Các lựa chọn thi tuyển sinh môn Toán năm 1972

CÁC LỰA CHỌN THI ĐẦU VÀO
TRONG TOÁN 1972

Đại học quốc gia Moscow được đặt theo tên
M. V. Lomonosova

Khoa Hóa học

1. Bến tàu $A$ nằm cách bến tàu $B$ 27 km về phía hạ lưu sông. Chiếc thuyền đầu tiên khởi hành từ bến tàu $A$ về phía bến tàu $B$, và một giờ sau khi khởi hành, chiếc thuyền thứ hai khởi hành từ bến tàu $B$. Thuyền gặp nhau cách bến tàu 18 km $B$.

Nếu những chiếc thuyền khởi hành từ bến tàu $A$ và $B$ hướng về nhau cùng một lúc thì chúng sẽ gặp nhau sau hai và bốn giờ. Tìm vận tốc của chiếc thuyền thứ nhất khi nước yên lặng biết vận tốc đó gấp đôi vận tốc dòng nước.

2. Giải phương trình
   $$\log_{x^2+6x+8}[\log_{2x^2+2x+3}(x^2-2x)] = 0.$$

3. Trong hình thang $ABCD$ các góc $A$ và $D$ ở đáy $AD$ lần lượt là 60° và 30°. Điểm $N$ nằm trên đáy $BC$ và $BN:NC = 2$. Điểm $M$ nằm trên đáy $AD$, đường thẳng $MN$ vuông góc với đáy hình thang và chia diện tích của nó làm đôi. Tìm tỷ lệ $AM:MD$.

4. Đáy của hình chữ nhật tam giác $SABC$ là tam giác vuông $ABC$ có một góc vuông ở đỉnh $B$. Cạnh $SA$ vuông góc với mặt phẳng của tam giác $ABC$. Qua trung điểm $D$ và $E$ lần lượt của các cạnh $AC$ và $BC$, vẽ một mặt phẳng song song với cạnh $SC$ và tạo thành một tứ giác $DEFH$ trong tiết diện (điểm $F$ nằm trên cạnh $SB$). Tìm diện tích tứ giác $DEFH$ nếu biết rằng $BC=a$, $AC=b$, $SA=h$.

5. Tìm tất cả các giá trị của $x$ mà biểu thức
   $(\sin 4x + \sin 2x)(3\cos^2x + 2\sin 2x - 6\cos x)$ tích cực.

Khoa Địa lý và Đất Khoa Khoa Sinh học

1. Trong hai đoàn xe, mỗi đoàn 28 xe, có 11 chiếc Zhigulyai, còn lại là Moskovchi. Có bao nhiêu Moskovchi trong mỗi đoàn xe, nếu biết rằng trong đoàn xe đầu tiên, mỗi xe Zhigulyai có số Moskovchi nhiều gấp đôi so với đoàn xe thứ hai?

2. Tìm tất cả các phương trình lời giải
   $$\sqrt{3}\sin x + 2\cos x = \sqrt{3} + \sin 2x,$$
   thỏa mãn điều kiện 0 < x < 2.

3. Tìm tất cả các giá trị của $x$ mà bất đẳng thức đúng
   $$\log_2 x - \log_x 32 < 4.$$

4. Tìm tất cả các số $x$ và $y$ mà
   $$\begin{cases} 2^{x+1} = y^2 + 4, \\ 2^{x-1} \leq y. \end{cases}$$

5. Qua các đỉnh $B$ và $C$ của tam giác $ABC$ vẽ một đường tròn cắt cạnh $AB$ tại điểm $K$ và cạnh $AC$ tại điểm $E$. Tìm $AE$, biết rằng $AK = KB = a$, $BCK = \alpha$, $CBE = \beta$.

Khoa Sinh học, Khoa Sinh học

1. Một ô tô xuất phát từ điểm $A$, một giờ sau có một chiếc xe máy đến, đuổi kịp ô tô đến điểm $B$. Lúc này, một chiếc xe máy thứ hai được phóng từ $A$ và lao tới với tốc độ tương đương với chiếc xe thứ nhất. Xe máy thứ hai đuổi kịp ô tô sau 6 giờ khởi hành. Xe môtô đi từ điểm $A$ đến điểm $B$ mất bao lâu?

2. Đơn giản hóa một biểu thức
   $$tg 4x \cdot tg (40^\circ - 2x) + tg 4x \cdot tg (50^\circ - 2x) + tg (50^\circ - 2x) \cdot tg (40^\circ - 2x).$$

3. Giải phương trình
   $$5\sqrt{\log_3 x + \log_5 9} \log_5 3 = 3^{1 \log_3 1.8}.$$

4. Tìm tất cả các phương trình lời giải
   $$\sin x + \sin (\log_3 x^3 \pi x) = \cos x - \cos \left(\log_3 \frac{x^3 \pi x}{x}\right).$$

5. Trong tam giác $ABC$, thư mục $AD$ và $BE$ cắt nhau tại điểm $O$. Tìm tỉ số diện tích của tam giác $ABC$ với diện tích của tứ giác $ODCE$, biết rằng $BC = a$, $AC = b$, $AB = c$.