Trò chơi trên mặt phẳng

vượt quá điện tích cực đại mà mỗi tụ điện được tính cho: $q_1 = C_1 U_1$ và $q_2 = C_2 U_2$.
Vì vậy phải thỏa mãn các bất đẳng thức

$$\frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} U \leq C_1 U_1$$

và

$$\frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} U \leq C_2 U_2.$$

Rõ ràng, điện tích của các tụ điện không được vượt quá điện tích cực đại nhỏ hơn trong các điện tích cực đại có thể có của các tụ điện. Giả sử để xác định

$$q_1 = C_1 U_1 < q_2 = C_2 U_2.$$

Khi đó

$$\frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} U \leq C_1 U_1$$

và

$$U \leq \frac{C_1 + C_2}{C_2} U_1.$$

Nếu $C_1 U_1 = C_2 U_2$, thì ta nhận được kết quả tự nhiên:

$$U \leq \frac{C_2 \frac{U_2}{U_1} + C_2}{C_2} U_1 = U_1 + U_2.$$

Lời giải đúng của bài toán này được gửi bởi V. Chupik (Torzhok, tỉnh Kalinin), N. Nikolaeva (làng Belaya Glina, vùng Krasnodar), O. Maslok (Novomirgorod, tỉnh Kirovograd), S. Ivanov (Moskva), V. Sokolov (thị trấn Myshansk, tỉnh Gomel, CHXHCNXV Belarus), N. Fedik (Omsk), N. Kolenko (Bondar, tỉnh Odessa), N. Alekseenko (Kirovsk, tỉnh Murmansk), A. Stachenko (thị trấn Petropavlovka, huyện Petropavlovsk, tỉnh Dnepropetrovsk), M. Kozlovsky (Moskva), P. Khmara (Voroshilovgrad), E. Golovko (Stavropol), V. Parkhomenko (làng Pokolbichi, tỉnh Gomel), Yu. Batyshen (Moskva), M. Ramazanov (Makhachkala, CHXHCXVD Dagestan), E. Sviriduk (Rovenki, tỉnh Voroshilovgrad), T. Selina (làng Saltykovo, tỉnh Penza), V. Sytsev (Alga, tỉnh Aktyubinsk), A. Kostyurin (thị trấn Krasovo, tỉnh Moskva), K. Kirillov (Minusinsk, vùng Krasnoyarsk).

I. Sh. Slobodetsky

TRÒ CHƠI
TRÊN
MẶT PHẲNG

Trên mặt phẳng vẽ một số cực đại các điểm (đỉnh). Một số trong chúng được nối bằng các đoạn thẳng. Vasya và Petya chơi trò chơi sau: họ lần lượt đánh dấu các đỉnh — Vasya bằng dấu chéo, còn Petya bằng dấu tròn. Sau khi tất cả các đỉnh đã được đánh dấu, Vasya đếm xem mình có bao nhiêu đoạn thẳng “của mình”, tức là những đoạn có cả hai đầu mút được đánh dấu bằng dấu chéo, còn Petya đếm số đoạn thẳng của mình. Người có nhiều đoạn thẳng hơn thắng. Hãy nghiên cứu cách phải chơi trò chơi này. Ai có thể bảo đảm cho mình thắng hoặc hòa? Xét các trường hợp sau:

a) khi vẽ một đa giác;
b) khi tại mỗi đỉnh của hình vẽ có đúng $k$ đoạn thẳng gặp nhau;
b) khi tại các đỉnh khác nhau có số đoạn thẳng gặp nhau khác nhau.

L. Limanov

PHƯƠNG TRÌNH HÀM

Cho phương trình:

$$mf \left( \frac{a+x}{c+x} \right) + nf \left( \frac{a-x}{c-x} \right) = kx.$$

$(m \neq n)$.

Xác định hàm số $f(x)$.

Ya. Kilimnik