Задачи М161—М165; Ф173—Ф177

37

ЗАДАЧИ

М161. Озеро имеет форму невеликого $n$-угольника. Докажите, что множество точек озера, из которых видны все его берега, либо пусто, либо заполняет внутренность выпуклого $m$-угольника, где $m \leq n$.

И. Н. Берништейн

М162. Последовательность натуральных чисел
$a_1 < a_2 < a_3 < \dots < a_n < \dots$ (А) такова, что каждое натуральное число либо входит в последовательность (А), либо представляется в виде суммы двух чисел из последовательности (А), быть может, одинаковых.
Докажите, что $a_n \leq n^2$ для всех $n=1, 2, \dots$.

Ю. Г. Ерошкин, ученик 9 класса

М163. Докажите, что если диагонали выпуклого четырехугольника взаимно перпендикулярны, то процесс их точки пересечения на все четыре стороны (или их продолжения) лежат на одной окружности.

И. А. Кушинр

М164. На белых клетках бесконечной шахматной доски, заполненной верхиной полуплоскость (рис. 1), записаны какие-то числа так, что для каждой черной клетки сумма чисел, стоящих в двух соседних с ней клетках — справа и слева,— равна сумме двух других чисел, стоящих в соседних с ней клетках — сверху и спизу. Известно число, стоящее в одной клетке $n$-й строки (голубой крестик на рисунке 1), а требуется узнать число, стоящее над ним в $(n+2)$-й строке (красный знак вопроса на рисунке). Сколько еще чисел, стоящих в двух нижних строках (голубые точки на рисунке), нужно для этого знать?

М. Л. Гервер