩ mô của chất khí sang thế giới vi mô của hạt nhân. Hãy thử ước lượng bậc độ lớn của lực hạt nhân mà không biết gì về chúng, ngoài việc bán kính hạt nhân $R \sim 10^{-12} \sim 10^{-13}$ cm, và nó gồm các proton và neutron tương tác với nhau. Động năng có bậc $\frac{h^2}{MR^2}$. Mà vì hạt nhân không tan rã và không co lại, mà được các lực hạt nhân giữ ở trạng thái cân bằng, nên thế năng tương tác phải có cùng bậc với động năng!

Thế là chúng ta đã đạt tới năng lượng hàng nghìn tỷ ($10^{12}$ độ. Chỉ đừng quên rằng đó chính là năng lượng, được đo bằng độ,

*) Dĩ nhiên, khẳng định này trông không thật thuyết phục, nhưng nó hóa ra là đúng, vì vậy cứ đơn giản tin vào nó.

chứ không phải nhiệt độ của các hạt trong hạt nhân!

Còn hiệu khối lượng của các hạt hạt nhân — proton và neutron — có bậc khối lượng electron $m_e$. (Điều này không ngẫu nhiên, vì neutron có thể biến thành proton và electron.) Vậy năng lượng liên quan với điện tích có bậc $m_e c^2$, tức là “chỉ” cỡ $10^{10}$ độ và nhỏ hơn đáng kể so với năng lượng tương tác hạt nhân. Vì vậy, lực hạt nhân hầu như không phụ thuộc vào điện tích, và nói về neutron và proton trong hạt nhân như những hạt riêng biệt là không có ý nghĩa, nên chúng được gọi đơn giản là “nuclon”.

Còn vận tốc của các hạt hạt nhân là bao nhiêu?

Trong cơ học phi tương đối tính, $\frac{Mv^2}{2} \sim \frac{h^2}{MR^2}$ và $v \sim \frac{h}{MR}$. Thu được vận tốc cỡ vận tốc ánh sáng! Ước lượng chính xác hơn cho $v \sim 0,1$ $c$, vì vậy trong nhiều trường hợp, đối với các hạt trong hạt nhân, gần đúng thô có thể chỉ dùng lý thuyết phi tương đối tính.

Như các bạn thấy, sự hiểu biết về các quy luật vật lý cơ bản cho những hệ quả vật lý cơ bản, trong đó chúng ta chỉ đề cập đến một phần nhỏ.

Bài tập

1. Xác định sự phụ thuộc của áp suất vào mật độ hạt (số hạt của chúng trong một đơn vị thể tích) trong khí Fermi lý tưởng $^*$ ở nhiệt độ thấp. Thu được phương trình trạng thái của khí đó (chính xác đến một thừa số số học). So sánh nó với phương trình trạng thái của khí cổ điển.

2. Tìm tiêu chuẩn lượng tử tính của khí Fermi lý tưởng.

3. Xác định sự phụ thuộc của nhiệt dung vào nhiệt độ của khí Bose ở nhiệt độ thấp.

4. Tìm tiêu chuẩn của khí cổ điển.

5. Ước lượng kích thước nguyên tử hydro.

6. Biết rằng liên kết của các nguyên tử trong chất lỏng và tinh thể được xác định chủ yếu bởi tương tác điện từ, hãy ước lượng khoảng cách giữa các nguyên tử.

*) Xem “Đối thoại về nhiệt độ”.