Bài toán M161—M165; F173—F177

37

NHIỆM VỤ

M161. Hồ có hình $n$-gon nhỏ. Chứng minh rằng tập hợp các điểm của hồ mà từ đó có thể nhìn thấy tất cả các bờ của nó là trống hoặc lấp đầy phần bên trong của một $m$-giác lồi, trong đó $m \leq n$.

I. N. Bernishtein

M162. Dãy số tự nhiên
$a_1 < a_2 < a_3 < \dots < a_n < \dots$ (A) sao cho mọi số tự nhiên đều có trong dãy (A) hoặc được biểu diễn dưới dạng tổng của hai số trong dãy (A), có thể giống hệt nhau.
Chứng minh rằng $a_n \leq n^2$ thỏa mãn mọi $n=1, 2, \dots$.

Yu. G. Eroshkin, học sinh lớp 9

M163. Chứng minh rằng nếu các đường chéo của một tứ giác lồi vuông góc với nhau thì giao điểm của chúng ở cả bốn cạnh (hoặc phần kéo dài của chúng) nằm trên cùng một đường tròn.

I. A. Kushinr

M164. Trên các ô trắng của một bàn cờ vô hạn, có nửa mặt phẳng ở trên cùng (Hình 1), một số số được viết sao cho đối với mỗi ô đen, tổng các số trong hai ô liền kề - bên phải và bên trái - bằng tổng của hai số còn lại nằm trong các ô liền kề với nó - bên trên và bên dưới. Đã biết số trong một ô của dòng thứ $n$ (dấu chéo màu xanh lam trong Hình 1) và bạn cần tìm ra số phía trên nó ở dòng thứ $(n+2)$ (dấu chấm hỏi màu đỏ trong hình). Bạn cần biết thêm bao nhiêu số ở hai dòng dưới cùng (các chấm màu xanh trong hình) để làm điều này?

M. L. Gerver

38

M165.* Có một tập hợp các điểm $F$ trên một vòng tròn, gồm 100 cung. Được biết, với bất kỳ phép quay $R$ nào của đường tròn thì tập hợp $R(F)$ đều có điểm chung $c$. (Nói cách khác, với bất kỳ $\alpha$ nào từ $0^\circ$ đến $180^\circ$ trong tập hợp $F$, người ta có thể chỉ định hai điểm $\alpha$ cách nhau.) Tổng độ dài nhỏ nhất mà 100 cung tạo thành tập hợp $F$ có thể có là bao nhiêu? đáp số sẽ ra sao nếu không có 100 cung mà có $n$?

Yu. P. Lysov

F163. Trong một quả cầu tích điện đều có bán kính $R$ có một hộp hình cầu có bán kính $r$, tâm của nó cách tâm quả cầu một khoảng $a$ (Hình 1). Tìm hướng

Cơm. 2.

điện trường tại các điểm khác nhau của hộp nếu mật độ điện tích là $\sigma$.

V. D. Krivtsenkov

F164. Tìm nhiệt dung của một khí lý tưởng trong một quá trình trong đó nhiệt độ của khí đó a) tỉ lệ với bình phương thể tích của nó; 6) tỉ lệ nghịch với thể tích của nó.

Tôi. Sh. Slobodetsky

F165. Ước tính thời gian va chạm đàn hồi của hai quả bóng thép hoặc hai quả bóng cao su có cùng bán kính $R=1$ cm. Đối với thép, mô đun Young là $E_c=2,1\cdot 10^{11}$ n/m2, mật độ thép là $\rho_c=7,8\cdot 10^3$ ke/m³. Mô đun cao su Young là $E_p\approx 10^6$ n/m2, mật độ của nó là $\rho_p\approx 10^3$ ke/m³. Các quả bóng di chuyển về phía nhau với tốc độ $v=1$ m/s.

Lực trung bình giữa các quả bóng là gì?

G. L. Komkin

F166. Tại sao việc chọc lỗ bằng dùi lại dễ dàng hơn nếu dùi bị xoắn? Tại sao bạn cần phải xoay một chiếc đinh để lấy nó ra khỏi tường? Tại sao khi cắt bánh mì hay thịt thì di chuyển con dao tới lui còn khi cắt phô mai thì bạn chỉ ấn con dao xuống?

A. G. Kosourov

F167. Tần số của dây dao động phụ thuộc vào độ dài, lực căng và mật độ tuyến tính của nó - khối lượng của đơn vị độ dài dây. Xác định loại phụ thuộc này.

I. A. Zaitsev